2° Déterminer une primitive F de f sur IR

Premiers exercices. Avec des primitives

1 On considère la fonction affine f définie sur IR par f(x) = 1 2 x + 2 . 1° Représenter graphiquement f. Déterminer ⌡⌠

–2

4 f(t) dt.

2° Déterminer une primitive F de f sur IR. Justifier que ⌡⌠ –2

4 f(t) dt = F(4) – F(-2) 2 Soit f une fonction affine définie sur IR par : f(x) = 2 x + 3 .

1° Déterminer une primitive F de f sur IR.

2° Soient a et b deux réels tels que a < b , f(a) ≥ 0 et f(b) ≥ 0. Justifier que ⌡⌠ a

b f(t) dt = F(b) – F(a).

3 Calculer chacune des intégrales suivantes : ⌡⌠ 0

3 (t + 4) dt : ⌡⌠ –1

1 (2 t2 - 1) dt :

⌡

⌠ 1

23 dt t

: ⌡⌠ 0

π sin x dx

Faire apparaître sur un dessin les aires représentées par chacune des intégrales.

4 Calculer les intégrales : ⌡⌠ 4

0 (4 x – x²) dx : ⌡⌠ 2

–1 3 x³ dx : ⌡⌠ 1

0 (2x + 3)(x2 + 3x - 5) dx : ⌡⌠ 2

11 t⁶ dt 5 Calculer les intégrales :

⌡

⌠ 0

1 x

x² + 1 dx :

⌡

⌠ 2

1/2

2 t – 1 + 1

t dt :

⌡

⌠ 2

3 1

(1 – x)³ dx 6 Calculer les intégrales :

⌡

⌠ –1

1 2 x + 1

(x² + x + 1)² dx :

⌡

⌠ 1

α x⁴ + x² + 1 x² dx : ⌡⌠

0

p sin² x dx 7 Calculer les intégrales suivantes : ⌡⌠

1 21

x dx : ⌡⌠ 3

2 1

2 x + 3 dx : ⌡⌠ –1

0 2 t

t² + 1 dt : ⌡⌠ 1

2 3 – x x² – 6 x + 1 dx 8 Calculer les intégrales :

⌡

⌠ 1

2 1

x² e^1/x dx :

⌡

⌠ –1

1 e^x + e^–x 2 dx :

⌡

⌠ –1

0 e^x e^x + 2 dx 29 Exemple de calcul d’intégrales

⌡⌠ 0

3 π/4

sin x cos² x dx :

⌡

⌠ –1

0 1

3 t – 1dt : ⌡⌠ –1

0 (x³ + 2 x – 1) dx : ⌡⌠ ln2

ln3 e^2x+1 dx : ⌡⌠ π/6

π/4

cos² x dx :

⌡⌠ 1

2 (x + 1) x + 1dx : ⌡⌠ e 2 lnx

x² dx ⌡⌠ 0

π (x + 2) sin x dx : ⌡⌠ –1

0 x² e^x dx : ⌡⌠ –1

1 x e^–x dx :

⌡⌠ –π/2 π/2

e^x cos x dx : ⌡⌠ π/2 π

(2 x – 1) sin x dx : ⌡⌠ –π/3

0 (x² + 1) cos 3 x dx : ⌡⌠ 0

π/4

x² sin 2 x dx 1 Notation : ⌡⌠

0

2 x dx ; ⌡⌠

0

2 t dx ; ⌡⌠

0 2 t dt 2 Avec des primitives :

⌡

⌠

–1

0 1

3 t – 1 dt ;

⌡

⌠

–π 3 π

3 sin 4 x dx ; ⌡⌠

–1

0 (x³ + 2 x – 1) dx ; ⌡⌠

ln 2

ln 3 e^2x+1 dx ;

⌡

⌠

3 5 e^x

e^x + 1 dx ;

⌡

⌠

1 e

e ln² x x dx ;

⌡

⌠

e e² 1

x ln x dx ; ⌡⌠

1 2

(x + 1) x + 1 dx ; ⌡⌠

0 π

3 tan x dx

Calcul de primitives f(x) = 4x²

(x³ +8)³ I = [0;+∞[ − 2

3(x² +8)² f(x) = x − 1

(3x + 1)² I = ]−1

3 ; +∞[ x²

2 + 1 3(3 x + 1) f(x) = 3

x

+ 1 I = [1 ;+∞[ x + 6 x f(x) = 2x³ + x² − 2x

x I = [1 ;+∞[ 4 x³ + 3 x² − 12 x 6

f(x) = 1 x − 1

I = ]−∞ ;1[ 2 x − 1 f(x) = 2

1 − x

I = ]−∞ ;1[ − 4 1 − x f(x) = 1

3x + 1

I = [0 ;2] 2 3 x + 1 3

f(x) = 3 4x − 1

I = [1 ;+∞[ 3 4 x − 1 2 f(x) = 2x

x²− 1

I = ]−∞ ;−1[ 2 x² − 1 f(x) = 2x+5 x² + 5x − 6

I = [2 ;5] 2 x² + 5 x − 6 f(x) = sin

^π₂ − 2x I = IR sin 2 x 2

f(x) = sin x cos x I = IR −cos² x 2 f(x) = 1

cos² x I =





0 ,π 4

tan x

f(x) = tan x + tan³ x I =





−π 4 , π

4

tan² x 2 f(x) = (sin² x − 3sin x + 8) cos x I = IR sin³ x

3 − sin² x

2 + 8 sin x f(x) = tan² x I =

^{0, π}

4

tan x − x