Problème : Séries de Engel
On noteA l’ensemble des suites croissantes d’entiers supérieurs ou égaux à 2.
1. Soit(an)∈ A. On pose, pour n∈N, Sn=
n
X
k=0
1 a0× · · · ×ak
.
Montrer que la suite(Sn) converge et que sa limite, notée[an], vérifie0< a1
0 <[an]6 a01−1 61.
2. Soitp>2 un entier. Calculer [p, p,· · ·].
3. On notef la fonction t7→t1
t
+t−1définie sur R+?. Montrer que, pour tout t∈]0,1],f(t)∈]0, t].
4. On souhaite montrer que l’application (an)7→[an]est surjective deAsur]0,1].
Pour cela, on fixe x ∈]0,1] et on note (xn) la suite définie par x0 = x et, pour tout n ∈ N, xn+1=f(xn).
(a) Montrer que la suite (xn)est bien définie, strictement positive et décroissante.
On note à présent, pour tout n∈N,an=j
1 xn
k + 1.
(b) Montrer que, pour tout n∈N,xn+1 =anxn−1.
(c) Montrer que(an)∈ A.
On note enfin, pour toutn∈N, Sn=
n
X
k=0
1 a0× · · · ×ak.
(d) Montrer que, pour tout n∈N,
x=Sn+ xn+1
a0× · · · ×an.
(e) Montrer quex= [an]et conclure. L’écriturex= [an]est appelé développement en série de Engel du réel x.
5. On montre ensuite que l’application(an)7→[an]est injective surA.
(a) Soient(bn), (b0n)∈ A. Montrer que si b0 < b00 alors[bn]>[b0n].
Soient(an), (a0n)∈ Atelles que[an] = [a0n]. On suppose que (an)6= (a0n).
(b) Pourquoi p= min(n∈N/ an6=a0n) existe ? (c) Conclure.
Les deux questions précédentes permettent d’affirmer l’existence et l’unicité du développement en série de Engel d’un réel donné de]0,1].
6. Pour tout n∈N, on note fn la fonction définie parx7→e−x×
n
X
k=0
xk k!
! . (a) Montrer que, pour tous n∈Netx∈R,
fn(x)−fn(0) =− Z x
0
tn n!e−tdt.
(b) En déduire que, pour tous n∈Netx∈R,
|fn(x)−1|6 |x|n+1 (n+ 1)!e|x|. 1
(c) En déduire que, pour toutx∈R,
ex= lim
n→+∞
n
X
k=0
xk
k! et ch(x) = lim
n→+∞
n
X
k=0
x2k (2k)!.
7. (a) Simplifier le produit 2×3× · · · ×(k+ 2)et en déduire que e−2 = [n+ 2].
(b) Montrer de même quech(√
2)−2 = [(n+ 2)(2n+ 3)].
8. On dit qu’une suite réelle est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.
(a) Montrer que si (an)∈ Aest stationnaire alors[an]∈Q.
On étudie la réciproque. Pour cela, on se donne x= pq ∈]0,1]avec p, q∈N? et on reprend les notations de la question 2..
(b) Montrer que, pour tout n∈N,qxn∈N?.
(c) En déduire que (xn) est stationnaire, puis que c’est le cas aussi pour(an) et conclure.
9. Montrer quee ete
√2 sont irrationnels.
* * * FIN DU SUJET * * *
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