Facult´e des Sciences Universit´e Mohammed V
SMA-S4 -Alg`ebre V
Solutions TD -S´eance: 24 Avril-2020 Ann´ee Universitaire 2019-2020
Fin de la S´erie 3.
Exercice 5. (1) Commen¸cons par q1: Nous savons que l’´ecriture sous forme de combinaison lin´eaire de carr´es n’est pas unique. Il y’a plusieurs m´ethodes, nous donnons ici deux m´ethodes et deux ´ecritures diff´erentes. Mais rappelons que le rang et la signature sont les mˆemes.
M´ethode 1. Observons la forme deq1, on peut la simplifier comme suit:
q1(x) = (x1−x2)2−x23−2(x1x3+x3x2) Appliquons la m´ethode de Gauss-Jordan,
q1(x) = (x1−x2)2−[x23+ 2x3(x1 +x2)]
= (x1−x2)2−[(x3+x1+x2)2−(x1+x2)2]
= (x1−x2)2+ (x1+x2)2−(x3+x1+x2)2 M´ethode 2. Appliquons directement la m´ethode Gauss-Jordan
q1(x) =x21−2x1(x2+x3) +x22−x23−2x3x2
= (x1−(x2+x3))2−(x2+x3)2+x22−x23−2x3x2
= (x1−x2−x3)2−2x23−4x3x2
= (x1−x2−x3)2−2(x23+ 2x3x2)
= (x1−x2−x3)2−2[(x3+x2)2−x22]
= (x1−x2−x3)2−2(x3+x2)2+ 2x22 Le rang de q1 est donc ´egal `a 3 et sa signature est (2,1).
Travaillons maintenant q2. Remarquons qu’elle a une forme simple, qu’on diagonalise facilement.
q2(x) = (x1+x3)(x2+x4) donc
q2(x) =
x1+x3+x2+x4 2
2
+
i(x1+x3−x2−x4) 2
2
. Le rang de q2 est ´egal `a 2.
1
(2) Ecrivons A = (aij)1≤i,j≤2, o`u aij ∈ C pour tous i, j. Alors dans la base form´ee des matrices unit´e B = {E11, E12, E21, E22}, on a A = P
ijaijEij.
q(A) =a11a22−a12a21,
donc q est bien une forme quadratique. Diagonalisons q. Comme nous travaillons dans C, ´ecrivons l`a sous forme de somme de carr´es, on ob- tient
q(A) =
a11+a22 2
2
+
i(a11−a22) 2
2
+
i(a12+a21) 2
2
+
a12−a21 2
2
En particulier, le rang de q est ´egal `a 4.
Nous sommes juste cens´es diagonaliser q, donc pour faciliter le calcul et travailler juste avec des termes r´eels, il suffit de l’´ecrire sous forme de combinaison lin´eaire de carr´es. Nous travaillerons donc, par ex- emple, avec la d´ecomposition suivante
q(A) =
a11+a22 2
2
−
(a11−a22) 2
2
−
(a12+a21) 2
2
+
a12−a21 2
2
Trouvons une base B0 = {U11, U12, U21, U22} correspondant `a cette d´ecomposition. Ainsi, si A = P
i,jbijUij, q(A) = b211−b212+b221−b222. Ici, nous utiliserons une m´ethode directe, comme dans un exemple du cours. Dans la derni`ere question de cet exercice, nous travaillerons dans l’espace dual d’abord. Ecrivons
b11 b12 b21 b22
= 1 2
a11+a22 a12−a21 a12+a21 a11−a22
= 1 2
1 0 0 1
0 1 −1 0
0 1 1 0
1 0 0 −1
a11 a12 a21 a22
Si on note par X (resp. Y) la matrice colonne des coordonn´ees de A dans la base B (resp. B0), on aY =P−1X, o`u P =PBB0. Ainsi,
P−1 =PB0B = 1 2
1 0 0 1
0 1 −1 0
0 1 1 0
1 0 0 −1
Trouvons donc P.
Au lieu de calculer directement l’inverse de P−1, observons sa forme.
On constate qu’en changeant l’ordre des ´el´ements des bases B et B0, l’inverse devient plus facile `a calculer, puisqu’on aura une d´ecomposition en blocs convenables. Posons
B1 ={E11, E22, E12, E21}, B10 ={U11, U22, U12, U21}.
Posons P1 =PB1B0
1. Alors
P1−1 =PB0
1B1 = 1 2
1 1 0 0
1 −1 0 0
0 0 1 −1
0 0 1 1
Donc
P1 =
1 1 0 0
1 −1 0 0
0 0 1 1
0 0 −1 1
(3) Dans cette question nous supposons que q est la forme quadratique d´efinie sur C4 par sa matrice dans une base B via
M(q, B) =
0 1/2 −1 1
1/2 0 −2 0
−1 −2 0 1/2
1 0 1/2 0
Soit X le vecteur colonne form´e des coordonn´ees d’un ´el´ement x∈C4 dans la base B, ´ecrivons Xt= (x1, x2, x3, x4).
Pour trouverq(x), On peut bien sˆur utiliser la formuleq(x) = XtM(q, B)X, mais il est plus simple d’appliquer nos connaissances sur la forme de q.
Appliquons donc Proposition 3.7 du chapitre 2 (comme on l’a fait dans l’autre s´erie), et on d´eduit directement, juste en observant M(q, B)) que
q(x) =x1x2−2x1x3+ 2x1x4−4x2x3+x3x4
Utilisons la m´ethode de Gauss-Jordan pour diagonaliserq. On obtient q(x) = (x1−4x3)(x2 −2x3+ 2x4)−8x23+ 8x3x4+x3x4
=
x1−4x3+x2−2x3+ 2x4
2
2
−
x1−4x3−x2+ 2x3−2x4
2
2
−8x23+ 7x3x4
Ainsi, on trouve
q(x) =
x1−6x3+x2+ 2x4 2
2
−
x1−2x3−x2−2x4 2
2
−8(x3+7
16x4)2+49 32x24 Utilisons cette d´ecomposition et trouvons une baseB0deC4pour laque-
lle M(q, B0) soit diagonale. Remarquons que q(x) a la forme
(1) q(x) = h1(x)2−h2(x)2 −8h3(x)2+ 49 32h4(x)2
o`u{hj}j est une base de (C4)∗ et si on poseB0∗ ={h1, h2, h3, h4}alors
PB∗B0∗ =
1 1 0 0
1 −1 0 0
−6 −2 1 0
2 −2 7
16 1
On sait que PB∗B0∗ == (PBBt 0)−1, donc la matriceP =PBB0 v´erifie
P−1 =PB0B=
1 1 −6 2
1 −1 −2 −2
0 0 1 7
0 0 0 161
Pour trouver P, vous pouvez appliquer la m´ethode de Gauss Jordan ou la formule de l’inverse en utilisant la comatrice; ici pour changer, et puisqu’on a une matrice simple et facile `a traiter, on le fait directement.
Posons B ={e1, . . . , e4}et B0 ={u1, . . . , u4}. Alors e1 =u1 +u2, ete2 =u1−u2 ⇒u1 = e1+e2
2 , u2 = e1−e2 2 Maintenant
e3 =−6u1−2u2+u3 ⇒u3 = 3(e1+e2) + (e1−e2) +e3 = 4e1+ 2e2+e3 Enfin, de l’´egalit´ee4 = 2(u1−u2) + 7
16u3+u4, on d´eduit Donc u4 =e4−2e2 +−7
4e1−7
8e2− 7
16e3 = −7
4 e1−23
8 e2− 7
16e3+e4 Ainsi, la matrice de passage
P =PBB0 =
1/2 1/2 4 −7/4 1/2 −1/2 2 −23/8
0 0 1 −7/16
0 0 0 1
.
Soit Y le vecteur colonne qui repr´esente les coordonn´ees de x dans la base B0. Ecrivons Yt = (y1, . . . , y4), alors
q(y) = y12−y22−8y32+ 49 32y42 Donc
M(q, B0) = diag(1,−1,−8,49 32) M(q, B0) =PtM(q, B)P, donc elles sont congruentes.
A vous maintenant: 1) Donnez la forme de toutes les matrices diag- onales congruentes `a M(q, B).
2) R´epondez `a la mˆeme question en supposant que vous travaillez dans M4(R).
(Indication pour ces deux questions: Puisque vous n’ˆetes pas cens´es ici donner les bases associ´ees, donc vous pouvez travailler soit en util- isant votre cours et r´epondre dans un cadre g´en´eral, ou observez bien la formule (1) et d´eduisez une r`egle g´en´erale).
![Commen¸cons par quelques notations. Le symbole d´ esignera ]0, 1[](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)