en} la base canonique de Kn

D´epartement de Math´ematiques Facult´e des Sciences

Universit´e Mohammed V

SMA-S4 -Alg`ebre V S´erie 2

Ann´ee Universitaire 2019-2020

Supposons que car K = 2. D´esignons par B = {e₁, . . . , e_n} la base canonique de Kⁿ. Si x ∈ Kⁿ, on utilise la notation standard x = (x₁, . . . x_n), o`ux=Pn

j=1x_je_j.

Exercice 1. Dans chacun des cas suivants, v´erifier si f est une forme bilin´eaire sur E. Si la r´eponse est positive, dire si elle est al- tern´ee ou sym´etrique. Si f n’est ni altern´ee ni sym´etrique, donner sa d´ecomposition en somme de forme sym´etrique et altern´ee.

C²×C² →C, (x, y)7→x₁y₂−x₂y₁ R³×R³ →R, (x, y)7→x₁y₃+ 2y₁y₂ R² ×R² →R, (x, y)7→x₁y₁ −2x₂y₂+x₁y₂

M2(K)×M2(K)→K, (A, B)7→a11tr(B), o`uA= (aij)1≤i,j≤2

Exercice 2. I) Donner les matrices des formes bilin´eaires suivantes dans la base canonique deKⁿ. Pour celles qui sont sym´etriques, donner les formes quadratiques associ´ees, pr´eciser leur rang et leur discriminant par rapport `a la base canonique.

n = 2 :f(x, y) =x₁y₁−3x₂y₁; n = 3 :f(x, y) = 3x₁y₁+x₃y₃−x₂(y₁+7y₂) n= 3 : f(x, y) = x₁y₂−x₂y₁; n= 4 : f(x, y) =x₁y₄+ 2x₂y₃−x₄y₄ II) Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique sur R³ tel que sa matrice dans la base canonique a la forme

A=





2 0 3 . 1 −1 . . 0





1) Donner f(x, y) pour tout x, y ∈ R³, pr´eciser la forme quadratique associ´ee et les ´el´ements isotropes. Donner {(1,2,−1)}^⊥.

2) Soit B⁰ ={e₁−e₂+e₃,2e₁, e₃}. V´erifier que B⁰ est une base de R³. Donner la matrice de f dans la base B⁰.

III) i) Donner les matrices des formes quadratiques suivantes sur C³, q₁(x) = x²₁+x²₃−3x₁x₃+ix₁x₂, q₂(x) =−x²₂+ 5x₁x₂ −6x₂x₃ iii) Trouver une forme quadratique q₃ de rang minimal sur C³ de sorte que rg(q₂+ q₃) = 3.

Exercice 3. Consid´erons le produit scalaire usuel deRⁿ, qui g´en´eralise le produit scalaire de R²: f(x, y) =Pn

j=1x_jy_j.

1

2

1) V´erifier que f est sym´etrique et donner la forme quadratique q as- soci´ee.

2) Donner les ´el´ements isotropes deqet v´erifier sif est non-d´eg´en´er´ee?

3) Supposons que n = 2. RemplacezR par C et r´epondez aux mˆemes questions. Ensuite, donner une base orthogonale de (C², q).

Exercice 4. 1) On suppose queK=C. Dans chacun des cas suivants,

´

ecrire la forme quadratique q d´efinie sur K³ sous forme de somme de carr´es et pr´eciser le rang

x²₃+x₁x₂; x₁x₃+x₂x₃+ 3x₁x₂

2) Supposons que K = R. Dans chacun des cas suivants, exprimer q, qui est d´efinie sur Kⁿ, sous forme de combinaison lin´eaire de carr´es, pr´eciser le rang et la signature

n= 4, x₄x₁−x²₂+x²₃; n = 3, x₁x₂+x₂x₃

3) i) Discuter, en fonction de α, le rang et la signature de la forme quadratique q d´efinie sur R³ par

q(x) =x²₁+ (1−α)x²₃+ (1−α+α²)x²₂+ 2x₁x₃ + 2αx₂x₃ ii) Soit q⁰ la forme quadratique d´efinie sur R³ par q⁰(x₁, x₂, x₃) = q(x₂, x₁, x₃). Pr´eciser le rang et la signature de q⁰ suivant les valeurs de α.