1 Endomorphismes symétriques et matrices
symétriques 2
1.1 Définition . . . 2 1.2 Propriétés . . . 2 2 Réduction des endomorphismes et des matri-
ces symétriques 4
2.1 Réduction des endomorphismes symétriques . 4 2.2 Réduction des matrices symétriques réelles . . 5 3 Forme quadratique associée à une matrice
symétrique 7
3.1 Définition . . . 7 3.2 Signe d’une forme quadratique . . . 8
Compétences attendues.
3 Montrer qu’un endomorphisme est symétrique.
3 Diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée.
3 Étudier le signe d’une forme quadratique associée à une matrice symétrique.
Mathieu Mansuy - Professeur de Mathématiques en ECS2 au Lycée Louis Pergaud (Besançon)
1 Endomorphismes symétriques et matrices symétriques
Dans tout le chapitre,E désigne un espace euclidien de dimensionn≥1. Le produit scalaire est noté h·,·i et la norme associéek · k.
1.1 Définition Définition.
Un endomorphisme f de E est ditsymétrique si :
∀(x, y)∈E2, hf(x), yi=hx, f(y)i.
Exemple. Un projecteur orthogonal est symétrique.
Exercice. Soit E = Mn(R) muni du produit scalaire canonique hA, Bi = Tr(tAB). Montrer que l’application transposéef :E→E, M 7→ tM est symétrique.
1.2 Propriétés
Rappel. Une matriceM ∈Mn(R) est ditesymétrique si tM =M, c’est-à-dire si :
∀(i, j)∈J1, nK
2, mi,j =mj,i. Par exemple, la matrice
1 2 3 2 4 5 3 5 6
est symétrique.
Soit f ∈L(E) et soit B une base orthonorméede E. Alors on a :
f est un endomorphisme symétrique ⇔ MB(f) est symétrique. Propriété 1
Preuve.
Soit p∈L(E) un projecteur.
p est un projecteur orthogonal si et seulement sip est un endomorphisme symétrique.
Dans ce cas, pest le projecteur orthogonal sur Im(p), et on a Ker(p) = Im(p)⊥. Propriété 2
Preuve.
Exercice. Caractériser l’endomorphismef deR3canoniquement associé à la matriceA= 1 6
5 −2 1
−2 2 2
1 2 5
.
Rappel. Soit f ∈L(E). Un sous-espace F de E eststable par f si :
∀x∈F, f(x)∈F.
Soit f un endomorphisme symétrique, et soitF un sous-espace vectoriel deE stable parf. Alors F⊥ est également stable par f.
Propriété 3
Preuve.
2 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques
2.1 Réduction des endomorphismes symétriques
Soit f ∈ L(E) un endomorphisme symétrique. Alors les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.
Plus précisément : sie1, . . . , ep sont des vecteurs propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes, alors la famille (e1, . . . , ep) est orthogonale.
Propriété 4
Preuve.
Soitf ∈L(E) un endomorphisme symétrique. Alorsf est diagonalisable, à valeurs propres réelles, et il existe une base orthonormée deE formée de vecteurs propres def.
Théorème 5
Preuve. On admet quef est diagonalisable à valeurs propres réelles. Pour une preuve de ce résultat,
+
Complément 6. Réduction des endomorphismes symétriques.Montrons malgré tout les autres assertions de ce théorème.
2.2 Réduction des matrices symétriques réelles
Soit Aune matrice symétriqueréelle. AlorsA est diagonalisable, à valeurs propres réelles, et il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale réelle Dtelles que :
D=P−1AP = tP AP.
Théorème 6
Preuve.
Ce résultat est faux pour les matrices symétriques complexes. La matrice M = 1 i
i −1
!
est par exemple bien symétrique complexe. Mais elle n’est pas diagonalisable car on peut montrer qu’elle n’a qu’une seule valeur propreλ= 0 alors queM 6= 02. Il faudra donc bien spécifier à chaque utilisation de ce théorème que la matrice considérée est symétrique réelle.
Mise en garde.
Pour diagonaliser une matrice symétrique réelleAen base orthonormée, c’est-à-dire pour obtenir P une matrice orthogonale et D une matrice diagonale telles que D = tP AP, on procèdera comme suit :
(i) on sait qu’elle est diagonalisable car symétrique réelle ;
(ii) on détermine les valeurs propresλ1, . . . , λp (toutes réelles) de A (en utilisant un polynôme annulateur, la trace, ou le pivot de Gauss) ;
(iii) on détermine une base orthonorméeBide chacun des sous-espaces propresEλi(A)(éventuelle- ment à l’aide du procédé de Gram Schmidt) ;
(iv) la baseB=B1∪ · · · ∪Bp obtenue par concaténation des basesBi est une base orthonormée deMn,1(R) ;
(v) la matriceP de passage de la base canonique deMn,1(R)à la baseBest orthogonale. Donc P−1 = tP et on a :
tP AP = diag(λ1, . . . , λ1
| {z }
dim(Eλ1)
, . . . , λp, . . . , λp
| {z }
dim(Eλp)
).
Méthode. Diagonalisation en base orthonormée d’une matrice symétrique.
Exercice. Diagonaliser en base orthonormée la matriceA=
1 0 2
0 −1 0
2 0 1
.
3 Forme quadratique associée à une matrice symétrique
3.1 Définition Définition.
Soit A = (ai,j) ∈Mn(R) une matrice symétrique réelle. On appelle forme quadratique associée à A l’application qA de Rn dans Rdéfinie par :
∀x= (x1, . . . , xn)∈Rn, qA(x) = (x1 . . . xn)A
x1
...
xn
=
n
X
i=1 n
X
j=1
ai,jxixj.
Si X est la matrice de xdans la base canonique de Rn, on a qA(x) = tXAX.
Exemples. DéterminonsqA dans les cas suivants :
• A= λ1 0 0 λ2
! .
• A=
1 3 −1
3 2 0
−1 0 1
.
Remarques.
• Une forme quadratique est une combinaison linéaire de termes de la formex2i ouxixj : on parle de polynôme homogène de degré 2. En particulier, qA(x) ne contient pas de terme en xi, en xixjxk ou encore de terme constant.
• Une forme quadratique étant une fonction polynomiale, elle est de classe C1 surRn.
Attention, une forme quadratique n’est pas une application linéaire ! Pour toutx∈Rn etλ∈R, on a par exemple :
qA(λ·x) = t(λX)A(λX) =λtXA(λX) =λ2 tXAX=λ2qA(x). Mise en garde.
Remarque. Réciproquement, une fonction polynomialeqhomogène de degré 2 est une forme quadra- tique. En effet, s’il existe des réels (ai,j)(i,j)∈J1,nK2 tels que :
∀x= (x1, . . . , xn)∈Rn, q(x) =
n
X
i=1 n
X
j=1
ai,jxixj =
n
X
i=1
ai,ix2i + 2 X
1≤i<j≤n
ai,jxixj, alorsq est égale à la forme quadratiqueqA associée à la matriceA= (ai,j)(i,j)∈J1,nK2.
Ne pas oublier pour les coefficients non diagonaux que le terme enxixj est deux fois le coefficient ai,j.
Mise en garde.
Exercice. Déterminer la matrice symétriqueA∈M3(R) associée à la forme quadratique : q(x1, x2, x3) = 3x22−4x23+ 2x1x2−x2x3.
3.2 Signe d’une forme quadratique
SoitA∈Mn(R) une matrice symétrique réelle. Soit (X1, . . . , Xn) une base orthonormée de Mn,1(R) formée de vecteurs propres deAassociés à aux valeurs propres (réelles)λ1, . . . , λn. Alors on a :
A=Xn
i=1
λiXitXi. Propriété 7
Preuve.
Remarque. Soit A la matrice d’un projecteur orthogonalp dans une base orthonorméeB. Alors A est symétrique réelle (carpsymétrique) et Sp(A) ={0,1}. Si (X1, . . . , Xp) est une base orthonormale de E1(A) = Im(A) et (Xp+1, . . . , Xn) une base orthonormée deE0(A) = Ker(A), alors on a d’après la propriété précédente :
A=
n
X
i=1
λiXi tXi=
p
X
i=1
Xi tXi.
On retrouve ici un résultat obtenu dans leChapitre 16. Projection orthogonale.
SoitAune matrice symétrique réelle, etqAla forme quadratique associée. Pour toutx∈Rn, on a :
mkxk2 ≤qA(x)≤Mkxk2
où m (resp. M) est la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre deA. Corollaire 8
Preuve.
Soit A∈Mn(R) une matrice symétrique, et qA la forme quadratique associée.
• Sitoutesles valeurs propres deA sont positives (resp. négatives), alors :
∀x∈Rn, qA(x)≥0 (resp. qA(x)≤0).
On dit alors que qA est une forme quadratiquepositive (resp. négative).
• Sitoutesles valeurs propres deA sont strictement positives (resp. strictement néga- tives), alors :
∀x∈Rn\ {0n}, qA(x)>0 (resp. qA(x)<0).
On dit alors que qA est une forme quadratiquestrictement positive (resp. strictement négative).
• SiA possède des valeurs propres non nulles de signes contraires, alorsqAn’est pas de signe constant.
Théorème 9
Preuve.
La réciproque de ce résultat est vraie (comme nous le verrons en TD) : la connaissance du signe de qApermet de retrouver le signe des valeurs propres de A. Par exemple, on a :
qA est positive ⇔ Sp(A)⊂R+. Pour aller plus loin.
Pour étudier le signe d’une forme quadratique q associée à une matrice symétrique A, on peut selon les cas :
• soit écrire q(x) comme combinaison linéaire de carrés ;
• soit déterminer les valeurs propres de A et conclure grâce au théorème précédent.
Méthode. Signe d’une forme quadratique.
Exercice. Déterminer le signe de la forme quadratiqueq à la matriceA=
1 0 2
0 −1 0
2 0 1
.
Exercice. Déterminer le signe de la forme quadratique
q(x1, x2, x3) = 3x21+ 3x22+ 3x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3.
