MPSI – Programme de colles – Semaine 23
(du 29/03/2021 au 02/04/2021)1 Calcul matriciel.
Tout le programme précédent sur le chapitres 23. Lesquestions de cours au programme sont les suivantes : Bilinéarité du produit matriciel (Théorème 6, Chap 23).
2 Matrices et applications linéaires.
• Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases, notation MatE,Fpuq. Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire.
Question de cours : L’applicationuÞÑMatE,Fpuq est un isomorphisme (Théorème 5, Chap 24).
Question de cours :Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire (Proposition 6, Chap 24).
• Matrice d’une composée d’applications linéaires. Lien entre matrices inversibles et isomorphismes.
Question de cours : Matrice d’une composée d’applications linéaires (Proposition 7, Chap 24).
• Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Noyau, image et rang d’une matrice. Les colonnes engendrent l’image, les lignes donnent un système d’équations du noyau.
• Condition d’inversibilité d’une matrice triangulaire. L’inverse d’une matrice triangulaire inversible est une matrice triangulaire.
• Matrice de passage d’une base à une autre. La matrice de passage PEE1 de E à E1 est la matrice de la famille E1 dans la baseE. Effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur, sur la matrice d’une application linéaire.
• Matrices équivalentes. Classification des matrices équivalentes par le rang. Invariance du rang par transposition.
Rang d’une matrice extraite. Caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
Question de cours :Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent la même application linéaire dans des couples de bases différents (Proposition 30, Chap 24).
Question de cours :SiuPLpE, Fq est de rangr, alors il existe une baseE deE et une baseF deF telles que MatE,Fpuq “Jn,p,r (Proposition 33, Chap 24).
• Matrices semblables. Interprétation en termes d’endomorphisme. Invariance de la trace par similitude. Trace d’un endomorphisme en dimension finie. Trace d’un projecteur.
3 La semaine suivante.
Toute l’algèbre linéaire de MPSI. Un peu d’intégration.
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