Analyse hilbertienne et de Fourier, examen partiel du 30 mars 2009
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— Exercice I —
On d´efinit une fonctionf sur Ren posant f(x) =xe−x2/2 pour toutx r´eel.
a.V´erifier que f est int´egrable surR, et calculer sa transform´ee de Fourier fb.
Pour tout entiern≥1 on d´efinit une fonctiongnimpaire surR(c’est-`a-dire quegn(x) =−gn(−x) pour toutx) en posant pour tout x >0
gn(x) =x−1/2 si 0< x≤n, et gn(x) = 0 si x > n.
b.V´erifier que gn appartient `a L1(R). Exprimer la transform´ee de Fourier degn; montrer que la transform´ee de Fouriergbn est impaire.
c.Montrer que la transform´ee de Fourier def∗gn est une fonction paire, qui est ´egale poury >0
` a
κ√ye−y2/2Z ny
0
t−1/2sin(t) dt , o`uκ est une constante qu’on calculera.
Pour la question suivante, on pourra admettre sans d´emonstration que l’int´egrale g´en´eralis´ee I =
Z +∞
0
t−1/2sin(t) dt est convergente.
d.Peut-on appliquer le th´eor`eme d’inversion pour exprimer (f∗gn)(0) `a partir de la transform´ee de Fourier de f ∗gn? Exprimer (f ∗gn)(0) de deux fa¸cons, puis faire tendre n vers +∞ pour montrer que I =p
π/2.
— Exercice II —
Dans cet exercice, on d´esigne par H l’espace de Hilbert L2(R) avec son produit scalaire habituel.
a.On d´esigne parϕla fonction d´efinie surRparϕ(x) = 1− |x|quand|x| ≤1 etϕ(x) = 0 quand
|x|>1. Calculer la transform´ee de Fourier ϕ.b
b.Pour tout entiern∈Zon posefn(x) =ϕ(x−n). Calculerfbn. Sur un mˆeme sch´ema, indiquer les graphes def0,f1etf2. Calculer les produits scalaireshf0, f0iethf0, f1i, puis calculerhf0, fki pour tout entier k≥2. Montrer quehfn, fn+pi ne d´epend que dep.
c. D´eterminer ar´eel tel que−1< a <0 et tel que f1 etf0+af1+a2f2 soient orthogonales (on trouvera queaest racine d’une ´equation du second degr´e). Montrer que la s´erie de fonctions
g=
+∞X
k=0
akfk
converge uniform´ement, et converge dans H. Montrer quegest orthogonale `afp, pour toutp≥1.
Calculer la transform´ee de Fourier bg.
d. Pour tout n ∈ Z on pose gn(x) = g(x−n). Montrer que les fonctions (gn)n∈Z sont deux `a deux orthogonales. On consid`ere le sous-espace ferm´e F de H engendr´e par les fonctions (fn)n∈Z. Montrer qu’il existe une constantebtelle que la famille (bgn)n∈Z soit une base hilbertienne de F.
Calculerb.
Rappels.
Si 1≤p <+∞, l’espace Lp(Ω,A, µ) est l’espace vectoriel des (classes de) fonctions f r´eelles ou complexes A-mesurables sur Ω telles que R
Ω|f|pdµ <+∞; la norme de cet espace est d´efinie par
∀f ∈Lp(Ω,A, µ), kfkp=Z
Ω|f(ω)|pdµ(ω)1/p ,
et Lp(Ω,A, µ) est complet pour cette norme. Dans le cas de R, on ´ecrit simplement Lp(R).
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier est d´efinie sur l’espace L1(R) en associant `a toute fonction f int´egrable surRla fonction fbd´efinie par
∀y∈R, fb(y) = Z
R
f(x) e−ixy dx.
Quand f ∈ L1(R), la fonction fb est continue, et elle est born´ee par kfk1. Pour la fonction gaussiennef(x) = e−x2/2, on trouve que
∀y ∈R, fb(y) =√
2πe−y2/2.
Quandf est continue surRet quef etfbsont int´egrables, on a la formuled’inversion de Fourier
∀x∈R, f(x) = 1 2π
Z
R
fb(y) eixy dy.
Sif etx→xf(x) sont int´egrables surR, la transform´ee de Fourierfbest d´erivable, et sa d´eriv´ee est la transform´ee de Fourier dex→ −ixf(x).
Quandf etg sont dans L1(R), la convolution f∗g est d´efinie pour presque toutx par (f ∗g)(x) =
Z
R
f(x−t)g(t) dt;
la fonctionf∗g est int´egrable surRet sa transform´ee de Fourier est ´egale au produit de fbetg.b L’espace L2(R) est un espace de Hilbert, muni du produit scalaire d´efini par
∀f, g∈L2(R), hf, gi= Z
R
f(x)g(x) dx.
Lorsque g ∈ L2(R), la transform´ee de Fourier Fg ∈ L2(R) est la limite dans L2(R) de la suite (gbn) des transform´ees de Fourier des fonctions int´egrables gn =1[−n,n]g. Si g est `a la fois dans L1(R) et dans L2(R), on aFg=bg presque partout. La relation de Parseval affirme que
∀g1, g2∈L2(R), hFg1,Fg2i= 2πhg1, g2i. S´eries de vecteurs
Dans un espace norm´e E, le vecteur s ∈ E est la somme de la s´erie de vecteurs P
n≥0xn si ks−Pn
k=0xkkE tend vers 0 quandn→+∞. Une s´erie de vecteurs d’un espace norm´e complet converge dans E d`es queP
kxnkE<+∞, et dans ce cas le vecteur ssomme de la s´erie v´erifie kskE≤
+∞X
n=0
kxnkE.
Si la s´erie de vecteurs converge dans E, et si`est une forme lin´eaire continue sur E, on a
`X+∞
n=0
xn
=
+∞X
n=0
`(xn).
