Soit R un symbole de relation binaire

L3 - LOG (Année 2015/2016) Natacha Portier/Anupam Das/Ignacio García-Marco TD5 : Un peu de théorie des modèles.

Exercice 1.

Soit R un symbole de relation binaire. Pour chacune des formules et des interprétations ci-dessous, dire si la formule est satisfaite ou non dans l’interprétation.

1. ∀x∀y∀z{¬R(x, x)∧[R(x, y)→ ¬R(y, x)]∧[R(x, y)∧R(y, z)→R(x, z)]}

2. ∃x∀yR(x, y) 3. ∃x∀yR(y, x)

4. ∀x∃y{R(x, y)∧ ∀z[R(x, z)→(z=y)∨R(y, z)]

5. ∀x∀y{R(x, y)→ ∃z[R(x, z)∧R(z, y)]

1. Noù R est interprété par<

2. Qoù R est interprété par<

3. P(N)où R est interprété par⊂(stricte)

Exercice 2.

SoitL={R, S}oùR(resp.S) est un symbole de relation unaire (resp. binaire). On considère l’interprétationMdeLdont l’ensemble de base est|M|={n∈N|n≥2}et dans laquelle l’interprétation deR (resp. deS) est la relation “être premier” (resp. “diviser”). Pour cha- cune des formules suivantes (à une variable librex), indiquer l’ensemble des éléments de

|M|qui la satisfont.

1. ∀y{S(y, x)→x=y}

2. ∀y{S(y, x)∧x6=y→R(y)}

3. ∀y, z{R(y)∧R(z)∧S(y, x)∧S(z, x)→y=z}

4. ∀y, z{S(y, x)∧S(z, x)→S(y, z)∨S(z, y)}

5. ∀y, ∃z, t{¬R(y)∧S(y, x)→R(z)∧R(t)∧z6=t∧S(z, y)∧S(t, y)}

Exercice 3.

SoientL={R, S}un langage oùRetSsont des symboles de relation unaire et

F[x] =∀y{[S(y)→R(x)]→[S(x)→R(y)]}

SiMest une interprétation deL, on noteFM ={a∈ |M| tel que MF[a]}

1. SoitMune interprétation deL. Montrer queFM6=∅.

2. SoitAun ensemble non vide. Montrer que, pour tout sous-ensemble non videB de A, il existe une interprétationMdeLd’ensemble de baseAtelle queFM=B.

Exercice 4.

SoientLun langage ne contenant pas de symbole de fonction etA[x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_k]une formule sans quantificateurs écrite surLayantmsymboles de constante.

1

1. Montrer que la formule

∀x₁, . . . xn,∃y₁, . . . , y_kA[x1, . . . , xn, y1, . . . , y_k]

est un théorème si et seulement si elle est satisfaite dans toute interprétation de cardinal au plusmax(1, n+m).

2. Montrer que ce résultat n’est pas vrai siLcontient des symboles de fonction.

Exercice 5.

Montrer que les interprétationsMetN du langageLsont isomorphes.

1. L={a, f}oùaest une constante etfest une fonction binaire.

|M|=R^∗₊,aM = 1etfMest la multiplication.

|N |=R,aN = 0etfN est l’adddition.

2. L={R}oùRest une relation binaire.

|M|=RetRMest la relation≤.

|N |=]0,1[etRN est la relation≤. .

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