Chapitre 4 Relation et fonction Leçon 8 Relation

1

Chapitre 4 Relation et fonction Leçon 8 Relation

1. Relation d’un ensemble vers un autre ensemble Exemple 1 : Soit deux ensembles A et B tels que :

A={Thao Kham, Nang Dy, Nang Phèng, Thao Kèo, Thao Boun}.

B={football, volleyball, pétanque}.

Si on trace toutes les flèches qui est la relation R : « … pratique … » de A vers B. On dit que :

• R est la relation de A vers B

• ^D=



^{Thao Kham, Nang Dy,Nang Pheng,Thao Keo,Thao Boun}



est l’ensemble de départ.

• ^R_⁼



^{football, volleyball,petanque}



est l’ensemble d’arrivée.

Exemple 2 : Soit







− − −

= , 2,0,1,3,1 2 3

, 2 3

A et







 − −

= 3

, 2 2 1 , 1 2 , 3 , 1 , 0

B ^.

Si on trace toutes les flèches qui est la relation R : « la valeur absolue d’élément de A est élément de B »

On obtient un ensemble de couples :

R

( ) ( ) ( ) ( ) ( )







 



 



= −  , 0;0, 1;1, 3;3, 1− 2; 2−1 3

;2 3 , 2 3

; 3

R est la relation de A vers B







− − −

 = , 2,0,1,3,1 2 3

, 2 3

D ^,







 − −

= 3

, 2 2 1 , 1 2 , 3 , 1 , 0 R

Boun Thao

Keo Thao

Pheng Nang

Dy Nang

Kham Thao A

B

petanque volleyball football

2

Ainsi, chaque élément de A peut-être origine d’une flèche, ou plusieurs, ou d’aucune (exemple 1). Et chaque élément de B peut être extrémité d’une flèche, ou de plusieurs, ou d’aucune (exemple 2).

Mais tous les couples de R sont éléments de ^AB. Définition

- La relation entre deux ensembles A et B est un lien des éléments de A et B dont l’élément de B n’est pas image de tel élément de A ou peut être image de plusieurs éléments de A.

- La relation R de A vers B est définie si et seulement si l’on connaît : 1. L’ensemble de départ, A

2. L’ensemble d’arrivée, B

3. Le graphe de cette relation, ensemble des couples ayant à la première place un élément de A et à la seconde place un élément de B, et pour lesquels la relation R est vraie.

Ce graphe est une partie du produit cartésien A^B. 2. Différents types de relation

Voici les graphes de la relation R : « … pratique … » de l’ensemble A de ces élèves vers l’ensemble B de ces sports.

a. Tous les éléments de l’ensemble d’arrivée auxquels aboutir au moins une flèche issue de l’ensemble de départ.

On dit que cette relation est une surjection.

2 1

3 1 0 2 3 2 3

−

−

− A

B

3 2

2 1

1 2

3 1 0

−

−

3

b. Tous les éléments de l’ensemble d’arrivée aboutit au plus une flèche issue de l’ensemble de départ.

On dit que cette relation est une injection.

c. La relation R de A vers B définie par : de tout élément de l’ensemble de départ il part une et une seule flèche vers un élément de l’ensemble d’arrivée est dite une application.

My Thao

Sy Thao

Pheng Nang

Deng Nang

Dam Thao

A

B

petanque volleyball football Boun

Thao Keo Thao

Dy Nang

Kham Thao A

petanque volleyball football

B

My Thao

Deng Nang

Dam Thao

A

B

petanque volleyball football

4

d. À chaque élément de l’ensemble d’arrivée aboutit une et une seule flèche issue d’un élément de l’ensemble de départ et réciproquement.

On dit que cette relation est une bijection.

Conclusion

Une application R de l’ensemble A dans l’ensemble B est une bijection de A sur B si et seulement si : à chaque élément de l’ensemble d’arrivée B aboutit une et une seule flèche issue d’un élément de A.

3. Graphe de la relation

Voici la relation R : « … pratique … » de l’ensemble A de ces quatre élèves vers l’ensemble B de ces trois sports.

On peut représenter cette relation par un graphe.

My Thao

Deng Nang

Dam Thao

A

B

petanque basketball football

Boun Thao

Keo Thao

Dy Nang

Kham Thao A

B

petanque basketball football

B

pétanque volleyball football

Kham Dy Kèo Boun











5

Exercices 1. Pour chacune des relations suivantes :

- Déterminer l’ensemble de départ, l’ensemble d’arrivée.

- Dessiner le diagramme.

- Annoncer le type.

a. R=

 (

−3;9

) (

, −1;1

) ( ) ( ) ( ) (

, 0;0, 1;1, 3;9 , 4;16

) 

b. R=

 (

−3;0

) (

, −2;1

) ( ) (

, 0;5, 1;−1

) ( ) ( )

, 3;4, 4;2



c. R=

 (

−1;3

) (

, −2;3

) (

, −1;0

) ( ) ( )

, 1;1, 3;3



d. R







 



 



 



 



 



 



 



 



= 

4

;1 4 ,

;1 4 ,

;1 4 ,

;1 HT TT HH

TH .

2. Dresser le graphe de chacune des relations suivantes.

a. R=(NangThong;Deng) (, ThaoKham;Khao) (, Nang Phone;Kheo) (, ThaoMay;Deng) b. R=

 (

−3;0

) (

, −2;1

) ( ) (

, 0;5, 1;−1

) ( ) ( )

, 3;4, 4;2



c. R=

 (

−1;3

) (

, −2;3

) (

, −1;0

) ( ) ( )

, 1;1, 3;3



d. R

( )







= + = =   ,0

2 , 1 1 , 2 ,

2 4 / 2

;y x y x

x .

6

Leçon 9 Fonction 1. Définition

On appelle fonction de A vers B, une relation de A vers B dans laquelle il part au plus une flèche de tout élément de l’ensemble de départ.

Pour noter la fonction f on indiquera :

. à l’aide d’une flèche, les deux ensembles concernés : f :A→B . la relation entre tout élément et son image par le signe : x f(x). Exemple 1 :Soit la relation de A vers B, R: « … a pour valeur absolue … » On écrit :

x x

B A f



→

: ou f

( )

x = x, xA

Exemple 2 : f :→

x x² ou f

( )

x =x2, x.

Exemple 3 : R : x2+ y2=2, xA, yB

R : x2+y2 =2, xA, yB Cette relation n’est pas une fonction car l’élément de A part plus d’une flèche.

Exemple 4 : R : y=x+2, xA, yB

R : y=x+2, xA, yB est une fonction.

2 1

3 1 0 2 3 2 3

−

−

− A

B

3 2

2 1

1 2

3 1 0

−

−

2 2 1 0

−1

A B

5 2 1 0

−1

2 2 1

0

−1

A B

4 2 2

3 2 1

+

7

2. Courbe représentative d’une fonction

Dans un repère donné, la courbe C représentant la fonction f est l’ensemble des points M(x; y) telles que :

l’abscisse x décrit l’ensemble de définition D_f et l’ordonnée y est l’image de x par f .

Autrement dit : xD_f et y= f(x).

Exemple 1 : R : y=x+2, xA, yB

R : y=x+2, xA, yB est une fonction.

On c

onstate que

On constate qu’un antécédent a pour une image et une image correspond à un seul antécédent.

Exemple 2 : Soit la relation de A vers B, R: « … a pour valeur absolue … »

2 2 1 0

−1

A B

4 2 2 3 2 1

+

-1 0 -3 -2







1 2

3

3 1

2 4

2 2

2+

8

Exemple 3 : R : x2+y2 =2, xA, yB

R : x2+y2 =2, xA, yB Cette relation n’est pas une fonction car l’élément de A part plus d’une flèche.

2 2 1 0

−1

A B

5 2 1

0

−1 2 1

3 1 0

2 3 2 3

−

−

−

3 2

2 1

1 2

3 1 0

−

− A

B

-2 -1

-3 O 1

2 3





 1

2− 1

3 2 3

2

2 1−

3

2

O 2 -1

-1





1 1

2 2

2



9

Exemple 4 : Les courbes suivantes sont-elles des courbes représentatives de fonctions ?

a. b.

Solution

Pour vérifier qu’une courbe est une courbe représentative d’une fonction, on trace la parallèle à l’axe

( )

Oy . Si cette parallèle coupe la courbe au plus un point, cette courbe est la courbe représentative d’une fonction.

Ce n’est pas la courbe de fonction C’est la courbe d’une fonction 3. Ensemble de définition

Soit y= f(x) une fonction

X

y

O y

O x y

O x

O ^X

y

10

• L’ensemble de définition de la fonction f est exactement l’ensemble des valeurs x qui ont une image par f . On dit aussi « domaine de définition » et on le note par D_f : D_f =



x/y = f(x)



.

• L’ensemble d’images de la fonction f est exactement l’ensemble des valeurs y qui sont les images de x par f . On dit aussi que x est antécédent de y par f et on le note par R_f : R_f =



y/y= f(x)



.

Exemples : Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. 2 3

) 5

( −

= + x x x

f 2.

3 ) 4

( ₂

+

= − x x x h

3. k(t)= t+2 4. g(t)=t² −4t Solution :

1. 2 3

) 5

( −

= + x x x

f , la fonction f est définie pour 2x−3 0 soit 2

 3 x . Donc







−



= 2

3

Df .

2. 3

) 4

( ₂

+

= − x x x

h puisque x² +30, x. Donc D_h =.

3. k(t)= t+2, la fonction k est définie pour t+20 soit t −2. Donc D_k ⁼



t/t ^−2



⁼



⁻2,^+



.

4. g(t)=t² −4t, la fonction g est définie pour t de . Donc D_g =. 4. Fonctions paire, impaire, périodique

Soit f une fonction définie sur un ensemble centré en zéro (ou symétrique par rapport à zéro).

Sous cette condition, on peut étudier la parité de f . Fonction paire D_f est centré en zéro

et, pour tout x de D_f , on a : f(−x)= f(x)

L’axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe C_f .

Fonction impaire D_f est centré en zéro L’origine du repère est le centre

y

O ^X

M ' M

x x

−

11

et, pour tout x de D_f , on a : f(−x)=−f(x)

de symétrie de la courbe C_f.

0 y

x

f(x)=x

³

f x ( ) = x

³

Fonction périodique



f =

D , et, pour tout réel x, on a :

) ( )

(x T f x

f + =

Par glissement (ou translation) horizontal, la courbe C_f est inchangée.

Remarque :

Beaucoup de fonctions ne sont ni paires, ni impaires, en particulier toutes les fonctions dont l’ensemble de définition n’est pas centré en zéro.

Exemple 1 : Préciser la parité de chacune des fonctions suivantes.

1. f(x)= x 2. f(x)= x³ 3. f(x)= x+1 Solution :

1. f(x)= x, on a : xD_f , f(−x) = −x = x = f(x). Donc f est une fonction paire.

Les points A et A’ sont symétriques par rapport à l’axe (Oy). Graphique :

2. f(x)= x³, on a : ^xD_f ^{, f(−x)=}

( )

^{−x 3 =−x3 =−f(x)}

A’ A

’

 

y

-1 0

-3 -2 1 2

3

3 1

2 4

4 4

− ^x

M

x

−x

' M

12

−1 ---1

1 2

2

−2

−2

1

A

A’ 



Donc f est une fonction impaire.

Les points A et A’ sont symétriques par rapport au point origine O.

Graphique :

0 y

x

f(x )=x

³

f x ( ) = x

³

3. f(x)= x+1, on a :   , f(−x)=−x+1 Df

x

Et − f(x)=−(x+1)=−x−1 On constate que , f( x) f(x)

Df

x − −



Donc f est une fonction ni paire, ni impaire.

Graphique :

Exemple 2 : Le graphe ci-dessous représente la courbe d’une fonction périodique de période 1.

---3

---4 -4

-4

---1 ---1

y

O 2

1

−2

−2

2

x 3

1 3

13

Exemple 3 : Le graphe ci-dessous représente la courbe d’une fonction périodique de période 2.

5. Variations

Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Fonction

croissante

Pour tous les réels a et

b de I tels que ab, on a :

) ( ) (a f b f 

Les images sont dans le même ordre que les nombres.

Fonction décroissante

Pour tous les réels a et

b de I tels que ab, on a :

) ( ) (a f b f 

Les images sont dans l’ordre contraire des nombres.

y

0

•

a b

f(a) f(b)

x

•

•

•

I

y

0

•

a b

f(b) f(a)

x

•

•

•

I

14

Exemple 1 :

La courbe d’une fonction

croissante sur l’intervalle



0;2



Exemple 2 :

La courbe d’une fonction décroissante sur l’intervalle



^{−2; 0}



Exemple 3 :

La courbe d’une fonction croissante

sur l’intervalle



^{−2 ; 4}



Exemple 4 :

La courbe d’une fonction décroissante sur l’intervalle



−^{2 ; 4}



15

Exemple 5 :

La fonction décroissante sur



^−1;0



et croissante sur



^{0; 2}



.

Exercices

1. Parmi les relations suivantes, indiquer celles qui représentent une fonction.

a. R=

 (

−3;9

) (

, −1;1

) ( ) ( ) ( ) (

, 0;0 , 1;1, 3;9 , 4;16

) 

b. R=

 (

−3;0

) (

, −2;1

) ( ) (

, 0;5, 1;−1

) ( ) ( )

, 3;4, 4;2



c. R=

 (

−1;3

) (

, −2;3

) (

, −1;0

) ( ) ( )

, 1;1, 3;3



d. R







 

 



 



 



 



 



 



 



= 

4

;1 4 ,

;1 4 ,

;1 4 ,

;1 HT TT HH

TH .

e. f.

2. Les courbes suivantes sont-elles des courbes représentatives de fonctions ?

(Si la réponse est négative, expliquer pourquoi)

0 3

−1

A B

5 3 1

0 3

−1

A B

5 3 1

16

a. b.

c. d.

e. f.

3. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

a. 3 1

) 1

( −

= + x x x

f b. ( 1)( 2)

) 1

( + −

= −

x x x x

f c. f(x)=x²+1

d. f (x)= x²+1 e. f (x)= x+1 f. f (x)= x+1

4. Pour chacune des courbes ci-dessous représentant une fonction, indiquer celles qui sont paires, impaires ou périodiques.

a.

17 b.

5. Pour chacune des fonctions suivantes, donner les variations croissante, décroissante).

a. f(x)=3x−4 b. f (x)=−x+5

c. f (x)= x²−3x+4 d. f (x)=−x²−3x−4

6. On considère les fonctions :

2 6 ) (x = x−

f , g(x)=x²−4x+1, h(x)=7 et k(x)= x−2. Calculer :

a. _



 



−  +

− 2

; 1 ) (

; ) 1 (

; ) 6 (

; )

(t f f x f a f

f .

b. ( ) 



 



−  +

−

− 4

; 1 ) (

; ) (

; 2

; ) 3 (

; ) (

; ) 0 (

; ) 2

( g g a g g x g x h g b g

g .

c. ; ( 5)

7

; 1 ) (

; ) 1 (

; )

(  −



 



− 

+ h x h h

x h u

h .

d. k(4); h(−2); h(−c²).

8. On considère la fonction f , connue par sa courbe représentative C .

a. Donner l’ensemble de définition f . b. Donner l’ensemble des images f . c. Donner la variation f .

18

d. Donner les images f(1); f(3); f(−2).

e. Donner la valeur de x telle que f(x)=−3; f(x)=1.