D´epartement de Math´ematiques Facult´e des Sciences
Universit´e Mohammed V
SMA-S4 -Alg`ebre V S´erie 3
Ann´ee Universitaire 2019-2020
Supposons que carK= 2. E est un espace vectoriel sur K.
Exercice 1. Soit f ∈ S2(E). Pour toutx∈E, on d´esigne parf(x, .) l’´el´ement de E∗ d´efini par: [f(x, .)](y) = f(x, y). D´esignons par Γf l’application d´efinie par
Γf :E →E∗, x7→f(x, .).
(1) V´erifier que Γf est lin´eaire et donner son noyau.
(2) Dans toute la suite de cet exercice, on suppose que E est de di- mension finie n∈N∗. Soit B ={e1, . . . , en}une base de E. Comparer M(Γf, B, B∗) et M(f, B).
(3) Utilisez l’application Γf et donnez une autre preuve du r´esultat suivant du cours: ”Pour toute forme quadratique q surE, on a
rg q + dim N(q) = dim E.”
(4) Soient A⊂E. Donner Γf(A)◦.
(5) Soit T : E → E∗ une application. A quelle condition il existe f ∈ S2(E) tel que T = Γf?
(6) Supposons que n ≥ 2. Montrer qu’il n’existe pas d’isomorphisme τ :E →E∗ qui v´erifie: ”Pour toute base B0 ={u1, . . . , un} deE
τ(
n
X
i=1
λiui) =
n
X
i=1
λiu∗i, λ1, . . . , λn∈K”
Autrement dit, il n’existe pas d’isomorphisme canonique entre EetE∗. (Suggestion: Le faire avec deux m´ethodes. (i) Utiliser l’exercice 7 de la S´erie 1; (ii) Utilisez les questions pr´ec´edentes de cet exercice.).
Exercice 2. Supposons que E est de dimension finie.
I) Soit B0 ={h1, . . . , hr} une famille d’´el´ements de E∗. Consid´erons la forme quadratique q d´efinie sur E par
q(x) =λ1h1(x)2+. . . λrhr(x)2, o`u λ1, . . . , λr sont des scalaires non nuls.
(1) Suppposons que B0 est libre. Montrer que q est de rang r.
(2) Montrer que dans le cas g´en´eral, rg q≤r.
II) Soit B ={e1, . . . en}une base de E.
(1) Donner une base deQ(E) en utilisant la base duale deB et pr´eciser la dimension.
(2) Supposons que B est orthogonale. V´erifier que la cardinal de
1
2
l’ensemble {i∈ {1, . . . , n}:q(ei)6= 0} ne d´epend pas de la baseB. (3) Supposons que K = R et que B est orthogonale. V´erifier que le cardinal de l’ensemble {i∈ {1, . . . , n}:q(ei)>0} ne d´epend pas de la base B.
(4) Traiter les questions II) (2) et (3) en supposant que la base B n’est pas orthogonale.
Exercice 3. Consid´erons la forme quadratique q(x) =x1x2 de C3. 1) EcrireM(q, B), o`uB est la base canonique deC2, et d´eduire le rang de q. Observez ensuite le raisonnement suivant, est il correct? ” On a q(x) =x1x2 = 1
2(x1+x2)2−x21−x22 = ( 1
√2(x1+x2))2+ (ix1)2+ (ix2)2 Donc le rang de q est ´egal `a 3”.
2) Consid´erons la mˆeme forme q(x) = x1x2 sur R3. Existe t’il une forme quadratique q0 sur R2 de sorte que (q(x) +q0(x))>0 pour tout x6= 0?
Exercice 4. I) Supposons que dimE = 3. Dans chacun des cas suiv- ants, voir s’il existe q ∈ Q(E) v´erifiant les conditions d´esir´ees. Si la r´eponse est oui, donner un exemple concret. Si la r´eponse est non, faites une preuve.
(1) Il existe un sous espace H totalement isotrope de dimension 2.
Traiter tous les cas pour le rang: rg q∈ {1,2,3}.
(2) q est non d´eg´en´er´ee, et E contient un sous espace isotrope de di- mension 2.
(3) q est d´eg´en´er´ee, mais E contient un sous espace de dimension 2 tel que q |H est non d´eg´en´er´ee.
III) Supposons queEest de dimension quelconque et soitB0 une famille orthogonale libre de E. Pouvez vous la compl´eter en une base orthog- onale de E?
Exercice 5. (1) Appliquer la m´ethode de Gauss et ´ecrire les formes quadratiques suivantes sous forme de combinaison lin´eaire de carr´es. A chaque fois pr´eciser le rang et dans le cas r´eel, pr´eciser la signature:
E =R3 : q1(x) = x21+x22−x23−2(x1x2+x3x1+x3x2) E =C4 : q2(x) =x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 (2) Consid´erons l’application d´efinie par:
q:M2(C)→C, A7→det(A)
V´erifier que q2 est une forme quadratique. Ensuite, diagonaliser q et pr´eciser son rang. Pr´eciser aussi la base correspondant `a la forme diagonale.
3
(3) Consid´erons la matrice sym´etrique suivante de M4(C),
M(q, B) =
0 1/2 −1 1
. 0 −2 0
. . 0 1/2
. . . 0
Donner une matrice diagonale qui lui soit congruente, et pr´eciser le changement de bases.
