PanaMaths Novembre 2008
Déterminer les primitives sur ; 2 2 π π
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦
−
⎣de la fonction f définie par :
( ) tan2
f x = x
Analyse
L’expression de f x
( )
est proche d’une dérivée classique …Résolution
On a, pour tout réel x de l’intervalle : ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ : f x
( )
=tan2x=(
tan2x+ −1)
1.On a ainsi fait apparaître la dérivée de la fonction tangente. On en déduit alors que la fonction F définie par :
( )
; , tan
2 2
x ⎤ π π⎡ F x x x
∀ ∈ −⎥⎦ ⎢⎣ = −
est une primitive de la fonction f sur ; 2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣.
Les primitives de la fonction f sur ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ sont donc les fonctions de la forme : tan
x6 x− +x C où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
La fonction f x: 6tan2x admet pour primitives sur ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ les fonctions définies par : tan
x6 x− +x C où C est une constante réelle quelconque.
