MPSI B 2009-2010 Énoncé du DM 17 29 juin 2019
Exercice
Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est :
1 4 6
1 1 3
−1 −2 −4
1. Former une base du noyau et de l'image. Former une équation de l'image. L'image et le noyau sont-ils supplémentaires ?
2. Que vaut u ◦ u ?
3. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de u est :
−1 0 0
0 −1 0
0 0 0
Problème
Les deux parties sont totalement indépendantes.
On ne confondra pas (a, b, c) de R 3 avec sa matrice colonne
a b c
dans la base canonique.
Partie I
Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est :
A =
2 1 1 1 2 1 0 0 2
1. Discuter suivant le réel λ du rang de la matrice A − λI 3 .
2. Déterminer pour chaque i ∈ {1, 2, 3} le vecteur e i dont la deuxième composante vaut 1 et tel que u(e i ) = ie i . Préciser ker(u − i Id R
3) .
3. Justier que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de R 3 et écrire la matrice ∆ de u relativement à cette base. Former une relation entre A et ∆ .
4. Soit B ∈ M 3 ( R ) une matrice vériant B 2 = A . On note v l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est B .
a. Justier v 2 = u et u ◦ v = v ◦ u .
b. Pour chaque i ∈ {1, 2, 3} , montrer que v(e i ) ∈ Vect(e i ) .
c. Montrer que la matrice de v dans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est de la forme
λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3
et préciser les valeurs possibles pour les λ i .
5. Former toutes les solutions dans M 3 ( R ) de l'équation X 2 = A .
Partie II
Soit E un R espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E vériant u ◦ u = 0 L(E) .
1. Montrer que rg u ≤ n 2 .
2. Montrer que si rg u = r , il existe une base de E dans laquelle la matrice de u s'écrit
0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 ... ... ...
... ... 0
... 1
0 ...
0 · · · 0
(toutes les cases contiennent 0 sauf r qui contiennent 1).
3. Soit M ∈ M 4 ( R ) de rang 1 et telle que
M 2 = 0 M
4( R )
Montrer qu'il existe des réels (a, b, c, d) 6= (0, 0, 0, 0) et (x, y, z, t) 6= (0, 0, 0, 0) tels que
0 = xa + yb + zc + td, M =
xa ya za ta xb yb zb tb xc yc zc tc xd yd zd td
.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
