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Montrer que, pour tout t∈]0,1],f(t)∈]0, t]

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Problème : Séries de Engel

On noteA l’ensemble des suites croissantes d’entiers supérieurs ou égaux à 2.

1. Soit(an)∈ A. On pose, pour n∈N, Sn=

n

X

k=0

1 a0× · · · ×ak

.

Montrer que la suite(Sn) converge et que sa limite, notée[an], vérifie0< a1

0 <[an]6 a01−1 61.

2. Soitp>2 un entier. Calculer [p, p,· · ·].

3. On notef la fonction t7→t1

t

+t−1définie sur R+?. Montrer que, pour tout t∈]0,1],f(t)∈]0, t].

4. On souhaite montrer que l’application (an)7→[an]est surjective deAsur]0,1].

Pour cela, on fixe x ∈]0,1] et on note (xn) la suite définie par x0 = x et, pour tout n ∈ N, xn+1=f(xn).

(a) Montrer que la suite (xn)est bien définie, strictement positive et décroissante.

On note à présent, pour tout n∈N,an=j

1 xn

k + 1.

(b) Montrer que, pour tout n∈N,xn+1 =anxn−1.

(c) Montrer que(an)∈ A.

On note enfin, pour toutn∈N, Sn=

n

X

k=0

1 a0× · · · ×ak.

(d) Montrer que, pour tout n∈N,

x=Sn+ xn+1

a0× · · · ×an.

(e) Montrer quex= [an]et conclure. L’écriturex= [an]est appelé développement en série de Engel du réel x.

5. On montre ensuite que l’application(an)7→[an]est injective surA.

(a) Soient(bn), (b0n)∈ A. Montrer que si b0 < b00 alors[bn]>[b0n].

Soient(an), (a0n)∈ Atelles que[an] = [a0n]. On suppose que (an)6= (a0n).

(b) Pourquoi p= min(n∈N/ an6=a0n) existe ? (c) Conclure.

Les deux questions précédentes permettent d’affirmer l’existence et l’unicité du développement en série de Engel d’un réel donné de]0,1].

6. Pour tout n∈N, on note fn la fonction définie parx7→e−x×

n

X

k=0

xk k!

! . (a) Montrer que, pour tous n∈Netx∈R,

fn(x)−fn(0) =− Z x

0

tn n!e−tdt.

(b) En déduire que, pour tous n∈Netx∈R,

|fn(x)−1|6 |x|n+1 (n+ 1)!e|x|. 1

(2)

(c) En déduire que, pour toutx∈R,

ex= lim

n→+∞

n

X

k=0

xk

k! et ch(x) = lim

n→+∞

n

X

k=0

x2k (2k)!.

7. (a) Simplifier le produit 2×3× · · · ×(k+ 2)et en déduire que e−2 = [n+ 2].

(b) Montrer de même quech(√

2)−2 = [(n+ 2)(2n+ 3)].

8. On dit qu’une suite réelle est stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang.

(a) Montrer que si (an)∈ Aest stationnaire alors[an]∈Q.

On étudie la réciproque. Pour cela, on se donne x= pq ∈]0,1]avec p, q∈N? et on reprend les notations de la question 2..

(b) Montrer que, pour tout n∈N,qxn∈N?.

(c) En déduire que (xn) est stationnaire, puis que c’est le cas aussi pour(an) et conclure.

9. Montrer quee ete

2 sont irrationnels.

* * * FIN DU SUJET * * *

2

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