PanaMaths Novembre 2005
Déterminer une primitive de la fonction h définie sur \ par :
( ) 11 6 ( 5 3 ) ( 2 5 12 )
h x = − x + x + − x
Analyse
La fonction h est, à un facteur multiplicatif près, le produit d’une fonction par sa dérivée …
Résolution
Considérons la fonction polynôme u définie sur \ par : : 3 2 5 12 u x6 x + x−
En tant que fonction polynôme, elle est dérivable sur \ et sa dérivée 'u s’écrit :
: 6 5
u x6 x+ Pour tout x réel, il vient alors : h x
( )
= −11 'u x u x( ) ( )
.Or, la fonction 'u u admet la fonction 1 2
2u comme primitive. On en déduit que la fonction
(
6 5 3) (
2 5 12)
x6 x+ x + x− admet comme primitive la fonction x612
(
3x2+5x−12)
2.Finalement, pour obtenir une primitive de la fonction h, il suffit de multiplier la fonction que nous venons d’obtenir par −11 :
(
2)
211 3 5 12
x6−2 x + x−
Résultat final
Une primitive sur \ de la fonction h définie par h x
( )
= −11 6(
x+5 3) (
x2+5x−12)
est la fonction définie par :
(
2)
211 3 5 12
x6−2 x + x−
