Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee 2006-2007 UFR GEA 1er cycle
Test du 24 novembre 2006
Dur´ee 1h30, les documents et calculatrices sont interdits.
La qualit´e de r´edaction et de la pr´esentation entrera pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
N’oublier pas de marquer le num´ero de votre groupe.
Les 3 exercices sont ind´ependants.
Exercice 1.
1) V´erifier que la fonction (x7→lnx) est concave sur son ensemble de d´efinition, et en d´eduire que
∀x >0, lnx6x−1.
Dans toute la suite, on ´etudie la fonction f :x7→f(x) = lnx x−lnx. 2) D´eterminer l’ensemble de d´efinition de f.
3) Montrer que f est C2 sur son ensemble de d´efinition, et calculer sa d´eriv´ee.
4) Ecrire la formule de Taylor-Young pourf `a l’ordre 2 au pointx0 = 1. En d´eduire l’´equation de la tangente en ce point et la position de la courbe par rapport `a sa tangente au voisinage de ce point.
5) Quelle est l’approximation affine de f au voisinage de 1 ? En d´eduire une valeur approch´ee de f(1,01).
6) Montrer que f peut se prolonger par continuit´e en 0 en posant f(0) =−1. On note encore f son prolongement.
7) Montrer que la fonction ainsi prolong´ee est d´erivable `a droite en 0. La d´eriv´ee est-elle continue
`a droite en 0 ?
8) Etudier les variations de f et tracer sommairement sa courbe repr´esentative en indiquant les tangentes aux points (0, f(0)) et (1, f(1)).
9) En fonction des valeurs de y, discuter le nombre de solutions de l’´equation f(x) =y.
Exercice 2.D´eterminer toutes les fonctionsf : ]0; +∞[−→]0; +∞[, de classeC1dont l’´elasticit´e en x vaut xpour tout x >0.
Exercice 3. On pose : A=
(x, y)∈R2 : x6y et y2−2y 6 3−x2 et
B =
(x, y)∈R2 : |x−1|<3 et |y|>2 . 1) Repr´esenter graphiquement A etB.
2) Ces domaines sont-ils born´es ? Justifier.
3) Sont-ils ouverts ? ferm´es ? (Dans cette question, et uniquement dans cette question, on de- mande de r´epondre sans donner de justification).
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