Soit f la fonction périodique sur définie sur par : 1. Donner le développement en série de Fourier de la fonction f. 2. En déduire les sommes : et .

PanaMaths Mars 2012

Soit f la fonction 2   périodique sur définie sur

^_

   ;

^_

par :

 

^x

f x  e

1. Donner le développement en série de Fourier de la fonction f.

2. En déduire les sommes :

₂

1

1

n

1

S n





   ^et  

1 2

1 1

n

n

S n





 

  ^.

Analyse

Une situation classique pour s’entraîner. L’expression de la fonction sur l’intervalle



^{ ;}



conduit à calculer les coefficients de Fourier complexes. Pour ce qui est du calcul des sommes, on prendra garde au fait que la fonction n’est pas continue.

Résolution

La fonction f est 2 périodique et continue par morceaux (discontinuité pour



^{2 1}



^,

x k  k ), elle est même de classe

C

¹ par morceaux.

Question 1.

Pour tout entier naturel n, on a :

 

^{ }

 



   



   

1

1 1 1

2

2

1 1

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1 cos sin

2 1

t int i nt n

ni t ni ni

c f e e dt e dt

e ni e e

ni n

ni e n i n

n

 

 



 





 

 

 



 

 

   



 

  

      

  



 

 

^e



^cos

^{ }

^{n isin}

^{ }

^n



  ^{ }

   

    

 

2

2

2

1 1 cos

2 1

1 1 2 sinh 1

2 1

1 sinh 1 1

n

n

ni e e n

n ni n

ni n

  



 







 

 

  



   



 

 

PanaMaths Mars 2012

Il vient alors, pour tout entier naturel n :

     

    

  ^{ }  ^{ }  ^

   

 

2 2

2

1 sinh 1 1 sinh 1

1 1

1 sinh

2 1

n n n

n n

n

a f c f c f

ni ni

n n

n

 

 









 

   

 

 

 

 Et, pour tout entier naturel n, non nul :

     

    

  ^{ }  ^{ }  ^

   

  ^{   }

   

 

   

 

   

 

 

2 2

2

2

2 1

2

1 sinh 1 1 sinh 1

1 1

1 sinh

1 1

1 1 sinh

1 2

2 1 sinh 1 2 1 sinh

1

n n n

n n

n

n

n

n

n

b f i c f c f

ni ni

i

n n

i ni ni

n

i in

n n

n n

n na f

 

 























   

     

 

 

 

 

 

       

 



  



 



 

Ainsi, pour tout x réel, la série de Fourier ^{S f}

 

associée à la fonction f est définie par :

           

         

       

0

1

0

1

0

1

cos sin

cos sin

cos sin

n n

n

n n

n

n n

S f a f a f nx b f nx

a f a f nx na f nx

a f a f nx n nx













    

    

    







D’après le calcul ci-dessus, on a :

     

  ^{ }

0

0 2

1 sinh sinh

2 1 0

a f  

 

  



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Alors :

       

2

   

1

sinh 2sinh 1

cos sin

1

n

n

S f nx n nx

n

 

 





 



   

       

2

   

1

sinh 2sinh 1

cos sin

1

n

n

S f nx n nx

n

 

 





 



   

Question 2.

La fonction f n’est pas continue sur mais elle est

C

¹ par morceaux. Sa série de Fourier est donc égale à sa régularisée f_r :

         

2

   

1

sinh 2sinh 1

cos sin

1

n r

n

S f f x nx n nx

n

 

 





  



   

En particulier, pour x0, il vient immédiatement :

      

         

     

   

0

2 1

2 1

0 0 1 0

sinh 2sinh 1

cos 0 sin 0

1

sinh 2sinh 1

1

sinh 2sinh

'

r

n

n

n

n

f f e S f

n n n

n

n S

 

 

 

 

 

 









   

       

  



  





On a alors :

   

   

   

 

sinh 2 sinh

' 1

2 sinh sinh

' 1

' 1 sinh

2 sinh

' 1 1

2 sinh S S

S S

 

 

 

 

 

 





  

   

 

    

 

 

    

Pour x, on a :

 

¹

 

^cosh

^{ }

r 2

f   e^ e^   .

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On a alors :

      

         

       

   

2 1

2 1

cosh

sinh 2 sinh 1

cos sin

1

sinh 2 sinh 1

1 1 sinh 2 sinh

r

n

n

n

n n

f S f

n n n

n n S

  

 

 

 

 

 

 

 









 

       

    



  





Puis :

     

     

     

   

 

sinh 2 sinh

cosh

2 sinh sinh

cosh cosh sinh 2 sinh

1 cosh 2 sinh 1

1 1

2 tanh S S

S S

S

 

  

 

  

  

 

 







  

   

 

    

 

 

    

 

    

 

2 1

1 1

1 2 tanh 1

n

S n









 





     ^et

^{ }

²

_{ }

1

1 1

' 1

1 2 sinh

n

n

S n









 





    