Déterminer une primitive de la fonction g définie sur \ par :

PanaMaths Novembre 2005

Déterminer une primitive de la fonction g définie sur \ par :

( ) ( ² ) (

^{4 15} )

g x = − x − + x x −

Analyse

La fonction g est, à un facteur multiplicatif près, le produit de la puissance d’une fonction par sa dérivée …

Résolution

Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par :

: 2 4 15

u x6− +x x−

En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée 'u s’écrit :

: 2 4

u x6− +x Pour tout x réel, on peut écrire : ^{− + = −2x 4 2}

(

)

Il vient alors :

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 4

2 4

2 4

4

2 4 15

1 2 2 4 15

2

1 2 4 4 15

2 1 ' 2

g x x x x

x x x

x x x

u x u x

= − − + −

= × − − − + −

−

= − − + − + −

= −

.

Or, pour tout entier n différent de −1, la fonction u u' ⁿ admet la fonction 1 ¹ 1

un

n

+

+ comme

primitive. On en déduit que la fonction ^x6

(

) (

)

(

)

PanaMaths Novembre 2005

Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction h, il suffit de multiplier la fonction que nous venons d’obtenir par 1

−2 :

(

)

1 4 15

x6−10 − +x x−

Résultat final

Une primitive sur \ de la fonction g définie par ^{g x}

( ) (

) (

)

est la fonction définie par :

(

)

1 4 15

x6−10 − +x x−