p(F∩T)6=p(F)×p(T) donc Faux

TS Bac blanc 1 : Correction 31 janvier 2017 Exercice 1 : Probabilit´es

1. Voir le cours.

2.

Affirmation 1 pA(F) = p(F∩A) p(A) = 144

240 Donc Faux Affirmation 2 p(F∩T) = 39

100 etp(F)×p(T) = 720 1200× 618

1200= 309

1000.p(F∩T)6=p(F)×p(T) donc Faux .

Affirmation 3 Interroger une personne est une epreuve `a 2 issues de succ`es : la personne pr´ef`ere le trainde probabilit´e 618

1200= 103 200.

On observe la r´ep´etition de 20 ´epreuves identiques et ind´ependantes.

SoitX la variable al´eaotire qui compte le nombre de succ`es.X suit la loi bi- nomiale de param`etre 20 et 103

200.

A la calculatrice,` p(X 65)≈0,0015 donc p(X >6) = 1−p(X 65)≈0,985 doncp(X >6)>0,98. Donc Faux

Affirmation 4 Soit E l’´ev´enement :La personne interrog´ee est ´ecologiste et P l’´ev´enement :La personne interrog´ee est pour le projet. p(E∩P¯) = 0,65×0,7 = 0,455 donc Faux

Affirmation 5 ¯P et P forment un syst`eme complet d’´ev´enements. Par la formule des proba- bilit´es totales :p(E) =p(P)×pP(E) +p( ¯P)×pP¯(E) = 0,525. Donc Vrai . Exercice 2 : Suites arithm´etico-g´eom´etrique

1. Pour n= 10 :

Valeur dek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valeur deu 1,5 1,9 2,14 2,28 2,37 2,42 2,45 2,47 2,48 2,49 2,49 La suite (un) semble strictement croissante et tendre vers 2,5.

2. Voici l’algorithme pour qu’il affiche seulementun o`u nest l’entier saisi en entr´ee.

Variables : netk entiers naturels,unombre r´eel Entr´ee : Saisirn

Initialisation : uprend la valeur 1,5.

Traitement : Pourk allant de 1 `an

uprend la valeur 0,6u+ 1.

Fin Pour Afficheru

3. Pour tout entier naturel n, posonsPn: un= 2,5−0,6ⁿ . Initialisation : Pourn= 0

u₀= 1,5 et 2,5−0,6⁰= 1,5.

DoncP₀est vraie.

H´er´edit´e : SupposonsP_n vraie `a un rangn.

Alorsu_n = 2,5−0,6ⁿ.

Oru_n+1= 0,6u_n+ 1 = 0,6(2,5−0,6ⁿ) + 1 = 2,5−0,6ⁿ⁺¹ DoncP_n+1est vraie.

Par r´ecurrence, pour tout entier natureln, P_n est vraie.

4. 0<0,6<1. D’o`u lim

n→+∞0,6ⁿ= 0.

Donc par somme lim

n→+∞un = 2,5.

Pour tout entier natureln,un+1−un= 2,5−0,6ⁿ⁺¹−(2,5−0,6ⁿ) = 0,6ⁿ(−0,6+1) = 0,4×0,6ⁿ>0

Donc la suite (un) est strictement croissante.

Partie B

1. Pour tout entier natureln,vn+1=un+1−2,5c vn+1= 0,6un+c−2,5c vn+1= 0,6(vn+ 2,5c)−1,5c Pour tout entier natureln,vn+1= 0,6vn.

Donc (vn) est g´eom´etrique de raisonq= 0,6 et de premier termev0=u0−2,5c= 1,5−2,5c.

2. Pour tout entier natureln,v_n =v₀×qⁿ= (1,5−2,5c)×0,6ⁿ. 3. 0<0,6<1, donc lim

n→+∞vn= 0.

Or pour tout entier natureln,un=vn+ 2,5c.

D’o`u par somme, lim

n→+∞u_n= 2,5c.

Donc pour atteindre son objectif, il faut et il suffit que 2,5c = 10. Autrement dit c= 4.

Exercice 3 : Nombres complexes 1. Calcule dezC⁰ l’affixe deC⁰.

z_C⁰ =z_C−4 zC−1 = i√

2−4 i√

2−1 = (4−i√

2)(1 +i√ 2)

1 + 2 = 2 +i√ 2 2. R´esolvons sur C\ {1}, z⁰ = 2−i . z−4

z−1 = 2−i ⇔ z−4 = (2−i)(z−1) ⇔ z−(2−i)z = 4−(2−i) ⇔z(−1 +i) = 2 +i⇔z = 2 +i

−1 +i =−¹₂ −i³₂. Donc l’affixe deD est −¹₂−i³₂ .

3. R´esolvons surC\ {1}z⁰=z . ^z−4_z−1 =z⇔z−4 =z²−z⇔z²−2x+ 4.

Calcul du discriminant : ∆ = 4−16 = −12 < 0. L’´equation admet donc deux racines complexes conjugu´ees.

z1=2−i√ 12

2 = 1−i√

3 etz2= 1 +i√ 3.

f admet donc deux points invariants E et F d’affixes respectives : 1 +i√ 3 et 1−i√

3.

TS Bac blanc 1 : Correction 2 sur 2 2016-2017

C⁰

D⁰ D

A B

C E

F

b G

c

~ u

~v

4. (a) z=x+iy doncz⁰= x+iy−4 x+iy−1

= ((x−4) +iy)((x−1)−iy)

(x−1)²+y² = (x²−4x−x+ 4 +y²) +i(−xy+ 4y+xy−y)

(x−1)²+y² .

On a bien Re(z⁰) = (x²−5x+y²+ 4)

(x−1)²+y² et Im(z⁰) = 3y (x−1)²+y² .

(b) z⁰ est r´eel ssi Im(z⁰) = 0 c’est-`a-dire 3y =. E1 est la droite d’´equation y = 0 priv´e du point A.

(c) z⁰est imaginaire ssiRe(z⁰) = 0. Orx²−5x+y²+ 4 = (x−⁵₂)²+y²−²⁵₄ + 4 = (x−⁵₂)²+y²−⁹₄.

Doncz⁰ est imaginaire ssi (x−⁵₂)²+y²= ³₂² .

E2est le cercle de centre d’affixe ⁵₂ et de rayon ³₂ priv´e deA.

Exercice 4 : Exponentielle

1. Quel que soitx∈R,f(−x) = e^−x−e^x

2 =−e^x−e^−x

2 =−f(x) : la fonction f est donc impaire et le point O est centre de sym´etrie pour la courbeC.

2. On a lim

x→+∞e^−x = 0 et lim

x→+∞e^x = +∞, d’o`u par somme de limites

x→+∞lim f(x) = +∞. De mˆeme, lim

x→−∞e^x = 0 et lim

x→−∞e^−x = +∞, d’o`u par somme de limites

x→+∞lim f(x) =−∞.

3. f est d´erivable sur R et sur cet inter- valle :

f⁰(x) =e^x+ e^−x

2 .

Pour tout r´eel e^x>0, la somme de deux termes sup´erieurs `a z´ero est sup´erieure

`

a 0. La fonction f est donc strictement

croissante surR. x

f⁰(x) f

−∞ +∞

+

−∞

−∞ +∞+∞

Partie B 1. AvecM

x; ^ex−e₂^−x

, on a : AM²= (x−1)²+

e^x−e^−x 2

²

=4(x−1)²+ (e^x−e^−x)²

4 .

2. (a) Quel que soitx∈R,

g⁰(x) = 2(x−1) +2 (e^x+ e^−x) (e^x−e^−x)

4 = 2(x−1) + e^2x−e^−2x

2 .

(b) Quel que soitx∈R, g⁰⁰(x) = 2 + 2e^2x+ 2e^−2x

2 = e^2x+ e^−2x+ 2.

On a g⁰⁰(x) > 0 car somme de trois termes sup´erieurs `a z´ero ; g⁰ est donc strictement croissante surR.

(c) On ag⁰(0) =−2 + 1−1

2 =−2 etg⁰(1) = 0 + e²−e⁻² 2 ≈3,6.

Sur l’intervalle [0 ; 1],g⁰ est continue car d´erivable etg⁰(0)×g⁰(1)<0 : il existe donc un r´eel uniqueα∈[0 ; 1] tel queg⁰(α) = 0.

On ag⁰(0,46)≈ −0,02 etg⁰(0,47)≈0,02, ce qui montre que 0,46< α <0,47.

g⁰(α) = 0 etg⁰ est croissante surR, donc :

• six < α, g⁰(x)<0 ;

• six > α, g⁰(x)>0.

(d) On d´eduit du r´esultat pr´ec´edent queg est d´ecroissante sur ]− ∞; α[ et crois- sante sur ]α; +∞[, g(α) ´etant le minimum de la fonction surR.

3. On a AM =p

g(x) ; comme A n’est pas un point deC (on a vu ci-dessus que pour tout r´eelx,g(x)>g(α) doncg(x)>0).

La fonction racine carr´e est strictement croissante sur [0; +∞[ donc le minimum de

√g est le mˆeme que celui de g.

La distanceAM est bien minimum au pointMα . 4. On ag⁰(α) = 0 ⇐⇒ 2(α−1) +e^2α−e^−2α

2 = 0 ⇐⇒ α−1 =−e^2α−e^−2α

4 ⇐⇒

α−1 =−1 2f(2α) .

D’o`ug(α) = (α−1)²+(e^α−e^−α)²

4 =

−1 2f(2α)

²

+[f(α)]²=1

4[f(2α)]²+[f(α)]². Par croissance de la fonctionf :

0,46 < α <0,47 ⇒f(0,46) < f(α) < f(0,47), puis par croissance de la fonction x7→x² surR⁺,

[f(0,46)]²<[f(α)]²<[f(0,47)]²(1).

De mˆeme :

0,46< α <0,47⇒ −0,54< α−1<−0,53⇒ −0,54<−¹₂f(2α)<−0,53, puis par d´ecroissance de la fonction carr´ee sur ]− ∞; 0], 0,53²< ¹₂f(2α)²

<0,53²(2) Par somme des encadrements (1) et (2) :

1

4[f(0,92)]²+ (0,53)² <[1

2f(2α)]²+ [f(α)]² < 1

4[f(0,94)]²+ (0,54)² soit 0,507 <

g(α)<0,53 et enfin 0,71<AM0<0,73 .