PanaMaths Octobre 2005
Déterminer la primitive F de :
( )
75
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f x = − x x + qui vérifie F ( ) 0 = 2 .
Analyse
La fonction f est un polynôme. On détermine dans un premier temps toutes ses primitives sur
\ puis on prend en compte la condition F
( )
0 =2 pour déterminer la primitive cherchée.Résolution
On intègre chaque terme de la fonction polynôme comme fonction puissance :
x6x7 admet 1 8
x68x comme primitive sur \. 5 3
x6− x admet 5 4
x6−4 x comme primitive sur \. 4
x6 admet x64x comme primitive sur \.
On en déduit que la fonction f admet la fonction 1 8 5 4
8 4 4
x6 x +− x + x comme primitive sur
\.
Finalement, les primitives de f sur \ sont de la forme :
8 4
1 5
8 4 4
x6 x +− x + x+k
où k est une constante réelle quelconque.
Nous cherchons la primitive F vérifiant : F
( )
0 =2.La fonction F étant de la forme ci-dessus, on a :
( )
0 1 08 5 04 4 08 4
F = × +− × + × + =k k. La condition F
( )
0 =2 équivaut donc à : k=2.PanaMaths Octobre 2005
La primitive F cherchée s’écrit donc :
8 4
1 5
: 4 2
8 4
F x6 x +− x + x+
Résultat final
La primitive F de la fonction f, définie sur \ par f x
( )
=x7−5x3+4 et vérifiant F( )
0 =2 est définie par :8 4
1 5
: 4 2
8 4
F x6 x +− x + x+
