LM 223 Examen 04-06-2012
Exercice no1 10
En appliquant l’algorithme de Gauss décomposer la forme suivante en carrés : Q0(x) =x1x2 −x1x3−x1x4+x2x3−x2x4 +x3x4. Exercice no2 2−10−8
zPour tout a ∈ R, soit Ma =
a 1 1 1
1 a −1 −1 1 −1 a −1 1 −1 −1 a
la matrice dans la base canonique de R4 d’une forme quadratiqueQa.
1/ Montrer que 1
2M1 est une matrice orthogonale.
Soit φ l’isométrie dont la matrice est 1
2M1 dans la base canonique.
2/ Préciser la nature deφ, ses valeurs propres et sous-espaces propres.
3/ Donner la signature τa deQa en fonction dea.
Exercice no3 5−10
SurRn muni de sa structure standard, soitφ un endomorphisme autoadjoint bijectif. SoitQet Q0les formes quadratiques associées àφetφ−1i.e∀x ∈ Rn, Q(x) =x·φ(x)etQ0(x) =x·φ−1(x).
Pour toutu ∈ Rn on noteQu la forme quadratique définie par Qu(v) =Q(v)−(u·v)2. 1/ Donner l’expression de l’opérateur autoadjoint φu associé à Qu.
2/ Montrer que Qu est dégénérée ⇐⇒ Q0(u) = 1.
Exercice no4 2−2−2−10−14
Poura ∈ Rsoit Qa la forme quadratique définie sur R3 par
Qa(x, y, z) =x2+y2+z2+ 2a(xy+yz+xz).
On note Φa la forme bilinéaire associée à QaetC la base canonique deR3. 1/ Ecrire la matrice Ma associées à Qa.
2/ Soitu= (x, y, z)et u0 = (x0, y0, z0)deux vecteurs de R3. ExprimerΦa(u, u0).
3/ Calculer la signature deQ1.
4/ Déterminer les valeurs de a pour lesquelles Qa est définie positive.
5/ Déterminer B= (u1, u2, u3) la base orthonormée pour la structure associée à Q1/2, obtenue à partir de C par la procédure Gram-Schmidt.
