UNIVERSIT ´E PARIS DIDEROT - PARIS 7 Ann´ee 2007-2008, Licence 1, MP2
Math´ematiques fondamentales
Examen partiel du 01/03/08, corrig´e
I
1. On note quee1−e3est dans le noyau. L’image degest le plan de base (e3,−e1+e2+e3).
Donc le noyau est de dimension 1 et a pour base f1 =e1−e3. (On peut aussi poser et r´esoudre le syst`eme.)
A=
0 −1 0
0 1 0
1 1 1
2. e1 = f1+f2+f3, e2 = f1+f3, e3 = f2+f3. Le calcul pr´ec´edent montre que tout vecteur s’exprime comme combinaison lin´eaire def1,f2,f3. Ces trois vecteurs forment une partie g´en´eratrice dansR3 qui est de dimension 3 ; ils forment donc une base. (Il y a des tas d’autres mani`eres de justifier.)
3. g(f1) = 0,g(f2) =f2,g(f3) =f3.
A0=
0 0 0 0 1 0 0 0 1
L’applicationg est la projection vectorielle sur le plan de base (f2, f3) de direction la droite de base f1.
4. La matriceP est la matrice de passage de la basee`a la basef; elle est donc inversible et son inverse est la matrice de passage def `a e:
P−1 =
1 1 0 1 0 1 1 1 1
La formule de changement de base nous donne la relation : A0 =P−1AP .
II
1. ||k||=√
6 ,k1= ||k||1 k=
√ 6
√6 6
√3 6 6
.
2. e01=e1−(e1.k1)k1 =
2 3
−23
2 3
.
3. k2 =
√3 3
−
√ 3
√3 3 3
,k3 =k1∧k2 =
√ 2 2
0
−
√ 2 2
4. M =
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
.
5. N =P M P−1, o`u P est la matrice de passage de la base canonique `a la baseK :
P =
√6 6
√3 3
√2 2
√ 6
3 −
√ 3
3 0
√ 6 6
√ 3
3 −
√ 2 2
.
La baseK ´etant orthonorm´ee,P−1 est la matrice transpos´ee de P :
P−1=
√ 6 6
√ 6 3
√ 6
√ 6 3
3 −
√ 3 3
√ 3
√ 3 2
2 0 −
√2 2
.
N =
−23 23 13
2 3
1 3
2 1 3
3 2 3 −23
.
III 1. Pour x∈R, Arctan0(x) = 1+x1 2 .
2. R1 0
dt
1+t2 = Arctan(1) = π4. 3. (a)
sn=
n
X
k=1
n n2+k2 =
n
X
k=1
1 n(1 +kn22) , sn=
n
X
k=1
1 nf(k
n) , avec f(x) = 1 1 +x2 .
(b) Il s’agit d’une suite de sommes de Riemann pour la fonctionf sur [0,1] :
n→+∞lim sn= Z 1
0
dt 1 +t2 = π
4 .
