1) Montrer que (f , g) 7−→

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

1

1) Montrer que (f , g) 7−→

Z 1 0

f (t) g(t) 1 − t ² dt est un produit scalaire sur C [0, 1], R

. 2) Montrer que ( f , g) 7−→ f (0)g(0)+

Z 1 0

f ^′ (t)g ^′ (t) dt est un produit scalaire sur C ¹ [0, 1], R

. 3) Montrer que l’application :

(P , Q) 7−→ P(0)Q(0) + P ^′ (1)Q ^′ (1) + P ^′′ (2)Q ^′′ (2) est un produit scalaire sur R ₂ [X ].

————————————–

1 I NÉGALITÉ DE C AUCHY -S CHWARZ 2 Soient E un espace préhilbertien réel et x, y ∈ E

non nuls. Redémontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour x et y et son cas d’égalité en étudiant

x k x k ± y

k y k

2

.

————————————–

3 1) Montrer que pour tout n ∈ N : X n

k=0

v t n k

‹

¶ Æ

2 ⁿ (n + 1).

2) Montrer que pour tous x ₁ , . . . , x _n ∈ R :

‚ X _n

k=1

x _k 2 ^k

Π2

¶ 1 3

X n

k=1

x ² _k .

À quelle condition cette inégalité est-elle une éga- lité ?

3) Montrer que pour tous a ₁ , . . . , a _n ¾ 0 ainsi que σ ∈ S _n :

X n

i=1

a _i a _σ(i) ¶ X n

i=1

a ² _i . 4) Soit f ∈ C [0, 1], R

strictement positive. Mon- trer que :

‚Z 1 0

f (t) dt

Π2

¶ Z 1

0

f (t) ³ dt × Z 1

0

dt f (t) . 5) Soient ( Ω , P) un espace probabilisé fini et A

et B deux événements de Ω . Simplifier cov(

¹

_A ,

¹

_B ), puis en déduire l’inégalité de Kosmanek :

P(A ∩ B) − P(A) P(B) ¶ 1 4 . 6) Soit f ∈ C ¹ [0, 1], R

une fonction pour laquelle : f (0) = 0. Montrer que :

‚Z 1 0

f (t) dt

Π2

¶ 1 3

Z 1 0

f ^′ (t) ² dt.

7) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N d’espérance strictement positive. Montrer que :

P(X ¾ 1) ¾ E(X ) ² E X ² .

————————————–

4 Soient f , g ∈ C [0, 1], R

strictement positives.

On pose : a _n = Z 1

0

f (t) ⁿ g(t) dt et u _n = a _n+1 a _n pour tout n ∈ N .

1) Montrer que la suite (u _n ) _n∈ N est majorée.

2) Étudier la monotonie de la suite (u _n ) _n∈ N en utili- sant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

3) Montrer que la suite p

ⁿ

a _n

n ∈ N converge en utilisant le théorème de Cesàro.

————————————–

5 Soient η ∈ [0, 1] et X une variable aléatoire réelle positive ou nulle pour laquelle : E X ²

> 0.

1) Montrer l’inégalité : E €

X

¹

_{{ X} ¾ ηE(X) }

Š 2

¶ E X ² P €

X ¾ ηE(X ) Š . 2) En déduire l’inégalité de Paley-Zygmund :

P €

X ¾ ηE(X ) Š

¾ (1 − η) ² E(X ) ² E X ² .

————————————–

6 Soient E un espace préhilbertien réel, x ∈ E et e ₁ , . . . , e _n ∈ E non nuls. On pose : σ _k =

X n

i=1

〈 e _k , e _i 〉 pour tout k ∈ ¹ 1, n º .

1) Montrer, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace euclidien canonique R ⁿ

²

, que pour tous λ ₁ , . . . ,λ _n ∈ R :

X n

k=1

λ _k e _k

2

¶ X n

k=1

λ ² _k σ _k . 2) En déduire que pour tous λ ₁ , . . . , λ _n ∈ R :

X n

k=1

λ _k 〈 x, e _k 〉 ¶ k x k v u t X ⁿ

k=1

λ ² _k σ _k . 3) En déduire l’inégalité de Selberg :

X n

k=1

〈 x, e _k 〉 ²

σ _k ¶ k x k ² .

————————————–

2 O RTHOGONALITÉ

7 Orthonormaliser grâce à l’algorithme de Gram- Schmidt les familles suivantes :

1) €

(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) Š

dans l’espace euclidien canonique R ³ .

2) €

t 7−→ 1, t 7−→ t, t 7−→ | t | Š

dans C [1, 1], R pour le produit scalaire (f , g) 7−→

Z 1

−1

f (t) g(t) dt.

————————————–

8 1) On munit R ⁴ de sa structure euclidienne canonique.

a) Déterminer une base orthonormale du plan d’équa- tion :

§ x + z + t = 0 x − y + z = 0.

b) Déterminer une base orthonormale de l’ortho- gonal du plan d’équation :

§ x + y − z + t = 0 x − 2 y + 3z − t = 0.

2) Déterminer une base de R ₁ [X ] ^⊥ pour le produit scalaire (P ,Q) 7−→

Z 1

−1

P(t) Q(t) dt sur R ₃ [X ].

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

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9 Soient E un espace préhilbertien réel et F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

1) Si : F ⊂ G, que peut-on dire que F ^⊥ et G ^⊥ ? 2) Montrer l’égalité : (F + G) ^⊥ = F ^⊥ ∩ G ^⊥ . 3) Montrer que si E est euclidien :

(F ∩ G) ^⊥ = F ^⊥ + G ^⊥ .

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10 Pour tous P ,Q ∈ R [X ], on pose : 〈 P ,Q 〉 =

+∞ X

k=0

P ^(k) (1)Q ^(k) (1).

1) Montrer que 〈· , ·〉 est un produit scalaire sur R [X ].

2) Montrer que la famille €

(X − 1) ⁿ Š

n∈ N est une base orthogonale de R [X ].

3) Déterminer R _n [X ] ^⊥ pour tout n ∈ N .

————————————–

11 Pour tous P , Q ∈ R [X ], on pose :

〈 P , Q 〉 = Z 2π

0

P(cos θ )Q(cos θ ) dθ .

1) Montrer que 〈· , ·〉 est un produit scalaire sur R [X ].

2) Montrer que la famille (T _n ) _n∈ N des polynômes de Tchebychev est orthogonale.

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12 1) Soient E 6 =

0 _E un espace vectoriel de dimension finie et B une base de E. Montrer qu’il existe un et un seul produit scalaire sur E pour lequel la base B est orthonormale.

2) Déterminer une expression explicite de l’unique pro- duit scalaire pour lequel la famille €

(1, 2), (2, 1) Š est orthonormale de R ² .

————————————–

13 Soient E un espace préhilbertien réel et e ₁ , . . . , e _n des vecteurs unitaires de E. On suppose que pour tout x ∈ E : k x k ² =

X n

k=1

〈 x, e _k 〉 ² .

1) Montrer que (e ₁ , . . . , e _n ) est une famille orthonor- male de E.

2) Montrer que (e ₁ , . . . , e _n ) est une base de E. En par- ticulier, E est donc euclidien.

————————————–

14 On munit C [0, 1], R

du produit scalaire : (f , g) 7−→

Z 1 0

f (t) g(t) dt.

1) On pose : F = ¦

f ∈ C [0, 1], R

| f (0) = 0 © . Montrer que : F ^⊥ =

0 . 2) Montrer que : €

C ¹ [0, 1], R Š ⊥

=

0 au moyen notamment d’une intégration par parties.

3) Que retenir de cet exercice ?

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15 Soit E un espace euclidien.

1) On note ϕ _a la forme linéaire x 7−→ 〈 x, a 〉 de E pour tout a ∈ E et ϕ l’application a 7−→ ϕ _a de E dans L (E, R ). Montrer que ϕ est un isomorphisme.

2) Dans cette question, u et v sont des endomorphismes quelconques de E.

a) Montrer qu’il existe un et un seul en- domorphisme u ^⋆ ∈ L (E), appelé l’adjoint de u, tel que pour tous x, y ∈ E :

u(x), y

=

x, u ^⋆ ( y) . b) Simplifier (u ◦ v) ^⋆ .

c) Que vaut u ^⋆⋆ ? Comparer Mat _B (u) et Mat _B (u ^⋆ ) pour toute base orthonormale B de E.

d) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel F de E, F est stable par u si et seulement F ^⊥ est stable par u ^⋆ .

e) Montrer les égalités : Ker u ^⋆ = Im u ⊥

, Im u ^⋆ = Ker u ⊥

, Ker u ^⋆ ◦ u

= Ker u et Im u ◦ u ^⋆

= Im u.

————————————–

16 Soient E un espace préhilbertien réel et u ₁ , . . . , u _n ∈ E unitaires. On veut montrer que pour certains ǫ ₁ , . . . , ǫ _n ∈

− 1, 1 :

X n

i=1

ǫ _i u _i ¶ p

n.

On se donne pour cela des variables aléatoires R ₁ , . . . , R _n sur un même espace probabilisé fini, indépendantes et de même loi la loi de Rademacher définie pour tout k ∈ ¹ 1, n º par : P(R _k = 1) = P(R _k = − 1) = 1

2 . 1) Calculer l’espérance de :

X n

i=1

R _i u _i

2

. 2) Conclure.

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3 P ROJECTION ORTHOGONALE 17 Soient E 6 =

0 _E un espace euclidien et H un hy- perplan de E de vecteur normal a. Déterminer une ex- pression simple de la projection orthogonale de E sur H, puis de la réflexion de E par rapport à H.

————————————–

18 1) Dans l’espace euclidien canonique R ³ , on pose : F = ¦

(x, y, z) ∈ R ³ | z = x + y © et on note p la projection orthogonale sur F . Dé- terminer la matrice de p dans la base canonique.

2) Dans l’espace euclidien canonique R ⁴ , on pose : F = ¦

(x, y, z, t) ∈ R ⁴ | x = y et z = − t © et on note p la projection orthogonale sur F . Dé- terminer la matrice de p dans la base canonique.

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

3) On munit C [0, 2π], R

du produit scalaire : ( f , g) 7−→

Z 2π 0

f (t) g(t) dt.

On pose : F = Vect €

t 7−→ 1, t 7−→ t Š

. Déter- miner l’image de t 7−→ sin t par la symétrie ortho- gonale par rapport à F .

————————————–

19 1) Montrer que l’application :

(P , Q) 7−→ P(0) Q(0) + P ^′ (0)Q ^′ (0) + P(1)Q(1) est un produit scalaire sur R ₂ [X ].

2) Calculer la distance de X ² à R ₁ [X ] pour ce produit scalaire.

————————————–

20 On munit R ⁿ de sa structure euclidienne cano- nique. Soient F un sous-espace vectoriel de R ⁿ de di- mension p ¾ 1 et A une matrice de M n,p ( R ) dont les colonnes forment une base de F.

1) Montrer l’égalité : Ker A ^⊤ A

= Ker A. En dé- duire que A ^⊤ A est inversible.

On pose : P = A A ^⊤ A −1

A ^⊤ . 2) Montrer que : Im P = Im A.

3) Montrer que P est la matrice de la projection or- thogonale sur Im A dans la base canonique.

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21 1) On munit R ⁿ de sa structure euclidienne canonique.

Soit A ∈ M n ( R ). On note P la matrice de la pro- jection orthogonale sur Im A.

a) Soit M ∈ M n ( R ). On suppose que pour tous X , Y ∈ R ⁿ : X ^⊤ M Y = 0. Montrer que : M = 0.

b) En déduire que P est symétrique.

c) Que vaut PA? En déduire, grâce à une inégalité bien connue, que : tr(A) ² ¶ rg(A)tr A ^⊤ A

. 2) Soit A ∈ M n ( R ). On suppose que : a _ii = 1 et

| a _{i j} | ¶ 1

p n pour tous i, j ∈ ¹ 1, n º distincts. On pose : B = A+ A ^⊤

2 . a) Montrer que : tr B ^⊤ B

¶ 2n − 1.

b) En déduire que : rg(A) > n 4 .

————————————–

22 Soient E un espace préhilbertien réel.

1) Montrer que pour tous x , y ∈ E, x et y sont orthogonaux si et seulement si pour tout t ∈ R : x + t y

¾ k x k . On se convaincra d’abord que le résultat est vrai sur une figure.

2) Soit p un projecteur de E.

a) Montrer que si p est un projecteur ortho- gonal, alors pour tout x ∈ E : p(x) ¶ k x k . b) Montrer que la réciproque est vraie.

————————————–

23

1) On veut calculer : I = inf

a,b ∈ R

Z 1 0

t − a p t − b 2

dt.

On munit pour cela l’espace vectoriel C [0, 1], R du produit scalaire (f , g) 7−→

Z 1 0

f (t) g(t) dt.

a) Montrer que : I = d(ϕ, F) ² pour une cer- taine fonction ϕ ∈ C [0, 1], R

et pour un cer- tain sous-espace vectoriel de dimension finie F de C [0, 1], R

.

b) Montrer que le projeté orthogonal de ϕ sur F est la fonction t 7−→ 3

10 4 p t − 1

. c) En déduire I .

2) Calculer : inf

a,b ∈ R

Z 1 0

t − a p t − b 2

dt sans uti- liser la méthode de la question 1).

3) Calculer : inf

a,b ∈ R

Z 2π 0

t − a sin t − b cos t 2

dt en adaptant le travail de la question 1).

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24 1) Montrer que l’application : ( f , g) 7−→

Z 1 0

€ f (t) g(t) + f ^′ (t) g ^′ (t) Š dt est un produit scalaire sur C ¹ [0, 1], R

. On pose : F = ¦

f ∈ C ² [0, 1], R

| f ^′′ = f © ainsi que : s = sh (1) et c = ch (1). On fixe ensuite α, β ∈ R et on pose :

E = ¦

f ∈ C ¹ [0, 1], R

| f (0) = α et f (1) = β © . 2) Montrer que :

F ^⊥ = ¦

f ∈ C ¹ [0, 1], R

| f (0) = f (1) = 0 © . 3) Déterminer une expression explicite de la projec-

tion orthogonale de C ¹ [0, 1], R sur F .

4) Montrer que E est un sous-espace affine de C [0, 1], R . 5) Montrer que :

f inf ∈E

Z 1 0

€ f (t) ² + f ^′ (t) ² Š

dt = α ² c − 2αβ + β ² c

s .

————————————–

3