DEVOIRLIBRE2 MATHÉMATIQUES
Devoir Libre 2 – Mathématiques
Exercice 1 : Bijection
On considère la fonction f définie pour tout x ∈ ]0, 1] par f (x) = e
(ln(x))2.
Montrer que f réalise une bijection de ]0, 1] sur un intervalle à expliciter et déterminer l’expression de f
−1.
Exercice 2 : Bijection
Soit f : x 7→ 2 x 1 − x
2.
Montrer que f réalise une bijection de ] − 1, 1[ sur R et déterminer sa bijection réciproque.
Indication : Exercice 2.5 page 34 du chapitre 2.
Exercice 3 : Partie entière
Montrer que : ∀ (x, y) ∈ R
2, b x c + b y c É b x + y c É b x c + b y c + 1.
Réponse
Soit (x, y) ∈ R
2.
Ï On sait que b x c É x et b y c É y.
D’où, en sommant les inégalités,
.... Donc, par croissance de la fonction partie entière,
¥
b x c + b y c
¦É b x + y c . Or, b x c + b y c ∈ Z , donc,
¥b x c + b y c
¦=
.... Donc,
...
.
Ï On sait que x <
...et y <
.... Donc, en sommant les inégalités, on a : x + y < b x c + b y c + 2.
De plus, b x + y c É x + y.
Donc, b x + y c <
....
Donc, comme b x + y c et b x c + b y c + 2 sont des entiers, b x + y c É
.... Donc,
...
.
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
