Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2
Liste d’exercices no 8 (formes bilinéaires, formes quadratiques)
Exercice 1
Soit E = R2 . On considère (e1, e2) une base de E et on écrit tout élément x de E sous la forme x=x1e1+x2e2 . SoitB l’application de E×E dansR définie par
B(x, y) =x1y1−x1y2+x2y2−x2y1. 1. Montrer queB est une forme bilinéaire symétrique.
2. Déterminer la matrice associée àB dans la base(ei).
3. Soient les vecteurs 1 = e1+e2 , 2 = e1−e2. Montrer que (1, 2) est une base de E.
Déterminer l’expression de B(x, y) par rapport aux composantes dex ety dans la base(1, 2).
Exercice 2
On considèreE =R3 etB :E×E→R définie par
B(x, y) =x1y1+x2y3+x3y2. où x= (x1, x2, x3) ety= (y1, y2, y3) sont des éléments deE.
1. Montrer queB est bilinéaire et symétrique. Donner la matrice deB dans la base naturelle.
2. Quel est le rang deB?
3. Donner des vecteurs isotropes non nuls s’il en existe.
4. Trouver une baseBde E dans laquelle la matrice de B est diagonale.
Exercice 3
On considèreE =R4 etf la forme bilinéaire symétrique définie par f(x, y) =x1y1+x2y2+x3y3−x4y4 où x= (x1, x2, x3, x4) ety= (y1, y2, y3, y4) sont des éléments deE.
1. Quel est le rang def?
2. SoitF ={x∈E;x1 =x2 etx3 =x4}. Déterminer F⊥ etF∩F⊥. Que peut-on conclure pour F? La restriction de f àF est-elle dégénérée ?
Exercice 4
SoitV unR-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une base B= (e1, e2, e3). Soitq :V →R l’application définie par
q(x) =x21−x22+ 2x23+ 2x1x2−8x2x3−4x1x3 (x=
3
X
i=1
xiei).
1. Montrer que c’est une forme quadratique et déterminer la forme bilinéaire symétrique associée f.
2. Déterminer la matrice def dans la baseB.
3. La forme bilinéaire f est-elle dégénérée ? Déterminer son noyau. Quel est le rang deq? Exercice 5
On considèreE =R2 etq:E →Rdéfinie par
q(x) =x21−2x1x2 (x= (x1, x2)∈E).
1. Montrer que c’est une forme quadratique. Déterminer la matrice associée àq dans la base usuelle deR2. Déterminer le noyau et le rang deq.
2. Déterminer l’ensemble Cq des vecteurs isotropes de q. Montrer que ce n’est pas un sous- espace vectoriel de E. Faire un dessin de l’ensembleCq dansR2.
Exercice 6
Reprendre l’exercice précédent avecE=R3 etq :E→R définie par q(x) =x21+x22−x23 (x= (x1, x2, x3)∈E).
Exercice 7
Soitq l’application de R3 dansRdéfinie par
q(x) = (x1+x2+x3)2+ 3(x1−x2)2 (x= (x1, x2, x3)∈R3).
1-a. Montrer queq est une forme quadratique.
1-b. Déterminer la forme bilinéaire associée à q, notéef. 1-c. Déterminer le rang et le noyau def.
2. Pour tout λ ∈ R, on note Vλ le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs u = (1,0,−1) et vλ = (0,1, λ). Déterminer suivant les valeurs de λ l’orthogonal Vλ⊥ de Vλ pour f. Interpréter les résultats obtenus.
3. Soientl1, l2, l3 les formes linéaires de R3, définies par
l1(x1, x2, x3) =x1+x2+x3, l2(x1, x2, x3) =x1−x2, l3(x1, x2, x3) =−x3. 3-a. Montrer que(l1, l2, l3) est une base du dual de R3,
3-b. Déterminer les composantes dans la base canonique B de R3 de la base duale de (l1, l2, l3), notéeC.
3-c. Déterminer la matrice def dansC, notéeC. Déterminer une matriceP ∈GL3(R) telle que C=tP BP (oùB désigne la matrice de f dansB).
Exercice 8
Décomposer en carrés chacune des formes quadratiques Rn → R suivantes. Donner dans chaque cas le rang et la signature.
1. x21−3x1x2 (n= 2).
2. x21−x22+ 2x23+ 2x1x2−8x2x3−4x1x3 (n= 3).
3. (x2−x3)2+ (x3−x1)2+ (x1−x2)2 (n= 3).
4. x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 (n= 4).
5. x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4 (n= 4).
Exercice 9
Soit f une fonction positive continue sur [0,1] et soit A ∈ Mn+1(R) la matrice de terme général
aij = Z 1
0
e(i+j)tf(t)dt (0≤i, j≤n).
On note q la forme quadratique associée à A. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f pour que q soit définie positive.
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