Programme de colles, semaine 4
(du 05/10/2020 au 09/10/2020)1 Complexes. Ensembles, applications, relations binaires.
Tout le programme précédent sur les chapitres 2 et 3. Lesquestion de coursau programme sont les suivantes : Propriétés de l’image directe(Proposition 32, Chap 3).Propriétés de l’image réciproque(Proposition 34, Chap 3).Propriétés de l’application réciproque de f bijective & Réciproque de la composée de deux fonctions bijectives(Proposition 43, Chap 3).Caractérisation des applications bijectives & Réciproque de la composée de deux fonctions bijectives(Théorème 44 & Théorème 45, Chap 3).
Plus la fin du chapitre 3 :
• Relation binaire. Relation d’équivalence, classes d’équivalence. (La notion d’ensemble quotient est hors programme.) Congruences modulo un réel surR, modulo un entier sur Z.
Question de cours :Définition de relation d’équivalence + la relation de congruence modulo un réel surRest une relation d’équivalence (Définitions 54 et 55 et Exemple 19 deuxième point et sa démonstration, Chap 3).
• Relation d’ordre, ordre partiel, ordre total. Majorant, minorant, maximum, minimum d’une partie d’un en- semble ordonné. Bornes supérieure et inférieure (dans le cadre général pour l’instant, les propriétés de la borne supérieure dans Rseront vues plus tard). Exemple de l’ensemble ordonné pR,ďq (la construction de R est hors programme).
2 Généralités sur les fonctions réelles
• Ensemble de définition. Représentation graphique, graphes de x ÞÑ fpa˘xq, x ÞÑ a˘fpxq, x ÞÑ afpxq et x ÞÑ fpaxq. Résolution graphique d’équations et d’inéquations fpxq “ k et fpxq ě k. Opérations sur les fonctions. Parité. Périodicité. Monotonie. Fonctions majorées, minorées, bornées.
Question de cours :Une fonctionf est bornée si, et seulement si, la fonction|f|est majorée (Proposition 27, Chap 4).
• Continuité. Opération sur les fonctions continues. Dérivabilité. Opérations sur les fonctions dérivables. Tangente à la courbe. Dérivée et sens de variation. Dérivation de la bijection réciproque.
Question de cours : Dérivabilité sur R de la fonction f : R ÞÑ R définie par fp0q “ 0 et @x PR˚, fpxq “ x2sinx1, et non continuité def1 en0 (Dernier paragraphe du II.1).
Les étudiants doivent connaître les propriétés principales des fonctions vues au lycée (polynomiales, exp, ln, sin, cos) ainsi que celles de tan.
3 La semaine prochaine :
Ensembles, applications, relations binaires. Généralités sur les fonctions. Fonctions usuelles.
MPSI Lycée Pierre d’Ailly 2020-2021 Page 1
