Initiation au traitement du signal et applications S´eance 6: analyse temps-fr´equence

(1)

Initiation au traitement du signal - S´eance 6 F. Sur - ENSMN Limite de l’analyse de Fourier Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude L’idée de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret Quelques applications Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes Conclusion

Cours ´electif CET42

Initiation au traitement du signal et applications S´eance 6: analyse temps-fr´equence

Fr´ed´eric Sur

´Ecole des Mines de Nancy www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/

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S´eance 6

1

Limite de l’analyse de Fourier

2

Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude

3

L’id´ee de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret

Quelques applications

4

Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT

Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes

5

Conclusion

3/36

Limite de l’analyse de Fourier But : extraire d’un signal des informations.

signal analogique L

²

: transform´ee de Fourier, spectre b f (λ) ;

signal analogique p´eriodique L

²

: s´erie de Fourier, coefficients c

n

(f) ;

signal numérique : transformée de Fourier discrète.

Limite : analyse globale, perte de l’information temporelle.

exemples : début et fin du signal, apparition d’une singularité - et nécessité de connaˆıtre l’intégralité du signal pour l’analyser. . .

car b f (λ) ou c

n

(f ) se calculent sur tout le signal.

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Exemple

−15 −10 −5 0 5 10 15

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Problème avec les signaux non-stationnaires : on peut (à peu près) retrouver les fréquences des composantes, mais pas leur localisation.

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S´eance 6

1

Limite de l’analyse de Fourier

2

Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude

3

L’id´ee de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret

Quelques applications

4

Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT

Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes

5

Conclusion

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Localisation temporelle

Problème de la transformée de Fourier d’un signal f : excellente résolution fréquentielle (cas d’un signal trigo.) mais résolution temporelle nulle (intégration sur le domaine de f ).

Idée pour améliorer la résolution temporelle : analyser le spectre sur des morceaux du signal.

Exemple : analyse sur intervalle [−A, A] −→ f multipli´ee par le cr´eneau χ

A

(indicatrice de [−A,A]).

−15 −10 −5 0 5 10 15

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

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Localisation par un cr´eneau Soit g(t) = χ

A

(t)f (t).

Que devient le spectre b g = \ χ

A

· f ? b g(λ) = sin 2πAλ

πλ ∗ b f (λ) = Z

+∞

−∞

b f (µ) sin 2πA(µ− λ) π(µ− λ) dµ.

−5−4−3−2−1012345

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−5−4−3−2−1012345

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−5−4−3−2−1012345

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−5−4−3−2−1012345

−5 0 5 10 15 20 25

−5−4−3−2−1012345

−20

−10 0 10 20 30 40 50 60 70

−5−4−3−2−1012345

−50 0 50 100 150 200 250

Apetit : bonne résolution en temps, faible résolution en fréquence ; A grand : faible résolution en temps, bonne résolution en fréquence.

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Exemple : signal trigonom´etrique

Cas o`u f (t) = e

^2iπωt

est un signal trigonom´etrique.

(donc parfaitement localis´e en fr´equence) Alors b f = δ

ω

.

Comme : b g(λ) =

^{sin 2πAλ}_πλ

∗ b f (λ) on a : b g(λ) =

sin 2πA(λ−ω)

π(λ−ω)

. . .

Interprétation : pour estimer correctement la fréquence d’un signal trigonométrique, il faut l’observer sur un intervalle de temps suffisamment long.

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(3)

Les fenˆetres

Mˆeme raisonnement si on remplace le cr´eneau χ

A

par une fonction r´eelle w

A

jouant le mˆeme rˆole.

→ recherche des w

A

bien localis´es en temps et en fr´equence.

D´efinition - fenˆetres

On appelle fenˆetres de telles fonctions.

Idée : pour améliorer la localisation en fréquence de la fenêtre, il faut prendre une fenêtre plus régulière que le créneau. (c w

A

d´ecroˆıt alors plus vite)

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Exemples de fenˆetres

−0.25−0.2−0.15−0.1−0.0500.050.10.150.20.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

creneau triangle Hanning

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 0 5 10 15 20 25

TF creneau TF triangle TF Hanning

différentes fenêtres. . . et leurs transformées de Fourier Fenêtre idéale : bonne localisation (concentration) en temps et en fréquence.

→ Impossible d’après le théorème d’incertitude. . .

11/36

“Principe” d’incertitude (dit de Heisenberg) Soit un signal f ∈ L

²

(R),

σ

²t

= 1

||f ||

²2

Z

R

t

²

|f (t)|

²

dt (dispersion d’´energie en temps) σ

²f

= 1

||f ||

²₂

Z

R

λ

²

| b f (λ)|

²

dλ (dispersion d’énergie en fréquence) Théorème d’incertitude

On ne peut pas localiser un signal simultan´ement en temps et en fr´equence car :

σ

t²

·σ

²f

> 1 4π . Preuve : cf poly.

Remarque : peut-on trouver des fonctions à support compact dont la transformée de Fourier (ou la TF inverse) est encore à support compact ?

(intérêt : ex. conversion digital → analogique, cf séance 5)

→ Non. . . (cf Mallat chap. 2, th. de Paley-Wiener)

12/36

Cons´equence du principe d’incertitude

On ne peut pas trouver de fenêtre possédant une bonne localisation en temps et en fréquence. . .

Mais les gaussiennes réalisent l’optimum dans le théorème d’incertitude, i.e.

Proposition

Si f = αe

^−ct²

avec c > 0, alors : σ

t²

·σ

²f

= 1

4π .

Conclusion : les fenˆetres gaussiennes r´ealisent le “meilleur”

compromis entre localisation temporelle et fr´equentielle.

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S´eance 6

1

Limite de l’analyse de Fourier

2

Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude

3

L’id´ee de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret

Quelques applications

4

Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT

Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes

5

Conclusion

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Transformée de Fourier à fenêtre ou STFT (Short Time Fourier Transform) introduit par Dennis Gabor

(1900-1979, prix Nobel 71, inventeur de l’holographie).

Rappel : transform´ee de Fourier de f ∈ L

²

(R) b f (λ) =

Z

R

f (t) exp(−2iπλt)dt.

Définition - Transformée de Fourier à fenêtre Soit W

f

(λ, b) = Z

R

f (t)w(t − b) exp(−2iπλt)dt.

W

f

s’appelle la transformée de Fourier à fenêtre de f . Remarque : bien sûr, dépend du choix de w.

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Th´eor`eme W

f

(λ, b) = Z

R

f(t)w(t − b) exp(−2iπλt)dt.

Th´eor`eme

Si w ∈ L

¹

∩ L

²

r´eelle et ||w||

2

= 1 alors

1

Conservation de l’´energie : ZZ

R²

|W

f

(λ, b)|

²

dλdb = Z

R

|f (t)|

²

dt

2

Formule de reconstruction : f (t) =

ZZ

R²

W

f

(λ,b)w(t − b)e

^2iπλt

dλdb (dans L

²

) Preuve : cf Gasquet-Witomski chap. 41 ou Mallat chap. 4.

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Remarque : “bases” des d´ecompositions Fourier : f (t) = R

R

b f (λ)ω

λ

(t)dt o`u ω

λ

(t) = e

^2iπλt

. Fourier `a fenˆetre : f (t) = RR

R²

W

f

(λ, b)w

λ,b

(t)dλdb o`u w

λ,b

(t) = w(t − b)e

^2iπλt

et W

f

(λ,b) = R

R

f · w

λ,b

= R

R

b f · w d

λ,b

(Parseval) Cas de la fenˆetre Gaussienne (→Gaborettes) :

−5−4 −3−2 −1 01 23 45

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1002003004005006007008009001000

20 40 60 80 100 120 140 160

Re(w

λ,b

) | w d

λ,b

| (autour de b) (autour de λ) . . .`a comparer `a ω

λ

et ω c

λ

dans le cas de Fourier classique.

17/36

(5)

Spectrogramme

De la même manière que l’on considérait le module des coefficients de Fourier pour caractériser les fréquences présentes dans le signal, on définit :

D´efinition - spectrogramme Le spectrogramme d’un signal f est :

(λ, t) 7→ S

f

(λ, t) = |W

f

(λ, t)|

²

.

18/36

Transformée de Fourier discrète à fenêtre On considère un signal discret (f

n

)

06n6N−1

, et une fenˆetre discr`ete (w

n

)

06n6N−1

(tous deux p´eriodis´es).

D´efinition - Discrete STFT

La transformée de Fourier discrète à fenêtre de f est la famille des N

²

coefficients :

W

m,l

=

^N−1

X

n=0

f

n

w

n−m

e

^−2iπln^N

avec 0 6 m,l 6 N − 1.

Complexit´e algorithmique : O N

²

log(N) . (en fait d´epend de la taille du support de (w

n

). . .) Comme dans le cas continu, si ||w||

2

= 1 on a une formule de reconstruction. (admis)

19/36

Application 1 : compression

1

compression MP3 : DCT `a fenˆetre.

cf cours compression avec perte :

annulation des coefficients en-dessous d’un certain seuil + mod`ele psycho-acoustique.

2

compression JPEG.

idem, mais fenêtres décorrélées. . .

20/36

Application 2 : analyse de la parole

→ a e i o u

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(6)

Application 3 : effets sp´eciaux sonores

filtrage, equalization vocoder (voice-encoder)

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Application 4 : d´ebruitage

Donn´ee : signal sonore bruit´e par un bruit blanc gaussien.

Mod´elisation : s(t) = s

0

(t) + b(t) o`u b(t) i.i.d.∼ N(0, σ).

spectre de s

0

spectre de b spectre de s Deux m´ethodes de d´ebruitage :

linéaire : filtre passe-bas (⇔ convolution en temps) ; non-linéaire : e.g. mise à zéro des coefficients en dessous d’un seuil donné.

Basé sur la remarque : le spectre du signal décroˆıt avec la fréquence et contribue davantage que celui du bruit.

Remarque : bruit non-stationnaire compatible avec STFT.

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S´eance 6

1

Limite de l’analyse de Fourier

2

Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude

3

L’id´ee de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret

Quelques applications

4

Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT

Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes

5

Conclusion

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Limite de la transformée de Fourier à fenêtre

STFT : analyse des signaux par une sinuso¨ıde de fréquence λ restreinte à une fenêtre translatée en temps de b.

Inconvénient : la taille de la fenêtre est fixée a priori.

Probl`eme pour analyser un signal pr´esentant des variations

à des échelles très différentes.

C’est en fait le cas de beaucoup de signaux, par exemple : mod´elisation d’une note de musique : attaque, maintien, chute ;

image pr´esentant des textures ;

→ une r´eponse : la th´eorie des ondelettes.

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(7)

Où l’on joue de l’accordéon Ondelettes / Wavelets : géophysicien Jean Morlet (Elf-Aquitaine) + physicien Alex Grossmann, 1984.

`A partir de ψ (ondelette-m`ere) on construit les fonctions : ψ

s,u

= p 1

|s| ψ t − u

s

avec s 6= 0, u ∈ R.

Comparaison gaborettes / ondelettes :

(source : Gasquet-Witomski)

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Exemples d’ondelettes-m`eres

Vérifie les conditions d’admissibilité, si possible régulière. . .

Mexican Hat Ondelette d’Yves Meyer

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Transformée continue en ondelettes Théorème - Calderòn 1964 / Grossmann Morlet 1984 Soit ψ ∈ L

¹

∩L

²

(ondelette-m`ere) telle que :

1

||ψ||

2

= 1

2

Z

R

| ψ(λ)| b

²

|λ| dλ = K < +∞ (condition d’admissibilit´e) Soient ψ

s,u

(t) = √

¹

|s|

ψ

^t−us

et : W

f

(s,u) = R

R

f(t)ψ

s,u

(t)dt . Alors :

1

1 K ZZ

R²

|W

f

(s,u)|

²

dsdu s

²

= Z

R

|f (t)|

²

dt (conserv. ´energie)

2

f(t) = 1

K ZZ

R²

W

f

(s,u)ψ

s,u

(t) dsdu

s

²

(reconstruction L

²

) Remarque : la condition d’admissibilit´e implique ψ(0) = b R

R

ψ = 0, soit ψ oscillante.

28/36

Exemple de transform´ee en ondelettes W f (s,u)

source : Mallat.

´echelle s petite → singularit´es “microscopiques”.

´echelle s grande → singularit´es “macroscopiques”.

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(8)

Transform´ee discr`ete en ondelettes

Id´ee : transform´ee en ondelettes redondante, on doit pouvoir se contenter de garder “moins” de coefficients.

→ on cherche donc des bases orthonorm´ees d’ondelettes de L

²

: (ψ

j,k

)

j,k∈Z

(o`u ψ est une ondelette) avec :

ψ

j,k

(t) = 2

^j/2

ψ(2

^j

x − k).

On a alors

f (t) = X

j,k∈Z

W

f

(j,k)ψ

j,k

(t).

Autrement ´ecrit : f (t) = X

j∈Z

f

j

o`u f

j

= X

k∈Z

W

f

(j, k)ψ

j,k

. f

j

représente les détails à l’échelle 2

^−j

(ou `a la r´esolution j) du signal f

On peut approcher f par F

n

=

n−1

X

j=−∞

f

j

(F

n

→ f dans L

²

).

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Exemple de bases d’ondelettes orthonorm´ees 1) L’ondelette d’Yves Meyer (1985) fournit une b.o.n.

2) La remarque pr´ec´edente permet de construire

“automatiquement” des b.o.n. d’ondelettes `a partir d’analyses multir´esolutions de L

²

.

Dans ce cadre, Ingrid Daubechies (1988) propose des ondelettes :

à support compact (intérêt : localisation temporelle) et à p moments nuls (intérêt : coefficients des échelles fines négligeables là où f est régulier).

source : Mallat.

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Exemples / applications (1)

Analyse d’un ´electrocardiogramme.

(source :http://pagesperso-orange.fr/michel.hubin/physique/signal/chap_si1.htm)

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Exemples / applications (2) D´ebruitage, “d´eclicage”.

(source : Donoho & Johnstonewavelet shrinkage, 1993) 33/36

(9)

Exemples / applications (3) Compression : JPEG 2000.

TIFF JPEG JPEG2000

65ko 4 ko 4 ko

Block effect ? Ringing ? D´erive des couleurs ? Bonne introduction :

http ://en.wikipedia.org/wiki/JPEG_2000

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S´eance 6

1

Limite de l’analyse de Fourier

2

Les fenˆetres

Les fenêtres Théorème d’incertitude

3

L’id´ee de Dennis Gabor

Transformée de Fourier à fenêtre Le cas discret

Quelques applications

4

Introduction aux ondelettes

Limite de la STFT

Transformée continue en ondelettes Transformée discrète en ondelettes

5

Conclusion

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Conclusion

Probl`eme de l’analyse de Fourier “standard” : bien adapt´ee aux signaux stationnaires. . . mais ne permet pas d’obtenir d’information temporelle.

Solution : transformée de Fourier à fenêtre.

Mais :

compromis précision temporelle / fréquentielle, fenêtre d’analyse fixée a priori.

“Mieux” : les ondelettes permettent une d´ecomposition multi-´echelle.

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