PanaMaths Août 2012
Soit n un entier naturel et soit f la fonction définie sur \
*+par :
( )
n x1f
nx = x e
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n et pour tout réel strictement positif x, on a :
( )
n 1( ) ( ) 1
n 1 1x2n n
f x e
x
+ +
= −
+Analyse
Comme on peut-être le pressentir, le point un peu délicat se situe au niveau de l’hérédité où l’on considère la fonction fn+1(n+2). Mais celle-ci est elle-même la dérivée n+1ème de la fonction fn+1' qui est facile à calculer et s’exprime simplement en fonction de … fn et fn−1 !
Résolution
Notons, dans un premier temps, que pour tout entier naturel n, la fonction fn est dérivable sur
*
\+ comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle :
• La fonction polynomiale : x6 xn.
• La fonction
1
x6ex qui est dérivable sur \*+ comme composée de la fonction inverse, dérivable sur \*+, et de la fonction exponentielle, dérivable sur \.
Pour n=0, on a : f0
( )
x =e1x et 0( )1 0( )
0( )1( )
0( )
2 1' 1 x
f x f x f x e
x
+ = = = − .
Par ailleurs :
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1
1 0 1 1
2 0 2 2 2 2
1 1 1 1
x x x x
n x
n
e e e e
x x x x x e
+ +
+ +
− = − = − = − = − .
L’égalité est donc vérifiée pour n=0.
Bien que ce ne soit pas obligatoire, nous traitons le cas n=1. Pour n=1, on a : f1
( )
x =x e1x et f1( )1 1+( )
x = f1( )2( )
x .( )
1 1 1( )
1 2 0
1 1
' x 1 x x 1
f x x e e x e f x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = × + × −⎜⎝ ⎟⎠× = −⎜⎝ ⎟⎠× .
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D’où :
( ) ( ) ( )
1 2 0 0
1 1
2 2
1
2 2 3
1 3
1 1
'' 1 '
1 1 1
1
1 1 1
1
x x
x
x
f x f x f x
x x
e e
x x x
x x x e
x e
⎛ ⎞
= × + −⎜⎝ ⎟⎠×
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= × + −⎜⎝ ⎟⎠ ⎝× −⎜ × ⎟⎠
⎛ ⎞
=⎜⎝ − + ⎟⎠×
= ×
Par ailleurs :
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1
1 1 1 2
2 1 2 3 3 3
1 1 1 1
x x x x
n x
n
e e e e
x x x x x e
+ +
+ +
− = − = − = = .
L’égalité est donc vérifiée pour n=1.
Soit maintenant un entier naturel n quelconque fixé non nul (voir plus loin la remarque sur la non nullité de n).
Nous supposons que nous avons ( )
( ) ( )
1 1 1
1 2 k x k
k k
f x e
x
+ +
= − + pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n.
Nous nous intéressons alors à la fonction fn+1(n+ +1 1) = fn+1(n+2).
On a : 1
( )
1 1 1( )
n x n x
n n
f + x =x +e = ×x x e = ×x f x . Alors :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
2 1
1 2
1 1
1 1
' 1 '
1
1
n n n
n n x
n
n n x
n
n n x
n
n n n
n n
f x f x x f x
f x x n x x e
x
f x x n x x e
f x n x x e
f x n f x f x
n f x f x
+
−
− −
−
−
−
= × + ×
⎛ ⎞
= + ×⎜⎝ × − × ⎟⎠
= + × × − ×
= + × − ×
= + −
= + −
Faisons ici une remarque importante : c’est parce que nous avons supposé n non nul que nous avons le droit d’écrire 1 1 1
( )
n x
x − ×e = fn− x … Il était donc, à postériori, déterminant que l’on valide l’égalité pour n=1.
On en tire :
( 2)
( )
( 1)( ( ) )
( 1)( )
( 1)(
( ))
1n 1' n 1 1 n 1 n 1n '
n n n n n n
f + + = f + + = n+ f − f − + = n+ f + − f −
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Pour tout x réel strictement positif, on a, d’après l’hypothèse de récurrence :
( )
( ) ( )
1 1 1
1 2 n x n
n n
f x e
x
+ +
= − + et ( )
( ) ( )
1
1 1 1
n x n
n n
f x e
− = − x+
D’où :
(
( )) ( ) ( ) ( )
( )
1
1 2 1 2
1 1
2 3
1 1 1
' 1 1
1 1
1
n n x
n n n
n x
n n
f x n e
x x x
n e
x x
− + +
+
+ +
⎡ ⎛ ⎞⎤
= − ⎢⎣− + + × −⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦
⎛ + ⎞
= − ⎜⎝ + ⎟⎠
Alors :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1
2
1 2 2 3
1 2
1 1
1 1 1
1 1
n x n
n x
n n n n
n n
e n
f x n e
x x x
n x
+ +
+
+ + + +
+ +
⎛ + ⎞
= + × − − − ⎜⎝ + ⎟⎠
= − + 21
n
n x +
− +
( ) ( )
1 3 1
1 3 1 2
3
1 1 1
1
x n
n x
n
n x
n
x e
x e e x
+
+ +
+ +
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
= − −
= −
Cette expression correspond à ce que nous obtenons en remplaçant « n » par « n+1 » dans l’expression «
( )
1 1
1 2 n x
n
e x
+
− + ». L’égalité est donc vérifiée au rang n+1. L’égalité est donc vérifiée pour tout entier naturel n.
Résultat final
Pour tout n entier naturel, en considérant la fonction fn définie sur \*+ par
1
: n x
fn x6x e on a :
( )
( ) ( )
1 1 1
1 2 n x n
n n
f x e
x
+ +
= − +
