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On considère la fonction f définie par : f x . Soit Q la restriction de f { l’intervalle .

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Academic year: 2022

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Exercice 1 (06 points)

On considère la fonction f définie par : f x . Soit Q la restriction de f { l’intervalle .

1) a. Résoudre dans l’équation : cos x sin x . b. Montrer l’égalité suivante : cos x cos x cos x . c. Résoudre dans l’inéquation : cos x cos x . 2) Donner le domaine de définition D de la fonction Q.

3) a. Montrer que pour tout réel x de D, on a : Q x

. b. Calculer la limite de f en .

Exercice 2 (06 points)

ABC est un triangle équilatéral direct de centre O.

On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [BC].

On désigne par M, N et P des points appartenant respectivement aux segments [AB], [BC]

et [CA] et tels que : AM = BN = CP. (Le point M est distinct de A et de B.) Soit R la transformation qui envoie A sur B et M sur N.

1) a. Montrer que R est une rotation.

b. Déterminer l’angle de R et vérifier que O est son centre.

2) a. Montrer que le triangle ABC est globalement invariant par R.

b. Quelle est l’image par la rotation R du point P ? Justifier votre réponse.

3) Prouver que les points O, A, P et M sont cocycliques.

REPUBLIQUE TUNISIENNE- MINISTERE DE L’EDUCATION



DEVOIR DE CONTROLE N : 2

LYCEE AJIM JERBA



BEN BRAHIM KHALED

EPREUVE : MATHEMATIQUES COEFFICIENT : 4 NIVEAU ET SECTION : 3

e

M

Premier trimestre Date : 18 février 2011 Durée : 2 heures

(2)

Exercice 3 (08 points)

Soit f la fonction définie sur IR – {2} par :

f x x x .

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

1) a. Montrer que (C) admet en - et en + une asymptote D d’équation y x . b. Préciser la position relative de (C) et (D).

2) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

3) Tracer soigneusement (C). On prendra le centimètre pour unité de longueur.

4) On considère la droite d’équation y mx où m est un nombre réel.

Etudier graphiquement l’existence de points d’intersection de (C) et .

5) Lorsqu’ils existent on désigne par M et N les deux points d’intersection de (C) et et par I le milieu de [MN].

a. Déterminer, en fonction de m, les coordonnées de I.

b. Démontrer qu’il existe entre les coordonnées de I une relation indépendante de m. En

déduire l’ensemble des points I.

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