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On définit pour tout entier naturel n la suite (Un) par U0 = 0 Un+1 = f ( Un ) 1°) a ) Dresser le tableau de variation de f puis en déduire que f( x

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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CONTROLE DE MATHEMATIQUES N°1 : TS LE 12/10/18 DUREE 2H LE SUJET EST A REMETTRE AVEC LA COPIE

Exercice 1 ( 6 points) Partie A

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1°) x2 + 6x – 7 = 0

2°) x2 + x + 4 > 0 3°) - 3x2 – 2x + 1 ≥ 0 Partie B

Résoudre dans R : x2 – x – 6

¾¾¾¾¾¾ < 0 x2 + 6x - 7

Exercice 2 ( 8 points)

Soit f la fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; 3] par f( x ) = !"#$"#%

On définit pour tout entier naturel n la suite (Un) par U0 = 0 Un+1 = f ( Un ) 1°) a ) Dresser le tableau de variation de f puis en déduire que f( x ) ∈ I.

b) Sur le graphique donné en annexe, placer les points A0, A1 ,A2 ,A3 , d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives U0, U1 ,U2 ,U3 .

D’après le graphique quel semble être le sens de variation de la suite et que peut-on dire à propos de la convergence de (Un) ?

2°) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un∈ I.

b) Etablir la relation 𝑈(#)− 𝑈( = (./#))($1 ./)

./#% et en déduire le sens de variation de ( Un ) . 3°) On considère la suite (Vn ) définie sur N par Vn = ../1$

/#) a) Calculer V0, V1 et V2.

b) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. En déduire l’expression de Vn en fonction de n.

c) Montrer que Un = 2)12/#$

/ puis exprimer Un en fonction de n.

d) En déduire la limite de la suite ( Un ).

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Exercice 3( 6 points)

1°) Déterminer lim

(→#75n - 4n

2°) Déterminer la limite de la suite Un = 3cos n – 2n + 6 . ( on pensera à d’abord encadrer Un ) 3°) On considère la suite (Un) , une suite géométrique de raison )$ et de premier terme U0 = 4.

a) Exprimer Un en fonction de n puis déterminer lim

(→#7𝑈( .

b) Soit Sn = U0 + ... + Un . Montrer que Sn = 6( 1 –()$)() . En déduire lim

(→#7𝑆( . ANNEXE

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