DEVOIR A LA MAISON N°1. TS.
Pour le ...
I. f est la fonction définie par f(x)= \F(x²+x+1;x+2 ; est la suite définie pour tout n de par
=f(n) et est la suite définie pour tout n de par =2 et =f.
1. Dresser le tableau de variation de la fonction f (penser à déterminer la dérivée de f et à étudier son signe).
2. Calculer ; et .
3. Déterminer le sens de variation de la suite .
4. Calculer ; et . Quel semble être le sens de variation de la suite ? II. est la suite définie pour tout n de par =-+n²+n+1.
Etudier le signe de − où n est un entier naturel et en déduire le sens de variation de la suite .
III. Le bénéfice du magasin de M Martel est de 20 000€ en 2014. On suppose qu’il augmente chaque année de 3 000€.
On note le bénéfice de l’année 2014 + n.
1. Donner et calculer et .
2. Quelle est la nature de la suite ? 3. Exprimer en fonction de n.
4. Calculer +++...+. Interpréter par une phrase.
IV. Soit la suite définie pour tout n de par =1 et =−3.
1. Calculer et . La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Pour tout n de , on pose =−3.
2. Montrer que la suite est géométrique.
3. Exprimer en fonction de n.
4. Exprimer en fonction de n.
5. Calculer + ++...+. 6. En déduire + ++...+.
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°1. TS
I.
1. f est définie et dérivable sur \{− 2}.
Pour tout réel x différent de − 2, on a f′(x)= \F((2x+1 = \F(x²+4x+1;(x+2
Signe de x²+4x+1 : Δ = 12 donc le trinôme a deux racines qui sont -2− et -2+ et il est positif (du signe de a = 1) sauf entre ces racines. On a donc le tableau suivant :
x − õ − 2 − − 2 − 2+ + õ
x²+4x+1 + − − +
(x+2)² + + + +
f′(x) + − − +
variation de f -2−3
2−3
f=-2−3 et f=2−3
2. =f(0)= \F(1;2 ; =f(1)=1 et =f(2)= \F(7;4
3. La fonction f est strictement croissante sur [0 ; + õ[ (car -2+<0) et la suite est définie par
=f(n) donc la suite est strictement croissante.
4. =f=f(2)= \F(7;4 = 1,75 ; =f=f \F(7;4= \F(31;20 = 1,55 et =f=f \F(31;20= \F(1981;1420 ó 1,4.
La suite semble être décroissante.
II. Soit n un entier naturel.
=-+(n+1)²+(n+1)+1=-3+n²+2n+1+n+2 = -−8n²−6n
−=-−8n²−6n+−n²−n−1 = -9n²−7n−1 < 0 car n à 0.
La suite est donc strictement décroissante.
III.
1. =20 000 ; = 23 000 ; = 26 000.
2. La suite est arithmétique de 1er terme = 20 000 et de raison 3 000.
3. Pour tout n de , = 20 000 + 3 000n.
4. +++...+ = \F((25+1 = \F(26(20000+20000+3000×25 = 1 495 000.
En 26 ans, M Martel aura gagné 1 495 000€.
IV. Soit la suite définie pour tout n de par =1 et =−3.
1. =2×−3=2×1−3=-1 et =2×−3=2×(-1)−3=-5.
−=-1−1=-2 et −=-5+1=-4 donc la suite n’est pas arithmétique.
/ =− 1 et /=5 donc la suite n’est pas géométrique.
Pour tout n de , on pose =−3.
2. Soit n un entier naturel.
\F(;= \F(−3;−3= \F(−3−3;−3= \F(−6;−3= \F(2;−3=2 donc la suite est une suite géométrique de premier terme =−3=-2 et de raison 2.
3. On a alors, pour tout n de , = − 2 × = − . 4. Pour tout n de , =−3 donc =+3=-+3.
5. + ++...+ = − 2 × \F(1−;1−2 = − 2 = − 4 194 302
6. + ++...+ = +3++3+...++3=21×3+++...+ = 63−4 194 302 + ++...+ = − 4 194 239
