Analyse de Fourier

(1)

Fourier JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

G´ en´ eralit´ es

Notion de spectre Temps - fr´equence

Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

D´efinitions Exemple

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Définitions Créneau solitaire Durée - fréquence Train d’ondes

Distributions de Dirac

Pic de Dirac Peigne de Dirac

Applications au filtrage analogique

Analyse de Fourier

JR Seigne MP*, Clemenceau Nantes

September 7, 2021

(2)

Analyse de Fourier JR Seigne

MP*, Clemenceau

Nantes

G´ en´ eralit´ es

Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

En , le physicien et math´ematicien fran¸cais Joseph Fourier

(-) ´etudiait les transferts thermiques. Il d´eveloppa la

th´eorie des s´ eries de Fourier. ` A l’heure actuelle, les s´eries de

Fourier et les transform´ees de Fourier constituent un des

moyens math´ematiques les plus utilis´es en Physique.

(3)

Analyse de Fourier JR Seigne

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Nantes

G´ en´ eralit´ es

Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

1 Généralités

Notion de spectre Temps - fréquence 2 Synthèse de Fourier 3 Série de Fourier

D´efinitions Exemple Energie ´

4 Transform´ee de Fourier D´efinitions

Créneau solitaire Durée - fréquence Train d’ondes 5 Distributions de Dirac

Pic de Dirac Peigne de Dirac

6 Applications au filtrage analogique

(4)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Spectre de u _a (t) = U 1 cos ω 0 t et de u _b (t) = U 0 + U 1 cos ω 0 t :

ω U _i

0

b b

bb

ω 0

U 1

U ₀

(5)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Représentations temporelle et fréquentielle : deux images du même signal u (t) = U 0 + U 1 cos ω 0 t + U 3 cos 3ω 0 t !

t u(t)

0

b b

bbb

T 0

U 1

U ₀ U 3

ω U _i

U ₁ U 0

U 3

bbbb b b

ω 0 3ω 0

0

(6)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

f (t ) = F 0

∞

X

n=0

1 (2n + 1) ² cos(2n + 1)ω 0 t

t f 1 (t )

b

1 harm

t f 3 (t )

b

2 harm

t f 5 (t )

b

3 harm

t f (t )

b

10 harm

(7)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

f (t ) = F ₀ 1 2 + X

n=1

sin n ^π ₂

n ^π ₂ cos nω 0 t

t f (t)

1 harm

t f (t)

3 harm

t f (t)

10 harm

t f (t)

10 ² harm

(8)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

f (t ) = F ₀ 2 π − 4

π

∞

X

n=1

1 4n ² − 1 cos nω 0 t

!

= F ₀ | sin ω 0 t |

t

f (t) ¹

harm

t

f (t) ²

harm

t

f (t) ⁵ ^harm

t

f (t) ⁵⁰ ^harm

(9)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

La forme générale d’une série de Fourier d’une périodique est : f (t ) = a 0

2 +

∞

X

n=1

[a _n cos nω 0 t + b _n sin nω 0 t]

avec :

a 0 = 2 T 0

Z _t ₀ +T ₀ t 0

f (t) d t a _n = 2

T 0

Z t ₀ +T ₀ t 0

f (t) cos nω 0 t d t b _n = 2

T 0

Z t ₀ +T ₀ t 0

f (t) sin nω 0 t d t

(10)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Autres formes d’une s´ erie de Fourier

On peut encore trouver les séries de Fourier sous une forme d’écriture différente de celle proposée avant :

f (t) = a 0

2 +

∞

X

n=1

α _n cos(nω 0 t + ϕ _n )

avec α n = p

a ² _n + b ² _n et ϕ n tel que tan ϕ n = − b _n a _n

L’´ecriture en complexes se pratique aussi, elle utilise alors les entiers de Z :

f (t ) =

∞

X

n de −∞

c _n exp inω 0 t Le lien s’effectue avec l’expression r´eelle si on prend c _n = a _n − ib _n

2 et c − n = c ^∗ _n = a _n + ib _n

2 .

(11)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Compr´ ehension de la formule des coefficients a _n et b _n



 



 



h cos nω 0 t cos pω 0 t i = 0 avec p 6 = n h sin nω 0 t sin pω 0 t i = 0 avec p 6 = n h cos nω 0 t sin pω 0 t i = 0

h cos ² nω 0 t i = h sin ² nω 0 t i = 1 2

h f (t) cos nω 0 t i = a _n

2 h f (t) sin nω 0 t i = b _n

2

(12)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

f (t ) = F ₀

∞

X

n=1

( − 1) ⁿ⁺¹

nπ sin nω 0 t

!

t

f (t) 1 harm

t

f (t) 10 harm

t

f (t) 10 ² harm

t

f (t) 10 ⁴ harm

(13)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Soit la grandeur f (t ) intervenant à raison de son carré dans une énergie. On parle alors de forme quadratique ¹ .

L’´energie moyenne sera proportionnelle au carr´e de la valeur efficace de f (t) :

F _eff ² = a 0

2 2

+

∞

X

n=1

a ² _n + b _n ²

2 = f _moy ² +

∞

X

n=1

a ² _n + b _n ² 2

L’expression de F _eff ² = h f ² (t) i constitue le th´eor`eme de Parseval

1 Les formes quadratiques seront importantes dans notre ´ etude de la

Physique statistique. . .

(14)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

La transformée de Fourier de la fonction f (t) non périodique est la fonction complexe g (ω) donnée par :

g (ω) = 1

√ 2π Z ∞

t de −∞

f (t) exp − i ωt d t

La fonction f (t ) pr´esente un spectre g (ω) continu.

Elle peut alors s’´ecrire comme : f (t) = 1

√ 2π Z ^∞

ω de −∞

g (ω) exp +iωt d ω

(15)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Cette fonction présente un grand intérêt en physique car c’est un modèle fréquemment rencontré. De plus, le calcul de sa transformée de Fourier est de difficulté raisonnable :

t f (t)

0 F 0

bb

b b

− τ 2

τ 2

ω g (ω)

0 On peut observer le spectre continu g(ω) de la fonction f (t )

cr´eneau solitaire.

(16)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Fonction sinuscardinal

x f (x)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 0,5 1

La fonction sinuscardinal : f (x) = sin πx

πx

(17)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Dur´ ee - fr´ equence

dur´ee × intervalle de fr´equence est de l’ordre de 1

∆t × ∆f ≃ 1

Anticipons un peu !

La fonction cos 2πf 0 t possède une durée illimitée :

son spectre de fr´equence est monochromatique : f = f 0 et

∆f = 0

La fonction cos 2πf 0 t possède une durée limitée τ :

son spectre de fr´equence est polychromatique : f ≃ f 0 ± 1 2τ et

∆f ≃ 1

τ

(18)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Repr´ esentation temporelle

t f (t )

0 F 0

bb

b b

− τ /2 τ /2

Cette fonction est importante dans le domaine de l’optique car

l’émission de la lumière par une source est modélisée par le

train d’ondes.

(19)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Repr´ esentation fr´ equentielle - Spectre

ω g (ω)

b b

ω 0

Une source qui ´emet un signal sinuso¨ıdal pendant une dur´ee

finie n’est pas monochromatique. Son spectre est centr´e sur la

fr´equence de la sinuso¨ıde mais il peut s’´etendre de part et

d’autre de fa¸con non n´egligeable.

(20)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Pic de Dirac

δ(t) = 0 si t 6 = 0 δ(t) 6 = 0 si t = 0 et surtout :

Z + ∞

−∞

δ(t ) d t = 1

Propriété supplémentaire : Z + ∞

−∞

δ(t − u)f (u ) d u = f (t)

(21)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Cas limite du cr´ eneau ?

t f (t)

0 F ₀

bb

b b

− τ 2

τ 2 Cas limite lorsque τ → 0 ? Attention :

Z +∞

−∞

f (t ) d t = F 0 τ tend, elle aussi, vers 0 lorsque

τ → 0 !

(22)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Autre approche du pic de Dirac

δ(t) = lim

τ → 0

1 F 0 τ f (t)

o` u f (t ) est la fonction cr´eneau de hauteur F 0 d´efinie entre [ − τ

2 ; + τ 2 ]

Propriété mathématique de la Transformée de Fourier :

TF

τ lim → 0

1 F 0 τ f (t )

= lim

τ → 0

1 F 0 τ TF f (t)

(23)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Spectre de la distribution de Dirac

t δ(t )

0

_b

b b

ω

bb

1/ √ 2π g (ω)

0 Le spectre de la distribution de Dirac est qualifi´e de BLANC

car toutes les fréquences y sont représentées avec une égale

amplitude.

(24)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Peigne de Dirac

Succession p´eriodique de N impulsions br`eves τ ≪ T ₀

t f (t )

0 F 0

b b b b b

− τ 2

τ 2

T 0 2T 0 3T 0

(25)

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Transform´ ee de Fourier

La transform´ee de Fourier est la somme de N int´egrales sur les intervalles de temps [nT 0 − τ

2 ; nT 0 + τ 2 ] : g 1 (ω) = F 0

√ 2π

N − 1

X

n=0

Z _nT ₀ _{+τ /2}

nT 0 − τ /2

exp − iωt d t

!

On trouve :

g 1 (ω) = F 0 τ

√ 2π sinc ωτ 2

N − 1

X

n=0

exp − iωnT 0

(26)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Passage au peigne de Dirac

On fait tendre τ vers 0 et on ´etudie f (t) F 0 τ : g 2 (ω) = 1

√ 2π lim

τ → 0

sinc ωτ 2

N − 1

X

n=0

exp − iωnT 0

On trouve :

g 2 (ω) = 1

√ 2π

N − 1

X

n=0

exp − i ωnT 0

Cette expression apparaˆıt comme la somme de N termes d’une

suite g´eom´etrique de raison exp − i ωT 0

(27)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

On obtient :

g ₂ (ω) = 1

√ 2π exp − i (N − 1) ωT 0

2 sin N ωT 0

2 sin ωT 0

2 Cette transformée de Fourier possède le module carré suivant :

| g 2 (ω) | ² = 1 2π

sin ² N ωT 0

2 sin ² ωT 0

2 R (ϕ) =

sin ² N ϕ 2 sin ² ϕ

2 est appel´ee fonction de r´eseau

(28)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

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Fonction de r´ eseau

ϕ R (ϕ)

b b b b

b

N ²

0 2π 4π 6π

(29)

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Transform´ ee de Fourier

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Applications au filtrage analogique

Spectre du peigne de Dirac

Le spectre du peigne est un spectre discret comportant toutes les fréquences nf 0 à la même amplitude :

f Amplitude

b b b b b

f 0

0 2f 0 3f 0 4f 0

c o m p o sa n te c o n ti n u e = m o ye n n e

(30)

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´Energie

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Applications au filtrage analogique

Passe-Bas d’ordre 1

Tension d’entr´ee : e(t) = 1, 5 + 2 cos 2π100t + 1 cos 2π300t

t f (t)

0 Pour s (t ), on f _c = 100 Hz alors que pour s ^′ (t), on a f _c = 10 Hz .

(31)

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Transform´ ee de Fourier

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Passe-Bande

Tension d’entrée : créneau périodique de fréquence f e = 100 Hz

t f (t)

0 e (t) s (t) s ^′ (t)

Le filtre passe-bande ´etait centr´e sur l’harmonique : f 0 = 3f _e = 300 Hz .

Pour s (t), on a Q = 2 alors que pour s ^′ (t ), on a Q = 10.

(32)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

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Utilisation du pic de Dirac

b bbb

u _s (t)

b

u _e (t) R

C

u _e (t) = 1

√ 2π Z ∞

−∞

g _e (ω) exp iωt d ω o` u g _e (ω) est la

transform´ee de Fourier de u _e (t). Pour l’impulsion de Dirac : g _e (ω) = g 0 ∀ ω

Le filtre lin´eaire traite chaque pulsation par H(i ω) :

g ₀ exp i ωt −→ g ₀ H(i ω) exp iωt

entr´ ee −→ ^sortie

(33)

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´Energie

Transform´ ee de Fourier

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Applications au filtrage analogique

Transfert du filtre

Le filtre est lin´eaire, on somme les r´eponses : u _s (t) = g 0

√ 2π Z ∞

−∞

H(iω) exp iωt d ω = g 0 TF (H(i ω)) La fonction de transfert est à une constante près la Transformée de Fourier de la tension de sortie :

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Transform´ ee de Fourier

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Applications au filtrage analogique

Analyse de Fourier

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Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

En , le physicien et math´ematicien fran¸cais Joseph Fourier

(-) ´etudiait les transferts thermiques. Il d´eveloppa la

th´eorie des s´ eries de Fourier. ` A l’heure actuelle, les s´eries de

Fourier et les transform´ees de Fourier constituent un des

moyens math´ematiques les plus utilis´es en Physique.

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Transform´ ee de Fourier

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Applications au filtrage analogique

1 Généralités

Notion de spectre Temps - fréquence 2 Synthèse de Fourier 3 Série de Fourier

D´efinitions Exemple Energie ´

4 Transform´ee de Fourier D´efinitions

Créneau solitaire Durée - fréquence Train d’ondes 5 Distributions de Dirac

Pic de Dirac Peigne de Dirac

6 Applications au filtrage analogique

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Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Applications au filtrage analogique

Spectre de u a (t) = U 1 cos ω 0 t et de u b (t) = U 0 + U 1 cos ω 0 t :

ω U i

0

ω 0

U 1

U 0

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Synth` ese de Fourier S´ erie de Fourier

Transform´ ee de Fourier

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Applications au filtrage analogique

Représentations temporelle et fréquentielle : deux images du même signal u (t) = U 0 + U 1 cos ω 0 t + U 3 cos 3ω 0 t !

t u(t)

0

T 0

U 1

U 0 U 3

ω U i

U 1 U 0

U 3

ω 0 3ω 0

0

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Transform´ ee de Fourier

Distributions de Dirac

Spectre de u _a (t) = U 1 cos ω 0 t et de u _b (t) = U 0 + U 1 cos ω 0 t :

ω U _i

U ₀

U ₀ U 3

ω U _i

U ₁ U 0

(2n + 1) ² cos(2n + 1)ω 0 t

f (t ) = F ₀ 1 2 + X

sin n ^π ₂

n ^π ₂ cos nω 0 t

10 ² harm

f (t ) = F ₀ 2 π − 4

4n ² − 1 cos nω 0 t

= F ₀ | sin ω 0 t |

f (t) ¹

f (t) ²

f (t) ⁵ ^harm

f (t) ⁵⁰ ^harm