1 Forme bilin´ eaire, changement de bases.

Formes bilin´ eaires, changement de bases. Formes quadratiques,

r´ eductions

1 Forme bilin´ eaire, changement de bases.

Soient E un espace vectoriel de dimension n , ϕ une forme bilin´ eaire. On suppose donn´ ee une base B de E dont les ´ el´ ements (de la base) sont not´ ees e _i . Soient v, w ∈ E, on notera V et W les vecteurs colonnes des coordonn´ ees α _i (resp. β _i ) de v et w dans la base B. On note A pour la matrice (ϕ(e _i , e _j ). Alors on notera souvent < x, y > pour ϕ(x, y).

ϕ(v, w) = ^t V AW En effet

ϕ(v, w) = ϕ( X

i

α _i e _i , X

j

β _j e _j ) = X

i,j

ϕ(e _i , e _j )α _i β _j = X

i,j

a _i,j α _i β _j

D´ efinition 1.1. La forme bilin´ eaire est dite sym´ etrique si pour tous les v, w ∈ E on a ϕ(v, w) = ϕ(w, v), antisym´ etrique si pour tous v, w ∈ E on a ϕ(v, w) = −ϕ(w, v)

D´ efinition 1.2. La forme bilin´ eaire est sym´ etrique si sa matrice (dans une base quel- conque) A est sym´ etrique, c’est ` a dire que a <sub>i,j</sub> = a <sub>j,i</sub> pour tout i et tout j . la forme est antisym´ etrique si sa matrice (dans une base quelconque) A est antisym´ etrique, c’est ` a dire que a _i,j = −a _j,i pour tout i et tout j.

Dans le cas antisym´ etrique cela implique en particulier que les termes diagonaux sont nuls. En fait pour tout v on a ϕ(v, v) = 0.

L’ensemble des formes bilin´ eaires sur un espace vectoriel E est un espace vectoriel de dimension n ² . Toute forme bilin´ eaire peu s’´ ecrire de mani` ere unique comme somme d’une forme sym´ etrique et d’une forme antisym´ etrique grˆ ace ` a la formule suivante :

ϕ(v, w) = ϕ(v, w) + ϕ(w, v)

2 + ϕ(v, w) − ϕ(w, v) 2

Le sous-espace vectoriel des formes sym´ etriques est de dimension ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ , celui des formes antisym´ etriques de dimension ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₂ .

Supposons maintenant que l’on passe d’une base B ` a une base B ⁰ de E et que la matrice de changement de base soit P . Soit A , resp.A ⁰ , la matrice de ϕ dans B, resp. B ⁰ .

Alors

A ⁰ = ^t P AP

2 Formes quadratiques, r´ eduction de Gauss

Soit E un espace vectoriel et soit ϕ une forme bilin´ eaire sym´ etrique sur E.

1

D´ efinition 2.1. la forme quadratique Φ associ´ ee ` a ϕ est l’application de E dans R donn´ ee par Pv 7→ ϕ(v, v).

On remarquera que l’on a la formule :

ϕ(v, w) = Φ(v + w) − Φ(v ) − Φ(w) 2

On dit que ϕ est la forme polaire de Φ.

On appellera plus g´ en´ eralement forme quadratique sur E toute application Φ telle que l’application ϕ : E × E −→ R soit une forme bilin´ eaire sym´ etrique. Evidemment si B est une base de E et A la matrice associ´ ee ` a ϕ alors

Φ(v ) = ^t V AV

On montre que l’on peut trouver des bases o` u la matrice de la forme quadratique est diagonale.

Th´ eor` eme 2.2. Etant donn´ ee une forme quadratique Φ on peut trouver une base B de E telle que si on note x _i les coordonn´ ees de x ∈ E dans cette base, alors

Φ(v) = X

i=1,...,r

a _i x ² _i

o` u les a i sont des r´ eels non nuls. L’entier r, appel´ e le rang de la forme quadratique est bien d´ etermin´ e.

La d´ emonstration est donn´ ee dans tous les manuels. On va seulement d´ ecrire le proc´ ed´ e pratique. On part d’une base quelconque B , on a donc

Φ(v) = ϕ(v, v) = X

i,j

a _i,j x _i x _j = X

i

a _i,i x ² _i + X

i<j

2a _i,j x _i x _j en tenant compte de la sym´ etrie.

Supposons que a _1,1 6= 0. On regroupe alors les termes en x ₁ x _i , i > 1 et on compl` ete en un binˆ ome :

a _1,1 (x ² ₁ + 1

a _1,1 x ₁ ( X

i>1

a _1,i x _i ) + 1 4a ² _1,1 ( X

i>1

a _1,i x _i ) ² ) = a _1,1 (x ₁ + 1

2a _1,1 x ₁ ( X

i>1

a _1,i x _i )) ²

On substitue ` a x 1 la variable x ⁰ ₁ = x 1 + _2a ¹

1,1

( P

i>1 a 1,i x i ), on laisse fixe les autres variables (on fait un changement de base dans E ^∗ en fait) On se ram` enedonc ` a

a _1,1 x ⁰² ₁ − 1 4a _1,1 ( X

i>1

a _1,i x _i ) ² ) + X

i>1,j>1

a _i,j x _i x _j

soit une forme du type

αx ⁰² ₁ + q(x 2 , . . . , x n ) On peut ´ evidemment it´ erer.

Cependant il peut aussi se pr´ esenter le cas o` u tous les a _i,i sont nuls. Dans ce cas on choisit deux indices telles que a _i,j 6= 0. Il en existe sauf si la forme est nulle. Disons i = 1, j = 2. On commence par faire un changement de variables regroupant tous les termes pour lesquels a _1,j 6= 0 et a _2,j 6= 0. Posons :

2

x ⁰ ₁ = x ₁ + 1 a _1,2 ( X

i>2

a _1,i x _i )

x ⁰ ₂ = x ₂ + 1 a _1,2 ( X

i>2

a _2,i x _i )

Si on fait le changement de variables qui laisse fixe les autres variables la forme quadratique devient :

a _1,2 x ⁰ ₁ x ⁰ ₂ − a _1,2 ( 1 a _1,2 ( X

i>2

a _1,i x _i ))( 1 a _1,2 ( X

i>2

a _2,i x _i )) + X

i>2,j>2

a _i,j x _i x _j

on obtient une expression du type

αx ⁰ ₁ x ⁰ ₂ + q(x ₃ , . . . , , x _n ) On pose alors

x” ₁ = x ⁰ ₁ + x ⁰ ₂

2 x” ₂ = x ⁰ ₁ − x ⁰ ₂ 2 ce changement de variables ram` ene au cas pr´ ec´ edent.

3 Signature, th´ eor` eme de Sylvester

Th´ eor` eme 3.1. Etant donn´ ee une forme quadratique Φ on peut trouver une base B de E telle que si on note x _i les coordonn´ ees de x ∈ E dans cette base, alors

Φ(v) = X

i=1,...,p

x ² _i − X

i=1,...,q

x ² _i+p

avec p + q = r (r est le rang), (p, q) est appel´ e la signature de la forme quadratique et est bien d´ etermin´ ee.

La d´ emonstrattion proc` ede comme suit. On suppose donn´ ee deux d´ ecompositions (as- soci´ ees ` a des coordonn´ ees x _i et x ⁰ _i ) avec des signatures (p, q ) et (p ⁰ , q ⁰ ), p + q = p ⁰ + q ⁰ = r.

On suppose p > p ⁰ et on obtient une contradiction. Sur le sous-espace P des vecteurs tels que x p+1 = · · · = x n = 0, ` a l’exception du vecteur nul, la forme quadratique prend des valeurs strictement positives. Sur le sous-espace P ⁰ des vecteurs tels que x ⁰ _p1 = · · · = x ⁰ _p

= 0, prend des valeurs strictement n´ egatives ou nulles. Mais dim(P ) = p, dim(P ⁰ ) = n − p ⁰ . La condition p > p ⁰ implique que P ∩ P ⁰ n’est pas r´ eduit au vecteur nul.

Il existe donc un vecteur pour lequel la forme quadratique prend une valeur strctement positive et une valeur n´ egative ou nulle. Ce qui est impossible, donc p = p ⁰ .

4 Formes non d´ eg´ en´ er´ ees, formes d´ efinies, produit scalaire

Une forme bilin´ eaire sym´ etrique ϕ sur un espace E est dite non d´ eg´ en´ er´ ee si le seul vecteur v ∈ E tel que ϕ(v, w) = 0 pour tout w ∈ E est le vecteur nul.

3

Th´ eor` eme 4.1. L’ensemble des vecteurs v ∈ E tels que ϕ(v, w) = 0 pour tout w ∈ E est un sous-espace vectoriel appel´ e le noyau de ϕ. Soit d la dimension du noyau et r le rang de la forme alors

d + r = dim(E)

Une forme bilin´ eaire sym´ etrique ϕ sur un espace E est dite non d´ eg´ en´ er´ ee si le seul vecteur v ∈ E tel que ϕ(v, w) = 0 pour tout w ∈ E est le vecteur nul, soit si son noyau est trivial.

Une forme bilin´ eaire sym´ etrique ϕ sur un espace E est dite d´ efinie si le seul vecteur v ∈ E tel que ϕ(v, v) = 0 est le vecteur nul. On dit aussi que la forme quadratique Φ est d´ efinie.

Th´ eor` eme 4.2. Une forme quadratique Φ d´ efinie, prend des valeurs toujours positives ou nulles, ou toujours n´ egatives ou nulles. Selon le cas on dit qu’elle est d´ efinie positive ou d´ efinie n´ egative.

On le d´ emontre en calculant Φ(tv + (1 − t)w v, w ∈ E, t ∈ [0, 1]. Cette quantit´ e est un polynˆ ome de degr´ e 2 en t dont sait qu’il a au plus une racine (la seule valeur si elle existe de t pour laquelle tv + (1 − t)w = 0). Donc il garde un signe constant. Donc Φ(v) et Φ(w) ont mˆ eme signe ou sont nuls.

Th´ eor` eme 4.3. Une forme d´ efinie est non d´ eg´ en´ er´ ee.

D´ efinition 4.4. Un produit scalaire sur un espace vectoriel E est la donn´ ee d’une forme bilin´ eaire ϕ dont la forme quadratique associ´ ee Φ est d´ efinie positive.

Le produit scalaire ”standard” < v, w >= x ₁ y ₁ + · · · + x _n y _n (o` u les x _i et les y _i sont les coordonn´ ees de v et w) est ´ evidemment le premier exemple.

Si on consid` ere l’espace P <sub>n</sub> des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n et que l’on d´ efinit

< P, Q >=

Z 1

0

P (t)Q(t)f (t)dt

avec f une fonction continue non nulle, prenant des valeurs positives ou nulles, cela d´ efinit un produit scalaire.

4