Montrer que f(0) &lt

(1)

Université Bordeaux Algèbre 4 – Licence 3

Mathématiques Année 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o3

Anneaux euclidiens, principaux

Dans ce qui suit les anneaux considérés sont commutatifs unitaires.

Exercice 1 –

1) Soit n un entier >2. Les idéaux deZ/nZsont-ils principaux ?

2) Condition sur m ∈Zpour que l’idéal (m, X) soit principal dansZ[X]? 3) Soit F(R,R) l’ensemble des applications de R dans R, muni de l’addition et du produit standards. Montrer que F(R,R) est un anneau unitaire. Soit a ∈ R et I_a ={f ∈ F(R,R); f(a) = 0}. Montrer que I_a est un idéal de F(R,R). Est-il principal ?

4)Même question en remplaçantF(R,R)parC(R,R), l’ensemble des applications continues de R dans R.

Exercice 2 – Un anneau A est dit euclidien s’il existe une application f de A dans N vérifiant que si (a, b)∈A×A\ {0}, il existe (q, r)∈A×A tel que (1) a=bq+r avec f(r)< f(b).

1) Soit x ∈ A\ {0}. Montrer que f(0) < f(x). Indication : on prendra (a, b) = (0, x)dans (1), on recommencera avec (a, b) = (0, r) si r6= 0, et ainsi de suite.

2) On pose m= min{f(x); x6= 0}. Montrer que si f(x) = m, alors x∈A^×. 3) Montrer que dans un anneau euclidien tout idéal est principal.

4) Dans C, on pose j = −1 +i√ 3

2 . Vérifier que Z[i] = {a +bi; a, b ∈ Z} et Z[j] = {a +bj; a, b ∈ Z}, munis des lois induites par celles de C, sont des anneaux.

5) Montrer que Z[i] et Z[j] sont euclidiens donc principaux. On pourra dans les deux cas se servir de f(z) =zz =|z|².

6) Montrer que Z[√

2] = {a +b√

2; a, b ∈ Z} est un anneau euclidien donc principal. On pourra fabriquer f à partir des deux seuls morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[√

2] dans lui-même rencontrés dans l’exercice 3 de la feuille 1.

7) Montrer que Z[i√

5] = {a+bi√

5; a, b∈ Z}, muni des lois induites par celles de C, est un anneau qui n’est pas principal. On pourra montrer que (2,1 +i√

5) n’est pas principal.

(2)

Exercice 3 – Soit A un anneau intègre. Montrer que

A[X]euclidien ⇔A[X] principal⇔A corps.

Indication : pour montrer (A[X] principal ⇒ A corps), on considérera l’idéal engendré par a etX dans A[X] (où a∈A\ {0}).

Exercice 4 – Soient K un corps et A = K[[X]] l’anneau des séries formelles à coefficients dans K. Si a=P

i>0a_iXⁱ ∈A on note v(a) = min{i∈N; a_i 6= 0}

que l’on appelle la valuation de a.

1) Montrer que si a, b∈A\ {0}, on a v(ab) = v(a) +v(b).

2) Déterminer A^× et montrer que si a ∈ A \ {0}, il existe d ∈ A^× tel que a=dX^v(a).

3) Montrer queA est principal.Indication : si I est un idéal non nul deA, poser n = min

v(a); a∈I\ {0} et montrer que I =XⁿA.

4) Soient a, b ∈ A, où b 6= 0. Soit n = v(b). On rappelle qu’il existe d ∈ A^× tel que b=dXⁿ.

a) Montrer qu’il existe k₀, k₁, . . . , kn−1 ∈K et c∈A tels que a=bc+d(k₀+k₁X+· · ·+kn−1Xⁿ⁻¹).

b) En déduire que A est en fait euclidien.

F Exercice 5 – On se propose ici d’exhiber un anneau principal non euclidien.

1)Soit A un anneau euclidien. Montrer qu’il existex∈A\A^×tel que la restriction à A^×∪ {0} de la projection canonique de A sur A/(x) soit surjective.

2)Soientα= 1 +i√ 19

2 etA=Z[α] ={a+bα; a, b∈Z}. Vérifier queAmuni des lois induites par celles deCest un anneau intègre isomorphe àZ[T]/(T²−T+ 5).

3) Montrer que A^× ={−1,1}.

4) À l’aide de la question 1) montrer queA n’est pas euclidien.

5)Montrer qu’il y a dansAune pseudo-division euclidienne : si(a, b)∈A×A\{0}

il existe q, r ∈A tels que (i) r = 0 ou|r|<|b|;

(ii) a=bq+r ou2a=bq+r.

6) Montrer que dans A, l’idéal (2) est maximal.

7) Montrer à l’aide de 5) et 6) que A est principal. On a donc ici un exemple d’anneau principal non euclidien.