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Soit f la fonction définie sur [0 6] par f (x ) 2 e

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

3. Formule des probabilités totales :

P(C)=P(T∩C)+P(AC)+P(F∩C)=PT(C)×P(T)+PA(C)×P(A)+PF(C)×P(F)

=0,3×0,5+0,5×0,4+0, 2×0, 9=0,53.

4. Formule de Bayes :PC(A)=P(A∩C) P(C) = 0,2

0,53≈0,38.

Partie B

1. On répète de manière identique et indépendante (situation assimilée à un tirage avec remise) 10 fois de suite cette épreuve. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli donc la variable aléatoireY suit une loi binomiale de paramètresn=10 etp=0,3.

2. P(Y =3)= Ã10

3

!

×0,33×(1−0,3)103≈0,27.

3. P(Y >1)=1−P(Y <1)=1−P(Y =0)= Ã10

0

!

×0,30×(1−0,3)100=1−(1−0,3)10≈0,97.

Les parties A et B sont indépendantes Partie A

1. Ci-dessous, l’arbre de probabilités complété :

T

0,3

0,5 C

1−0,5=0,5 C

0,5 A

0,4 C

1−0,4=0,6 C

F 1−0,3−0,5

=0,2 0,9 C

1−0,9=0,1 C 2. P(A∩C)=PA(C)×P(A)=0,4×0,5=0,20.

Exercice 2 4,5points

(2)

PARTIE A

Soit f la fonction définie sur [0 6] par f (x ) 2 e

3x x2

. On donne sa courbe représentative sur la figure ci-dessous :

 1. f (x ) 1 2 e

3x x2

1 e

3x x2

1 e

3x x2

e

0

3x x

2

0 x(3 x) 0 On a donc f (x ) 0 x 0 ou 3 x 0.

L’ensemble des solutions de l’équation f (x ) 0 est donc S {0 3}.

 2. a) f est de la forme k e

u

avec k 2 et u : x 3x x

2

dérivable sur , de dérivée u ′ :x 3 2 x donc f est dérivable sur [0 6], de dérivée f ′ ue

u

, d’où : f ′( x) (3 2x )e

3x x2

.

b) La fonction exponentielle étant strictement positive, on a : e

3x x2

0 pour tout x de [0 6].

f ′( x) est donc du signe de (3 2 x) avec : 3 2 x 0 2 x 3 x 3

2 d’où :

x 0 3

2 6

signe de f  + 0 

f

2 e

9 4

1 2 e

18

 3. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 1] avec f (0) 1 et f(1) 2 e

2

, soit 2 e

2

5,4 d’où : f(0) 0 f (1). On en déduit, d’après le théorème des valeurs intermédiaires que l’équation f (x ) 0 possède une solution unique dans [0 1].

Exercice 3 (6 points) pour tous les candidats

b) A la calculatrice, on obtient successivement : f (0,2) 0 f (0,3) donc 0,2 0,3 f (0,25) 0 f (0,26) donc 0,25 0,26

On admet que l'équation admet un autre solution appartenant à l’intervalle [2,74 2,75].

c) Signe de f(x)

1- f(x) = -1 les solutions sont les abscisses des points d'e la courbe dont l'ordonnée est -1.

On trove deux solution : x = 0 et x = 3

(3)

 4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 deriver(-2+exp(3*x-x²))

(3-2*x)*exp(3*x-x²) 2 deriver((3-2*x)*exp(3*x-x²))

(-2)*exp(3*x-x²)+(3-2*x)*(3-2*x)*exp(3*x-x²) 3 factoriser((-2)*exp(3*x-x²)+(3-2*x)*(3-2*x)*exp(3*x-x²))

(4*x²-12*x+7)*exp(3*x-x²) ligne 1 : on calcule f ′(x ) et on obtient : f ′(x ) (3 2 x)e

3x x2

ligne 2 : on calcule f ′′(x ) et on obtient : f ′′(x ) 2e

3x x2

(3 2 x)(3 2 x )e

3x x2

ligne 3 : on factorise f ′′(x ) et on obtient : f ′′(x) ( 4x

2

12 x 7 ) e

3x x2

On a donc f ′′( x) ( 4x

2

12 x 7 ) e

3x x2

avec e

3x x2

0 sur [0 6] donc f ′′(x) est du signe du trinôme du second degré 4x

2

12x 7 avec b

2

4 a c ( 12)

2

4 4 7 32 , soit 0 donc le trinôme admet deux racines x

1

b

2a

12 32

8

3 2

2 et x

2

b 2 a

12 32

8

3 2

2 . Donc le trinôme est positif (du signe de a 4) à l’extérieur des racines et négatif à l’intérieur.

De plus : x

1

0,79 et x

2

2,21 donc :

x 0 x

1

x

2

6

f ′′( x) + 0 0 +

On en déduit que la fonction f est convexe sur [ 0 x

1

] et sur [ x

2

6 et f est concave sur ] [ x

1

x

2

] .

PARTIE B

Une usine produit chaque mois entre 0 et 600 kilogrammes de poudre de perlimpinpin et vend toute sa production. Le bénéfice, en milliers d’euros, est donné par la fonction f :x 2 e

3x x2

x est la production en centaines de kilogrammes, avec x [0 6].

 1. Un déficit de 1000 euros se traduit pas f( x) 1 et, d’après la question 1 de la partie A, l’équation f( x) 1 a pour solutions 0 et 3 donc l’usine a un déficit de 1000 euros pour une production nulle ou pour une production de 300 kg de poudre de perlimpinpin.

 2. D’après la question 2. b) : f est croissante sur

 

  0 3

2 et s’annule en donc f (x ) 0 sur

 

  3

2 avec 0,25 0,26 f est décroissante sur

 

  3

2 6 et s’annule en donc f( x) 0 sur

 

  3

2 avec 2,74 2,75.

Un bénéfice correspondant à f (x ) 0, on en déduit que l’usine est bénéficiaire pour une production comprise entre 26 kg et 274 kg de poudre de perlimpinpin.

 3. D’après la question 2. b) de la partie A, f admet un maximum en x 3

2 avec f

 

  3

2 7,488 donc le bénéfice de l’usine est maximal pour une production de 150 kg de poudre de perlimpinpin et ce bénéfice maximal s’élève à 7488 euros.

 4. La croissance du bénéfice ralentit lorsque sa dérivée devient décroissante, ce qui correspond au

premier point d’inflexion de la courbe d’abscisse x

1

avec x

1

0,79 donc la croissance du bénéfice ralentit

à partir d’une production de 79 kg.

(4)

Exercice 4 : Correction

1) D'après l' énoncé, le nombre d'objets produits diminue de 2% par an, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 0,98.

u

n

représente le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année (2000+ n) donc u

n+1

représente le nombre total d'objets fabriqués au cours de l'année suivante.

Du fait de la diminution de 2% de la production par an, on peut conclure que : u

n+1

= 0,98 u

n

et que la suite u est géométrique de raison 0,98.

On en déduit que, pour tout n ∈ℕ , u

n

= u

0

× q

n

avec u

0

= 120 000 et q = 0,98 soit u

n

= 120 000 × 0,98

n

.

2) a) Le nombre de jouets fabriqués en 2005 correspond à u

5

. On a donc : u

5

= 120 000 × 0,98

5

soit u

5

= 108 470 .

En 2005, l'entreprise a fabriqué 108 470 jouets.

b) On utilise la calculatrice pour déterminer les premiers termes de la suite définie par u

n

= 120 000 × 0,98

n

et on cherche à partir de quelle valeur de n on a u

n

< 100 000 . On obtient :

n = ... u

n

= ...

7 104 175

8 102 091

9 100 049

10 98 048

On a u

n

< 100 000 pour tout n ≥ 10 donc le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100 000 à partir de l'année 2010.

c) Algorithme à compléter :

- ligne 8 : n prend la valeur n + 1 - ligne 9 : A prend la valeur 0,98 .

3) a) 1 + 0,98 + 0,98

2

+ ... + 0,98

n

représente la somme des ( n + 1 ) premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme 1.

S =1+0,98+0,98

2

+...+ 0,98

n

= 1−0,98

n+1

1 − 0,98 = 1−0,98

n+1

0,02 =50×(1−0,98

n+1

)

b) S

n

= U

0

+ U

1

+ U

2

+ ... + U

n

S

n

= 120 000 + 120 000 × 0,98 + 120 000 × 0,98

2

+ ... + 120 000 × 0,98

n

S

n

= 120 000 ( 1 + 0,98 + 0,98

2

+ ... + 0,98

n

)

S

n

= 120 000×50×(1−0,98

n+1

)

S

n

= 6 000 000 ×( 1 − 0,98

n+1

)

(5)

c) Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production correspond donc à la somme S

14

.

D'après la question précédente,

S

14

= U

0

+ U

1

+ U

2

+ ... + U

14

= 6 000 000 ×( 1 − 0,98

15

)= 1568 585 .

Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années est égal à

1568 585 .

(6)

Partie A

Un laboratoire en botanique étudie l’évolution d’une espèce végétale en fonction du temps.

Cette espèce compte initialement 2 centaines d’individus.

Au bout de 2 semaines, l’espèce végétale compte 18 centaines d’individus.

Au bout de 3 semaines, l’espèce végétale prolifère et s’élève à 30,5 centaines d’individus.

Au bout de 10 semaines, on en compte 90 centaines.

On modélise cette évolution par une fonction polynomialef donnant le nombre d’individus de l’es- pèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écouléx, exprimé en semaine.

Ainsif(2)=18 ;f(3)=30,5 etf(10)=90.

On admet quef(x) peut s’écriref(x)=ax3+bx2+cx+d, oùa,b,cetd, sont des réels.

1. f(x)=ax3+bx2+cx+ddonc f(0)=d.

Cette espèce compte initialement 2 centaines d’individus doncf(0)=2.

On peut donc en déduire qued=2.

2. f(x)=ax3+bx2+cx+2

f(2)=18 ⇐⇒8a+4b+2c+2=18 ⇐⇒ 8a+4b+2c=16

f(3)=30,5 ⇐⇒27a+9b+3c+2=30,5⇐⇒ 27a+9b+3c=28,5

f(10)=90 ⇐⇒ 1000a+100b+10c+2=90 ⇐⇒1000a+100b+10c=88

Donc les nombresa,betcsont solutions du système

8a+4b+2c = 16 27a+9b+3c = 28,5 1000a+100b+10c = 88 3. On définit les matrices suivantes :A=

8 4 2

27 9 3

1000 100 10

,X=

a b c

etB=

 16 28,5

88

. Alors le système précédent est équivalent àAX=B.

4. AX=B ⇐⇒ X=A−1B

On trouve à la calculatriceA1B=

−0,2 2,5 3,8

donca= −0,2,b=2,5 etc=3,8.

On a doncf(x)= −0,2x3+2,5x2+3,8x+2.

5. f(x)= −0,2x3+2,5x2+3,8x+2 doncf(x)= −0,2×3x2+2,5×2x+3,8= −0,6x2

Exercice 4 5points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

(7)

4. On donne la matrice incomplèteM2:M2=

3 0 1 ... 1 3

0 2 2 0 2 0

1 2 4 1 3 1

... 0 1 2 1 2

1 2 3 1 4 1

3 0 1 2 1 3

 .

a. On détermine les coefficients manquants de la matriceM2.

• La matriceMest symétrique donc la matriceM2est symétrique ; les deux coefficients qui manquent étant symétriques par rapport à la diagonale, ils sont égaux.

• Le coefficient situé sur la 1religne et 4ecolonne de la matriceM2est la somme du pro- duit des coefficients situés sur la 1religne deM et la 4ecolonne deM, c’est-à-dire : 0×0+1×0+1×1+0×0+1×1+0×0=2.

b. Le nombre de chemins permettant de se rendre de l’école de musique (1ersommet E) à la salle de spectacle (5esommet S) en empruntant exactement deux pistes cyclables se trouve à l’intersection de la 1religne et 5ecolonne de la matriceM2.

À cette intersection se trouve le nombre 3, il y a donc trois chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cy- clables. Ce sont : E - A - S ; E - B - S et E - D - S.

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Naïma fait partie d’une école de musique. En vue du spectacle de fin d’année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant ces pan- neaux sont représentées sur le grapheGci-contre.

Le sommet E désigne son école de musique, le sommet S la salle de spectacle et les sommets A, B, C, et D les panneaux d’affichage.

b b b

b b b

E

B

S C

D

A 1. a. Il n’y a pas d’arête entre les sommets A et D donc le grapheGn’est pas complet.

b. En considérant le chemin E - A - S - D - C - B, on voit que deux sommets quelconques peuvent être reliés par un chemin, donc le grapheGest connexe.

2. Naïma veut déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.

On détermine les degrés des sommets :

Sommet E A B C D S

Degré 3 2 4 2 4 3

Il n’y a que deux sommets de degrés impairs, E et S, donc d’après le théorème d’Euler, il existe des trajets qui partent de E, arrivent à S, et passent par toutes les arêtes.

Par exemple : E - A - S - D - E - B - C - D - B - S

3. La matrice d’adjacenceM liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l’ordre suivant : E, A, B, C, D, S est obtenue en marquant un 1 entre deux sommets qui sont

reliés par une arête, un 0 sinon :M=

0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

EXERCICE4 Partie B 5POINTS

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