Programme colle math Semaine 22 du 23/03/20 au 28/03/20 MPSI B Hoche
Matrices
B - Matrices et applications linéaires
a) Matrice d’une application linéaire dans des bases.
Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, Notation Mat e,f (u).
d’une application linéaire dans un couple de bases. Isomorphisme u 7→ Mat e,f (u).
Coordonnées de l’image d’un vecteur par une ap- plication linéaire.
Matrice d’une composée d’applications linéaires. Lien Cas particulier des endomorphismes.
entre matrices inversibles et isomorphismes.
b) Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Noyau, image et rang d’une matrice. Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau. Une matrice car- rée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous-espace nul.
Condition d’inversibilité d’une matrice triangulaire.
L’inverse d’une matrice triangulaire est une matrice triangulaire.
c) Blocs
Matrice par blocs. Interprétation géométrique.
Théorème du produit par blocs. La démonstration n’est pas exigible.
C - Changements de bases, équivalence et similitude
a) Changements de bases
Matrice de passage d’une base à une autre. La matrice de passage P e e
0de e à e 0 est la matrice de la famille e 0 dans la base e.
Inversibilité et inverse de P e e
0. Effet d’un changement de base sur les coordonnées
d’un vecteur, sur la matrice d’une application li- néaire.
b) Matrices équivalentes et rang
Si u ∈ L(E, F ) est de rang r, il existe une base e La matrice J r a tous ses coefficients nuls à l’excep- de E et une base f de F telles que Mat e,f (u) = J r . tion des r premiers coefficients diagonaux, égaux à
1.
Matrices équivalentes. Interprétation géométrique.
Une matrice est de rang r si et seulement si elle est Classification des matrices équivalentes par le rang.
équivalente à J r .
Invariance du rang par transposition.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S22Programme colle math Semaine 22 du 23/03/20 au 28/03/20 MPSI B Hoche
Rang d’une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
c) Matrices semblables et trace
Matrices semblables. Interprétation géométrique.
Trace d’une matrice carrée.
Linéarité de la trace, relation tr(AB) = tr(BA), Notations tr(A), Tr(A) invariance par similitude.
Trace d’un endomorphisme d’un espace de dimen- Notations tr(u), Tr(u).
sion finie. Linéarité, relation tr(uv) = tr(vu). Trace d’un projecteur.
Questions de cours
Matrice d’un vecteur dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases.
Définition des matrices de passage : inversibilité.
Matrices d’une composition d’applications linéaires.
Formule de changement de base sur la matrice d’un vecteur ou d’une application linéaire.
Une matrice est de rang r si et seulement si elle est équivalente à J r . Invariance du rang par transposition.
Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
Prochain programme Opérations élémentaires et systèmes linéaires. Sous-espaces affines.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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