Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
7. Changements de bases
Exercice 1 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par f(x, y, z) = (x+y, y+z, x+z).
(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3).
(2) Soitv1 = (0,1,2), v2= (1,2,0) etv3 = (2,0,1). Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3. (3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2, v3).
(4) Exprimerf(v1), f(v2) et f(v3) en fonction de v1,v2 etv3.
(5) Quelles sont les coordonn´ees du vecteurw= (1,2,3) dans la base (v1, v2, v3) ? En d´eduire une expression dew en fonction de v1,v2 etv3.
Exercice2 — Soit la familleC= (u1, u2, u3) o`uu1 = (1,0,0), u2 = (1,1,0) et u3 = (1,1,1). Montrer que C est une base de R3. ´Ecrire la matrice de passage de la base canonique `a la base C et calculer son inverse.
Exercice 3 — Soitα∈R. On posev1 = (1,1,1), v2= (1, α,1), v3= (0,1,1).
(1) Trouver tous les r´eelsα tels que (v1, v2, v3) soit une base deR3.
(2) On suppose que cette condition est r´ealis´ee. ´Ecrire les coordonn´ees du vecteur w = (1,2,3) dans la base (v1, v2, v3).
Exercice 4 — On consid`ere les vecteurs suivants : v1= (1,2) et v2 = (2,1).
(1) Montrer que (v1, v2) est une base de R2.
(2) Soit l’application lin´eairef :R2 →R2 donn´ee par f(x, y) = (x+y, x−y).
(a) ´Ecrire la matrice de l’application f dans la base canonique (e1, e2).
(b) ´Ecrire la matrice de l’application f dans la base (v1, v2).
(3) On consid`ere maintenant l’application lin´eaireg:R2 →R2dont la matrice dans la base (v1, v2) est
G=
1 1
0 1
.
(a) Soit H la matrice de g dans la base canonique. Donner une relation entre G, H et la matrice de passage de la base canonique `a la base (v1, v2).
(b) En d´eduireH.
(c) Calculerg(x, y).
1
Exercice 5 — On consid`ere les vecteurs suivants : v1= (2,4), v2 = (3,5),w1 = (1,0),w2 = (1,1).
(1) Montrer que (v1, v2) et (w1, w2) sont des bases deR2. (2) Soitu le vecteur de coordonn´ees
1
2
dans la base (v1, v2). Quelles sont les coordonn´ees de udans la base (w1, w2) ?
* Exercice 6 — On d´efinit le produit scalaire de deux vecteurs x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn et y = (y1, . . . , yn)∈Rnpar
hx, yi=x1y1+· · ·+xnyn.
(1) On noteXetY les matrices-colonnes dexetydans la base canonique deRn. Exprimerhx, yi sous forme d’un produit matriciel.
(2) Soit
u1= (cosθ,sinθ,0),
u2 = (−sinθcosϕ,cosθcosϕ,sinϕ), u3 = (sinθsinϕ,−cosθsinϕ,cosϕ).
Montrer quehui, uji= 1 si i=j et que hui, uji= 0 si i6=j. Montrer que U = (u1, u2, u3) est une base deR3.
(3) Donner la matrice de passage M de la base canonique deR3 `a la baseU.
(4) Soit v un vecteur de coordonn´ees (v1, v2, v3) dans la base canonique. Quelles sont les coor- donn´ees dev dans la base U ?
(5) CalculerMtM. En d´eduireM−1.
(6) Soit w un vecteur de coordonn´ees (w1, w2, w3) dans la base U. Quelles sont les coordonn´ees dew dans la base canonique ?
* Exercice7 — On consid`ere les vecteurs u1 = (1,2,2,2),u2= (2,2,−1,−2) etu3 = (2,−1,2,−2).
(1) V´erifier que ces vecteurs sont orthogonaux deux `a deux, c’est-`a-dire que hui, uji= 0 sii6=j.
(2) Donner un vecteuru4 qui soit orthogonal aux trois premiers.
(3) Donner les formules de passage de la base canonique deR4 `a la base (u1, u2, u3, u4) et r´ecipro- quement.