Éléments de transformée de Fourier.

(1)

El´ ´ ements de transform´ ee de Fourier.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

P. Ribière (Collège Stanislas) Éléments de transformée de Fourier. Année Scolaire 2017/2018 1 / 21

(2)

1 Repr´esentation spectrale d’un signal.

2 Eléments théoriques sur le développement en série de Fourier.

3 Eléments théoriques sur la transformée de Fourier.

(3)

Repr´esentation spectrale d’un signal. Signaux sinuso¨ıdaux purs.

Plan

Signaux sinuso¨ıdaux purs.

Signaux p´eriodiques.

(4)

Figure–Repr´esentation temporelle de signaux simples.

Figure–Repr´esentation spectrale de signaux simples.

En noir, signal p´eriodique de p´eriodeT0=_2.π^ω⁰, d’amplitudeU1, de valeur moyenne nulle : u(t) =U1.cos(ω0.t)

En bleu, signal constant `a la valeurU0:u(t) =U0

En rouge, signal p´eriodique de p´eriodeT0=_2.π^ω⁰, d’amplitudeU1, de valeur moyenne (Offset) U0:u(t) =U0+U1.cos(ω0.t)

(5)

Repr´esentation spectrale d’un signal. Signaux p´eriodiques.

Plan

Signaux sinuso¨ıdaux purs.

Signaux p´eriodiques.

(6)

Figure–Repr´esentation temporelle et spectrale d’un signal complexe.

D´eveloppement en s´erie de Fourier du signal : u(t) =U0+U1.cos(ω0.t) +U3.cos(3.ω0.t)

(7)

Etude du signal créneau de périodeT0, de valeur moyenne nulle variant en 1 et -1 : (Par décalage de l’origine, il est possible de se placer dans le cas d’un signal créneau paire.)

Figure–Repr´esentation temporelle et spectrale d’un signal cr´eneau.

u(t) = 4

π[cos(ω0.t) +1

3cos(3ω0.t) +1

5cos(5ω0.t) +1

7cos(7ω0.t) +. . .] u(t) = 4

π X 1

2k+ 1cos((2k+ 1)ω0.t)

Spectre de Fourier du signal cr´ eneau.

Le spectre de Fourier d’un signal cr´eneau est ”riche” : l’amplitude (ou poids) de l’harmonique n d´ecroit lentement, en _n¹

(8)

Etude du signal créneau de périodeT0, de valeur moyenne nulle variant en 1 et -1 : (Par décalage de l’origine, il est possible de se placer dans le cas d’un signal créneau paire.)

Figure–Repr´esentation temporelle et spectrale d’un signal cr´eneau.

u(t) = 4

π[cos(ω0.t) +1

3cos(3ω0.t) +1

5cos(5ω0.t) +1

7cos(7ω0.t) +. . .] u(t) = 4

π X 1

2k+ 1cos((2k+ 1)ω0.t)

Spectre de Fourier du signal cr´ eneau.

(9)

Etude du signal créneau de périodeT0, de valeur moyenne nulle variant en 1 et -1 : (Par décalage de l’origine, il est possible de se placer dans le cas d’un signal créneau pair.)

Figure–Représentation temporelle d’un signal créneau selon le nombre de terme de la série de Fourier.

Spectre de Fourier du signal cr´ eneau.

(10)

Spectre de Fourier du signal cr´ eneau.

(11)

Spectre de Fourier du signal cr´ eneau.

(12)

Etude du signal triangulaire de périodeT0, de valeur moyenne nulle variant en 1 et -1 : (Par décalage de l’origine, il est possible de se placer dans le cas d’un signal créneau paire.)

Figure–Repr´esentation spectrale d’un signal triangulaire.

u(t) = 8

π²[sin(ω0.t) +1

9sin(3ω0.t) + 1

25sin(5ω0.t) + 1

49sin(7ω0.t) +. . .] u(t) = 8

π²[cos(ω0.t) +1

9cos(3ω0.t) + 1

25cos(5ω0.t) + 1

49cos(7ω0.t) +. . .] u(t) = 8

π²

X 1

(2k+ 1)²cos((2k+ 1)ω0.t))

Spectre de Fourier du signal triangle.

Le spectre de Fourier d’un signal triangle est ”pauvre” : l’amplitude (ou poids) de l’harmonique n d´ecroit rapidement, en _n¹₂

(13)

Etude du signal triangulaire de périodeT0, de valeur moyenne nulle variant en 1 et -1 : (Par décalage de l’origine, il est possible de se placer dans le cas d’un signal créneau paire.)

Figure–Repr´esentation spectrale d’un signal triangulaire.

u(t) = 8

π²[sin(ω0.t) +1

9sin(3ω0.t) + 1

25sin(5ω0.t) + 1

49sin(7ω0.t) +. . .] u(t) = 8

π²[cos(ω0.t) +1

9cos(3ω0.t) + 1

25cos(5ω0.t) + 1

49cos(7ω0.t) +. . .] u(t) = 8

π²

X 1

(2k+ 1)²cos((2k+ 1)ω0.t))

Spectre de Fourier du signal triangle.

Le spectre de Fourier d’un signal triangle est ”pauvre” : l’amplitude (ou poids) de l’harmonique n d´ecroit rapidement, en _n¹₂

(14)

Plan

Calcul de coefficients de Fourier.

Fonctions usuelles.

Aspect ´energ´etique.

Exemple d’application : le filtrage.

(15)

Eléments théoriques sur le développement en série de Fourier. Calcul de coefficients de Fourier.

Tout signal périodique e(t), de périodeT=^2π_ω peut se décomposer de manière univoque en série de Fourier :

e(t) =a0+X

n≥1

ancos(n.ω.t) +bnsin(n.ω.t)

a0= 1 T

Z _T

0

e(t⁰)dt⁰

an= 2 T

ZT

0

e(t⁰).cos(nωt⁰)dt⁰

bn= 2 T

Z T

0

e(t⁰).sin(nωt⁰)dt⁰ L’harmonique (ou le poids) de l’harmoniquen.ω0estcn=p

a²_n+b²_n.

L’harmoniquen= 1 est appel´ee en physique terme fondamental ou harmonique de rang 1 (musique).

L’harmoniquen= 2 (oun= 3 sic2= 0) est en physique appel´ee premi`ere harmonique ou harmonique de rangn.

Sie(t) est paire, alors sa série de Fourier ne présente que des termes pairs, i.e.bn= 0 pour n≥1. (Situation que nous privilégierons par choix de l’origine des temps.)

Sie(t) est impaire, alors sa s´erie de Fourier ne pr´esente que des termes impairs, i.e.an= 0 pour n≥1.

(16)

Plan

Fonctions usuelles.

(17)

Eléments théoriques sur le développement en série de Fourier. Fonctions usuelles.

Figure–D´eveloppement en S´erie de Fourier de fonctions usuelles.

(18)

Figure–D´eveloppement en S´erie de Fourier de fonctions usuelles.

(19)

Eléments théoriques sur le développement en série de Fourier. Aspect énergétique.

Plan

Fonctions usuelles.

(20)

Th´eor`eme de Parseval :

e_eff² = 1 T

Z T

0

e²(t⁰)dt⁰=a²₀ 2 +

+∞

X

n=1

a²_n+b_n² 2

Spectre de Fourier et analyse ´ energ´ etique.

La puissance moyenne d’un signal est la somme des puissances de chacune de ses harmoniques.

Les différentes composantes de Fourier, de fréquences différentes, n’interfèrent pas entre elles et peuvent donc être étudiées indépendemment les unes des autres.

(21)

Eléments théoriques sur le développement en série de Fourier. Exemple d’application : le filtrage.

Plan

Fonctions usuelles.

(22)

On s’intéresse à un filtre passe bas du premier ordre, de gain statique 10 et de fréquence de coupurefc = 1kHz.

1 Dessiner le diagramme de Bode de ce filtre.

2 Pr´evoir la forme du signal de sortie

1 pour un signal d’entrée créneau symétrique±1V de périodeT= 20ms.

2 pour un signal d’entrée triangle symétrique±1V de périodeT= 20ms.

3 pour un signal d’entrée créneau symétrique±1V de périodeT= 20µs.

4 pour un signal d’entrée triangle symétrique±1V de périodeT= 20µs.

5 pour un signal d’entr´eee(t) = 3.sin³(2πf_e.t) avecf_e= 500Hz

6 pour un signal d’entr´eee(t) =a₀+P

n≥1a_ncos(n.ω.t)

(23)

Eléments théoriques sur la transformée de Fourier. Eléments théoriques sur la transformée de Fourier.

Plan

Eléments théoriques sur la transformée de Fourier.

(24)

Il est possible de généraliser l’idée de Fourier à des fonctions (et même des distributions comme celle de Dirac) non périodique (sous certaines conditions).

La somme discrète est alors remplacé par une sommation continue, i.e. une intégrale.

e(t) = 1

√ 2π

Z∞

−∞ba(ω).exp(jωt)dω L’amplitudeba(ω) se calcule par TF inverse :

ba(ω) = 1

√ 2π

Z ∞

−∞

e(t⁰).exp(−jωt⁰)dt⁰

Il existe une relation entre l’extension temporelle de la fonction ∆tet l’extension spectrale ∆ωde la fonction :

∆t.∆ω'1

Cette notion sera r´eexploit´ee en physique des ondes avec la notion de ”paquet d’ondes”.

Mais d`es lors, on constate que pour un signal monochromatique (une seule harmonique), l’extension temporelle est infinie.

Une raie spectrale pr´esente toujours une certaine largeur spectrale ∆ωet donc la lumi`ere est

´emise par ”paquet d’ondes” d’une dur´ee

∆t' 1

∆ω