Les suites numériques
Généralités sur les suites
E xercice 1
Pour les suites suivantes, trouver la fonction f associée à la suite définie par la relation de récurrence u
n+1= f (u
n) et calculer les termes de u
1à u
4a)
u
0= 5 u
n+1= 2u
nu
n+ 1 b)
u
0= − 1
u
n+1= (u
n+ 1)
2c)
u
0= 2 u
n+1= u
n− 1
u
nd)
u
0= 1 u
n+1= p
u
n+ 1
E xercice 2
Pour les suites suivantes, calculer les termes de u
1à u
5puis conjecturer une formule explicite du terme général. Retrouver alors u
0à partir de la formule conjecturée puis démontrer la relation donnée entre u
n+1et u
n.
a)
u
0= 1 u
n+1= 1
2 u
nb)
( u
0= 1
u
n+1= u
n+ 5 c)
u
0= 1
u
n+1= 1 − 1 1 + u
nE xercice 3
Pour les exercices suivants, étudier le sens de variation de la suite (u
n).
a) u
n= 3n − 2 n + 1 b) u
n= 2
3n3
2nc) u
n= (n − 5)
2, n > 5
d) u
0= 2 et ∀ n ∈ N , u
n+1= u
n− n e) ∀ n ∈ N
∗, u
n= 2
nn
E xercice 4
1) Quelle est la suite (u
n) définie par récurrence dont ce programme calcule le terme u
n. 2) On prend A = 2
a) Calculer u
1, u
2et u
3.
b) Ecrire ce programme sur votre calcu- lette puis donner une approximation du terme u
10.
c) Que semble calculer la suite (u
n) ? 3) Prenez plusieurs valeur de A, par
exemple 3, 4, 9, 25, et indiquer le terme u
10qui permet de confirmer votre conjecture. Cette suite s’appelle la suite
Variables : N, I entiers et A, U réels Entrées et initialisation
Lire A,N 1→U Traitement
pour I variant de 1 à N faire 1
2
U+ A U
→U fin
Sorties : Afficher U
Suite arithmétique
E xercice 5
Pour les exercices suivant préciser si la suite (u
n) est arithmétique ou non a) u
n= 2n + 3
b) u
n+1= 3n + 1 2
c) u
n= n
2− n d)
( u
0= 2 u
n+1= 2 + u
nE xercice 6
Soit (u
n) une suite arithmétique de raison r.
a) u
0= 1 et u
10= 31. Calculer r puis u
2015b) u
0= 5 et u
100= − 45. Calculer r puis u
20c) u
17= 24 et u
40= 70. Calculer r puis u
0.
E xercice 7
Avec une suite auxiliaire
(u
n) est la suite définie par u
0= 1 et pour tout naturel n, u
n+1= u
n1 + u
na) Calculer u
0, u
1, u
2, u
3, u
4, u
5.
b) Pour tout n on pose v
n= 1
u
n. Calculer v
0, v
1, v
2, v
3, v
4, v
5.
c) Prouver que la suite (v
n) est arithmétique. Exprimer alors u
nen fonction de n.
E xercice 8
a) Démontrer que la somme : 1 + 3 + 5 + · · · + 99 est le carré d’un naturel.
b) Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers naturels impairs S = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1)
E xercice 9
La figure ci-dessous, indique le début de la construction de zones colorées que l’on peut prolonger indéfiniment. Tous les tri- angles de la figure sont équilatéraux.
a) Prouver que la suite (u
n) des aires dé- finies par la figure est arithmétique.
Quelle est sa raison ?
b) La suite (v
n) des périmètres est-elle
arithmétique ?
0 1 2 3 4 5u1
u2 u3
u4 u5
E xercice 10
a) Calculer la somme de tous les entiers naturels multiples de 3 inférieurs à 1 000.
b) Calculer la somme de tous les entiers naturels multiples de 5 inférieurs à 9 999.
c) Calculer la somme de tous les nombres entiers naturels inférieurs à 2 154 ayant 3 comme chi ff re des unités.
E xercice 11
Nombres triangulaires
Voici les quatre premiers nombres triangulaires : a) Représenter et donner les valeurs de T
5et T
6.
b) Ecrire un algorithme permettant de cal- culer un nombre triangulaire quelconque T
n, puis à l’aide de votre calculatrice donner les valeurs de T
12et T
60.
b
T1
b bb
T2
b b b
b bb
T3
b b b b
b b b
b bb
T4
c) Retrouver ces résultats par le calcul.
d) Écrire un algorithme permettant de trouver les valeurs de n telles que : T
n> 100 puis T
n> 1000.
e) Retrouver ces résultats par le calcul.
E xercice 12
(u
n) est une suite arithmétique de raison r, de premier terme u
1et de n
eterme u
n. On note S
n= u
1+ u
2+ · · · + u
n.
Les question sont indépendantes les unes des autres.
a) Calculer u
1et S
17lorsque : u
17= 105 et r = 2 b) Calculer u
1et u
33lorsque : r = − 7 et S
33= 0
c) Calculer n et u
1lorsque : u
n= 14 , r = 7 et S
n= − 1176
E xercice 13
Des tuyaux sont rangés comme indiqué ci- contre :
1) Quel est le nombre total de tuyaux dans un empilage de 5 couches ? 12 couches ? 2) On a stocké 153 tuyaux, combien y a-t-il
de couches ?
3) Pour ranger 200 tuyaux, combien faut-
il de couches ? Combien reste t-il de
tuyaux ?
E xercice 14
Nombres pyramidaux
On suppose que la suite des entiers naturels est écrite dans un tableau selon la disposition ci-dessous. On représentera un nombre par le numéro de la ligne qui le contient et par son rang dans la ligne à partir de la gauche. Par exemple, 6. Le nombre 6 est au second rang de la troisième ligne. Dans quelle ligne se trouve le nombre 2 013 ? Quel est son rang dans cette ligne ?
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
E xercice 15
Forage
Une entreprise estime le coût d’un forage ainsi :
• le premier mètre coûte 1 000 euros.
• Le second mètre coûte 1 050 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 50 euros de plus que le précédent.
• On dispose d’un crédit de 519 750 e .
1) Proposer un programme permettant de connaître la profondeur du forage.
2) On appelle (u
n) la suite telle que u
1= 1 000 et u
nreprésente de coût du n
emètre.
a) Montrer que (u
n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison. Exprimer alors u
nen fonction de n.
b) Montrer que le nombre de mètres n que l’on peut forer avec le crédit alloué vérifie : n
2+ 39n − 20 790 = 0
c) Retrouver le résultat de la question 1)
E xercice 16
Un cycliste e ff ectue cinq tours de piste en 2 minutes 40 secondes. Sachant qu’à chaque tour, il a mis une seconde de plus qu’au précédent, déterminer le temps mis pour chaque tour.
On donnera une résolution à l’aide d’une suite puis une résolution arithmétique
E xercice 17
Histoire d’allumettes
En posant des allumettes de même longueur sur une table, on réalise une figure plane donnée sur la figure ci-dessous.
Combien d’étages peut-on construire avec 10 440 allumettes ? On proposera un algo- rithme puis on vérifiera le résultat par le cal-
cul.
b bb bb bb bb bb bbb b b b bb b b b
b b bb b bb
bb
bb
b bb
E xercice 18
On donne l’algorithme ci-contre.
a) Quelle est la nature et les éléments ca- ractéristiques de la suite utilisée dans cet algorithme.
b) Préciser le but de cet algorithme puis donner le résultat obtenu.
c) Retrouver ce résultat par le calcul
Variables : I entier et U, S réels Entrées et initialisation
1→U 0→S Traitement
pour I variant de 1 à 10 faire U+3→U
S +U→S fin
Sorties : Afficher S
Suite géométrique
E xercice 19
Pour les exercices suivants, préciser si la suite est géométrique ou non.
a) u
n= 5
n+3b) u
n= 2n + 3
3
c) u
n= 3
n+ 3n
d) u
0= − 1 et ∀ n ∈ N , 5u
n+1− 2u
n= 1
E xercice 20
Pour les exercices suivants, (u
n) est une suite géométrique de raison q.
a) u
0= 4 et q = 5. Exprimer u
nen fonction de n.
b) u
4= 8 et q = 2. Calculer u
2et u
6. c) u
5= 10 et q = − 1
2 . Calculer u
0et u
10.
d) u
5= 64, u
7= 256, q > 0. Calculer q puis u
10e) u
5= 486, u
7= 4 374, q > 0. Calculer u
0et u
10.
E xercice 21
Pour les exercices suivants, (u
n) est une suite géométrique de raison q.
a) Pour tout naturel n, on a u
n+2= u
n+1+ u
nTous les termes sont non nuls et sa raison q est positive. Trouver q.
b) (u
n) est une suite géométrique croissante dont les termes sont négatifs. Son premier terme est u
11) Que peut-on dire de sa raison ? 2) On sait que u
1× u
3= 4
9 et u
1+ u
2+ u
3= − 19 9 . Calculer u
1, u
2et u
3.
3) Calculer u
nen fonction de n.
E xercice 22
Avec une suite auxiliaire
(u
n) est une suite définie par u
0= 2 et, pour tout naturel n, u
n+1= 2u
n+ 5.
a) Calculer u
1, u
2, u
3, u
4et u
5.
b) Pour tout naturel n, on pose v
n= u
n+ 5.
Calculer v
1, v
2, v
3, v
4et v
5.
c) Prouver que la suite (v
n) est géométrique. Exprimer alors u
nen fonction de n.
E xercice 23
Somme de termes
a) Calculer : S = 4 + 4
2+ 4
3+ · · · + 4
7b) Calculer : S = 1
4 + 1 8 + 1
16 + · · · + 1 1 048 576 c) Calculer : S = 1
3 − 1 9 + 1
27 − · · · − 1 6 561 d) Calculer : S = 1 + 1
10 + 1
100 + · · · + 1 10
7E xercice 24
(u
n) est une suite géométrique, u
10= 25 et u
13= 200.
a) Calculer u
0et la raison q.
b) Calculer S = u
10+ u
12+ u
14+ · · · + u
20E xercice 25
Problème de loyer
Une personne loue un appartement à partir du 1er avril 2007. Elle a le choix entre deux
formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 4 800 e et le locataire
s’engage à occuper l’appartement pendant 9 années complètes.
1) Contrat n˚1
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5 % du loyer chaque année.
a) Calculer le loyer u
1payé la deuxième année. On appelle u
0le loyer de la 1
reannée.
b) Exprimer u
n- loyer de la (n + 1)
eannée - en fonction de n. Calculer u
8(loyer de la 9
eannée)
c) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années de contrat.
2) Contrat n˚2
Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 280 euros chaque année.
a) Calculer le loyer v
1payé pour la deuxième année. On appelle v
0le loyer de la 1
reannée.
b) Exprimer v
n- loyer de la (n + 1)
eannée - en fonction de n. Calculer v
8(loyer de la 9ème année)
c) Calculer la somme payée à l’issue des 9 années de contrat. Quel est le contrat le plus avantageux ?
E xercice 26
1) Vérifier que la suite (w
n) définie sur N par : w
n= 2
n− 2n + 2 n’est ni arithmétique ni géométrique.
2) a) Prouver que la suite (u
n) définie sur N par : u
n= − 2n + 2 est arithmétique.
b) Prouver que la suite (v
n) définie sur N par : v
n= 2
nest géométrique.
3) Calculer alors la somme : S = w
0+ w
1+ · · · + w
10Limite d’une suite
E xercice 27
Soit la suite (u
n) définie par u
0= 1
2 et u
n+1= u
n1 + 2u
na) A l’aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement le comportement de la suite (u
n) pour les grandes valeurs de n.
On prendra comme fenêtre : X ∈ [0; 1] et Y ∈ [0; 0, 5]
b) On pose : v
n= 1
u
n+ 1. Prouver que la suite (v
n) est arithmétique. Vous donnerez son premier terme et sa raison.
c) Exprimer v
n, puis u
nen fonction de n.
d) En déduire la limite de la suite (u
n).
E xercice 28
(u
n) est la suite définie par u
0= 1 et u
n+1= 1 2 u
n+ 1
4 .
1) Placer sur l’axe des abscisses les termes u
0, u
1, u
2, u
3sur la représentation ci-desssous.
Conjecturer alors limite de la suite (u
n).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
O
f (x)=12x+14 y=x
2) On pose v
n= u
n− 1 2 .
a) Prouver que la suite (v
n) est géométrique.
b) Exprimer v
n, puis u
nen fonction de n.
c) En déduire la limite de la suite (u
n).
E xercice 29
La suite (u
n) est définie par u
0= 0 et u
n+1= 2u
n+ 2 u
n+ 3 .
1) Placer sur l’axe des abscisses les termes u
0, u
1, u
2, u
3sur la représentation ci-desssous.
Conjecturer alors limite de la suite (u
n).
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
O
f (x)=2x+2 x+3 y=x
2) On pose v
n= u
n− 1 u
n+ 2 .
a) Prouver que la suite (v
n) ainsi définie est géométrique.
b) Exprimer v
npuis u
nen fonction de n.
c) Quelle est la limite de (v
n) ? En déduire la limite de (u
n).
E xercice 30
Avec des carrés
n carrés sont disposés comme l’indique la figure ci-dessous (réalisé avec 5 carrés). Le côté d’un carré vaut la moitié du précédent.
Le premier carré a pour côté c
0= 5 cm et pour aire a
0. On pose ℓ
n= c
0+ c
1+ · · · + c
net s
n= a
0+ a
1+ · · · + a
n.
5cm
ℓ4 a0
a1
a2 a3
c0
c1
c2
c3 c4
1) Calculer les cinq premiers termes des suites (ℓ
n) et (s
n). On pourra s’aider éventuelle- ment d’un algorithme.
2) a) Exprimer ℓ
net s
nen fonction de n.
b) Existe-t-il un entier p tel que ℓ
p> 10 ?
c) Donner la limite (éventuelle) de chacune des suites (ℓ
n) et (s
n).
E xercice 31
Construction géométrique
Les deux droites issues de O font des angles de π
3 et la mesure de OA
0est 4.
b
O
b
A0
b
A1
bA2
b
A3 b A4
π 3
4
On définit la suite (u
n) par : u
n= A
0A
1+ A
1A
2+ A
2A
3+ · · · + A
n−1A
na) On pose v
n= A
n−1A
n. Montrer que la suite (v
n) est géométrique et l’on précisera la raison et le premier terme v
1.
b) Calculer u
nen fonction de n.
c) Quelle est la limite de la suite (u
n)
E xercice 32
Les triangles de Sierpinski
On part d’un triangle équilatéral de côté 10.
A chaque étape, on construit dans chaque triangle équilatéral (non colorié), le triangle équilatéral (colorié) ayant pour sommets les milieux des côtés.
On s’intéresse à l’aire S
net au périmètre P
nde la surface coloriée à la n
ièmeétape.
1) a) Expliquer pourquoi, quel que soit l’entier n , S
n6 25 √ 3
b) Conjecturer le sens de variation de S
net de P
n, et leurs limites éventuelles.
2) Exprimer S
net P
nen fonction de n puis déterminer, si elles existent : lim
n→+∞
S
net
n
