PanaMaths Janvier 2005
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur \
+*par : ( ) 5
313
27 56
2
x x x
f x
=x
− + − +
Analyse
En « découpant » la fonction f, qui est une fonction rationnelle, on fait apparaître des fonctions de référence …
Résolution
On a, sur \+* :
( )
5 3 13 2 7 56 5 2 13 7 282 2 2 2
x x x
f x x x
x x
− + − +
= = − + − + .
Ainsi, la fonction f est la somme d’une fonction polynôme ( 5 2 13 7
2 2 2
x6− x + x− ) et, à un facteur multiplicatif près de la fonction inverse.
L’intégration se fait alors en deux étapes :
• 5 2 13 7
2 2 2
x6− x + x− admet comme primitive sur \ : 5 3 13 2 7
6 4 2
x6− x + x − x ;
• 28
x6 x admet comme primitive sur \+* : x628 lnx.
La fonction 5 3 13 2 7 6 4 2 28ln
x6− x + x − x+ x est donc une primitive de f sur \+*.
Les primitives de la fonction f sur \+* sont donc les fonctions de la forme :
3 2
5 13 7
28 ln
6 4 2
x6− x + x − x+ x+k, où k∈\
PanaMaths Janvier 2005
Résultat final
Les primitive de la fonction f définie sur \+* par :
( )
5 3 13 2 7 562
x x x
f x x
− + − +
=
sont les fonctions définies par :
3 2
5 13 7
28 ln
6 4 2
x6− x + x − x+ x+k, où k∈\.
