Info4C - Licence 2 - Ann´ee 2019/2020 Relation binaire, relation d’ordre, treillis

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Info4C - Licence 2 - Ann ´ee 2019/2020

Relation binaire, relation d’ordre, treillis

J.-L. Baril

Universit ´e de Bourgogne Labo. LIB http://jl.baril.u-bourgogne.fr

February 21, 2020

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Relation Binaire

()()()() 14/23

1/2/3/4

()(())() (()())()

(()()()) ()(()())

()()(()) (())()()

()((())) (()(()))

134/2 ((()()))

12/34

(())(()) ((())()) ((()))()

1234 (((())))

12/3/4 13/2/4 14/2/3 1/23/4 1/24/3 1/2/34

123/4 124/3 1/234

Treillis et alg `ebres de Boole 1. Relations binaires

2. Relations d’ ´equivalences 3. Relations d’ordres

4. Treillis

5. Alg `ebres de Boole

J.-L. Baril Relation binaire, relation d’ordre, treillis

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Relation binaire

()()()() 14/23

1/2/3/4

()(())() (()())()

(()()()) ()(()())

()()(()) (())()()

()((())) (()(()))

134/2((()())) 12/34(())(()) ((())()) ((()))() 1234

(((())))

12/3/4 13/2/4 14/2/3 1/23/4 1/24/3 1/2/34

123/4 124/3 1/234

Soient E et F deux ensembles.

D ´efinitions :

Une relation binaire de E vers F est une partieRde E×F . Si (x,y) ∈ Ralors on dit que x est en relation avec y et on le note xRy . Dans le cas ou E =F on dit queRest d ´efinie sur E.

Remarque: repr ´esentation par diagramme sagittal, matrice Exemples : R=∅ouR=E×F .

X ={a,b,c}et Y ={e,f,g}etR={(a,e),(a,f),(a,g)}.

R= [1,10]×[−1,30]est une relation binaire de [0,20]×[−2,32].

xRy si y est le carr ´e de x .

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Relation binaire

D ´efinition :

SoitRune relation binaire de E vers F . On appelle relation r ´eciproque deRet on noteR⁻¹la relation binaire de F vers E d ´efinie par : ∀(x,y)∈E×F,yR⁻¹x ⇐⇒xRy .

Exemple : Si X ={a,b,c}et Y ={e,f,g}et

R={(a,e),(a,f),(a,g)}alorsR⁻¹={(e,a),(f,a),(g,a)}.

Trouver la relation r éciproque de xRy si y est le carr é de x . D éfinition :

SoitRune relation binaire de E vers F etS une relation binaire de F vers G. La compos éeT deRetS est une RB de E vers G not éeT =RSest d éfinie par:∀(x,y)∈E×G,

xTy ⇐⇒il existe z ∈F tq xRz et zSy .

Remarque : La composition est associative: (RS)T =R(ST).

Trouver la compos ´ee deRparR((x,y)∈ R ⇔y =x²)

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Relation binaire

D ´efinition :

On dit qu’une relation binaireRd ´efinie sur E est:

•r ´eflexive si∀x ∈E, xRx

•sym ´etrique si∀(x,y)∈E×E, xRy ⇐⇒yRx .

•transitive si∀(x,y,z)∈E³, xRy et yRz ⇐⇒xRz.

•antisym étrique si∀(x,y)∈E², xRy et yRx =⇒x =y . Exemples : La relation≤est antisym étrique, r éflexive, transitive sur l’ensemble des r éels.

La relation de parit é est sym étrique, r éflexive, transitive sur l’ensemble des entiers.

Quelles sont les propri ét és de la relation xRy si y est le carr é de x ?

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Relation d’ ´equivalence

D ´efinitions :

Une relation d’ équivalence∼de E est une relation binaire de E r éflexive, sym étrique et transitive. Pour x ∈E donn é,

l’ensemble des él éments qui sont en relation avec lui est appel é sa classe d’ équivalencex¯={z ∈E, x ∼z}. Un

él ément z ∈x est un repr ésentant de la classe. L’ensemble des¯ classes d’ équivalence est appel é l’ensemble quotient not é E/∼:={x¯,x ∈E}.

Remarque: Les classes forment une partition de E . Pi `ege: Trouver les classes d ’ ´equivalences

xRy ⇔y multiple de x

Exemples : ”=”, Si f :E →F alors la relation

x ∼y ⇐⇒f(x) =f(y)est une relation d’ ´equivalence.

Exercice: Montrer que si f est indempotente (f ◦f =f ) d’un ensemble E dans lui-m ˆeme, la relation definie par

xRy ⇐⇒y =f(x)est antisym ´etrique et transitive.

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Relation d’ ´equivalence

Exemples : Pour n>0, l’ensemble des entiers modulo n est l’ensemble quotientZ/nZ=Z/∼ou p∼q⇐⇒n divise p−q.

Z/2Z={¯0,1¯},Z/nZ={¯0,¯1, . . . ,n−1}. D ´efinition:

Soient deux ensembles munis d’une relation d’ ´equivalence∼E

et∼F. Une fonction f :E →F passe au quotient si

x ∼E y ⇐⇒f(x)∼F f(y)et cela permet de d ´efinir la fonction

¯f : ¯E →F qui a¯ x associe f¯ (x).

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Relation d’ ´equivalence

Proposition : factorisation canonique

Toute fonction f :E →F est la compos ´ee d’une surjection, une bijection et une injection:

f :E → E/∼ →Im(f) →F x → x¯ →f(x) →f(x)

Exemples : La fonction r ´eelle f :x →x²se factorise comme suit:

f :R→ R/∼ →Im(f) =R⁺ →R x → x¯={−x,x} →x² →x²

On construit les rationnels avec les entiers gr âce à la relation d’ équivalence surZ×Z^∗ :(x,y)∼(u,v)⇐⇒xv =yu.

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Relation d’ ´equivalence - Exercices

Exercice 0:

Soit P l’ensemble des nombres premiers strictement

sup érieurs à 2. On consid ère la relationRentre deux él éments de P d éfinie par:

pRq⇐⇒ p+q 2 ∈P.

La relation est-elle r ´eflexive, sym ´etrique et transitive?

Exercice 1:

Soient E un ensemble et A∈ P(E)une partie de E . On d ´efinit une relation∼surP(E)en posant pour tous X,Y ∈ P(E)

X ∼Y ⇐⇒X ∩A=Y ∩A.

Montrer que∼est une relation d’ ´equivalence surP(E).

Exhiber une bijection deP(A)sur l’ensemble quotient.

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Relation d’ordre

D ´efinition:

Une relation sur X ∼qui est r éflexive, antisym étrique et transitive est appel ée une relation d’ordre.

On dit alors que X est partiellement ordonn ´ee et on note≤ `a la place de∼.

Si(x,y) ∈X², x et y seront comparables si x ≤y ou y ≤x . Si tous les ´el ´ements de X sont comparables, on dit que l’ordre est total.

Si x ≤y et x 6=y alors on note x <y .

On dit que y couvre x (y est un successeur de x ) si x <y et s’il n’existe pas d’ ´el ´ements entre eux, i.e.

x ≤z ≤y =⇒x =z ou z=x .

l’inclusion⊆sur les parties d’un ensemble E N,Z,Q,Rsont totalement ordonn ´es par≤ Est-ce que<est un ordre surR?

La relation a divise b dansNest elle un ordre partiel?

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Relation d’ordre

D ´efinition:

Si X est fini, son diagramme de Hasse est le graphe orient é dont les sommets sont les él éments de X et les ar êtes repr ésent ées du bas vers le haut sont les couples(x,y)ou y couvre x .

Exemple: X ={a,b,c,d,e,f}et a≤b, a≤c, b ≤d , c≤d , d ≤e, d ≤f .

Exemple: ”Bons parenth ´esages” de longueurs 2n munis de la transformation....)(....⇐=....()....

Exemple: a≤b si a divise b dansN. Que se passe t il dans Z?

u ≤v si||u|| ≤ ||v||pour u et v vecteurs du plan

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Relation d’ordre

D ´efinition:

Si l’ordre est total sur X , le diagramme de Hasse s’appelle une chaine. Un sous ensemble ou aucune paire n’est comparable est une anti-chaine.

L’intervalle[x,y]⊂X est l’ensemble des ´el ´ements comparables

`a x et y et compris entre eux.

[x,y] ={z ∈X, x ≤z ≤y}

Le minimum (ou plus petit ´el ´ement d’un ensemble X ) est un

él ément qui est plus petit ou égal à tous les autres.

m=min(X)⇐⇒m∈X et ∀x ∈X, m≤x .

Un ensemble X est totalement ordonn é si toute partie non vide admet un plus petit él ément.

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Relation d’ordre

Le maximum (ou plus grand él ément d’un ensemble X ) est un él ément qui est plus grand ou égal à tous les autres.

M =max(X)⇐⇒M ∈X et ∀x ∈X, x ≤M.

Un ensemble X est totalement ordonn é si toute partie non vide admet un plus grand él ément.

Un él ément m est minimal s’il est plus petit ou égal à tous ceux qui lui sont comparables dans X .

Un él ément m∈X est un minorant de Y dans X s’il est plus petit que tous les él éments de Y .

La borne inf érieure de Y dans X , not ée inf_X(Y), est s’il existe le plus grand des minorants de Y . Si Y admet un minimum c’est aussi la borne inf érieure.

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Exemples

I = [1,100]admet un plus petit element ...

I = [1,100[???

surN, a≤b si b multiple de a: plus petit element 1 et 0 est le plus grand element!

Meme relation sur F ={2,3,5,7,8,10}plus petit majorant? le plus grand minorant?

Maintenant avec G={3,9,27,243}majorant? plus grand element de G? minorants? plus petit element?

F ={x²/(x²+1),x ∈R}majorant? plus petit majorant?plus grand element de F ? plus grand minorant? plus petit element de F ?

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Exercices

On d ´efinit sur N×N la relation (a,b)≤(c,d)⇐⇒

a+b <c+d ou bien

a+b =c+d et b≤d Montrer que≤est une relation d’ordre. R ´ealiser le diagramme de Hasse pour le sous-ensemble[1,5]².

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Treillis

Definition

Un treillis est un ensemble partiellement ordonn é ou tout couple(x,y)admet une borne sup érieure et une borne inf érieure.

On note a∨b la borne sup ´erieure, et a∧b la borne inf ´erieure de a et b.

* L’inclusion est une relation d’ordre partiel sur les parties d’un ensemble: X ={a,b,c}

* Les entiers naturels peuvent ˆetre munis d’un ordre plus subtil que l’ordre usuel

q est plus grand que p si q est multiple de p. , D₄₈ est un treillis

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Treillis

D ´efinition

Si(X,≤)est un treillis et Y ⊂X , alors Y est un sous treillis de X ssi ∀(a,b)∈Y², a∧b∈Y et a∨b∈Y .

Exemple: L’ensemble des diviseurs de n est un sous treillis de (N,divise)si n divise N.

D ´efinition

Soient(X,≤)et(Y,≤)deux treillis alors f une fonction de X dans Y est un morphisme de treillis ssi:

∀(x,y)∈X²f(x ∧y) =f(x)∧f(y)et f(x∨y) =f(x)∨f(y).

Remarque: Si f est un morphisme de treillis alors f est croissante

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Treillis

D ´efinition

un morphisme bijectif entre deux treillis est un isomorphisme de treillis

Exemple: A={a,b},(P(A),⊂) et(D10,divise)

Si f(∅) =1, f(a) =2, f(b) =5, f(a,b) =10 alors f est un isomorphisme de treillis.

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Treillis

Propri ´et ´es si(x,y,z) ∈E³ou(E,≤)est un treillis, alors x ∧x =x , x∨x =x idempotence

x ∨y =y ∨x , x∧y =y ∧x commutativit ´e (x∨y)∨z =x ∨(y∨z)associativit ´e x ≤y ⇐⇒x∨y =y consistence x ∧(x∨y) =x absorption x ∧(y∨z)≥(x∧y)∨(x ∧z) x ∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x ∨z)

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Treillis

D ´efinition

Un treillis est dit born é ssi il admet un él ément maxi (not é 1) et mini (not é 0). On dit qu’un él ément a admet un compl ément ssi il existe b tel que a∧b=0 et a∨b=1. Un treillis born é est alors compl ément é ssi tout él ément adment un compl ément.

Exemple: (P(A),⊂) Propri ´et ´e

Tout treillis fini est born ´e

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Treillis

D ´efinition

Un treillis est dit distributif ssi on a pour tout x , y , z, x ∧(y∨z) = (x∧y)∨(x ∧z)et

x ∨(y∧z) = (x∨y)∧(x ∨z)

Remarque: la premi `ere condition implique la seconde Exemple : (P(A),⊂),(N,divise)

proposition

Un treillis est distributif ssi on peut simplifier comme suit:

∀a,b,c, a∧c =b∧c et a∨c =b∨c=⇒a=b

Corollaire

Tout él ément d’un treillis distributif compl ément é poss ède un compl ément unique.

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Algebre de Boole

D ´efinition

Une alg èbre de Boole est la donn ée d’un treillis distributif compl ément é poss édant au moins deux él éments On appelle alors atome tout él ément minimal diff érent de 0.

Exemples : (P(A),⊂), Bn={0,1}ⁿavec la relation d’ordre adequat,

Faire des diagrammes de Hasse Th ´eor `eme

Tout alg `ebre de Boole finie est isomorphe `a(P(A),⊂)ou A est l’ensemble de ses atomes

Corollaire

Le cardinal de toute alg `ebre de Boole finie est une puissance de 2

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Algebre de Boole

Loi de de Morgan

a∨¯b= ¯a∧¯b eta∧¯b= ¯a∨¯b

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Fonction bool ´eennes

On note B={0,1}

D ´efinition

Une fonction bool éenne d’arit é n est une fonction de Bⁿvers B. On note F_nl’ensemble des fonctions bool éennes d’arit é n Remarque: Il y a 2ⁿn−uplets de 0 et 1, donc il y a 2²ⁿ fonctions bool éennes d’arit é n.

Par exemple F₁poss `ede 4 fonctions.

Repr ésentation d’une fonction Bool éenne=⇒Table de V érit é Exemple: Donner la table de v érit é de la fonction Bool éenne d’arit é 2 suivante: (a₁,a₂)→a₁+a₂.

L’ensemble des fonctions bool ´eennes est une alg `ebre de Boole.

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Fonction bool ´eennes

Electronique

d=sup(a,inf(b,c)) pour le circuit suivant

/ Entree————————/ A———————-Sortie — — — / /

— ———-/ B—————-/ C——