Montrer que q est une forme quadratique et déterminer la fome bilinéaire symétrique qui lui est associée

Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2

Liste d’exercices n^o 8 bis (formes bilinéaires, formes quadratiques)

Exercice 1

Soitq:R2[X]→R définie parq(P) =P(0)²+P(1)².

1. Montrer que q est une forme quadratique et déterminer la fome bilinéaire symétrique qui lui est associée.

2. Quel est le nouau de q? Quel est son rang ? 3. Déterminer la signature de q.

Exercice 2

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n. Soit a ∈ E, a 6= 0. On munit E d’une forme quadratiqueq non dégénérée et on noteφ la forme bilinéaire symétrique associée àq. On définit Q:E→R définie parQ(x) =q(a)q(x)−φ(a, x)².

1. Montrer que Qest une forme quadratique et déterminer la fome bilinéaire symétrique qui lui est associée.

2. Q est-elle dégénérée ?

3. Déterminer le noyau de Q et son rang (on distinguera les casq(a) = 0 etq(a)6= 0).

Exercice 3

Soit q : R³ → R définie par q(x, y, z) = 2xy−3x²+ 2z². La forme quadratique q est-elle dégénérée ? Quelle est sa signature ?

Exercice 4

SoitE =M_n(R). On définit surE les applicationsq₁ etq₂ parq₁(A) = Tr(^tAA) etq₂(A) = Tr(A²).

1. Montrer que q₁ et q₂ sont deux formes quadratiques et déterminer les formes bilinéaires qui leur sont associées ?

2. Déterminer leurs noyaux respectifs. Sont-elles dégénérées ? 3. Calculer les signatures de q1 etq2.

Exercice 5

Soitq:R⁶→Rdéfinie par q(x) =x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1. La forme quadratique q est-elle dégénérée ? Déterminer sa signature.

Exercice 6

SoientE=M2(R) etq:E →Rdéfinie par q(A) = detA.

1. Montrer que q est une forme quadratique.

2. Déterminer son cône isotrope.

3. Quel est le rang deq? Sa signature ?

4. On pose F ={A∈E; Tr(A) = 0}. Montrer que F est un sous-espace de E. Quelle est sa dimension ?

5. Déterminer F^⊥. A-t-on E =F⊕F^⊥? Exercice 7

SoitE =R_n[X]oùn≥2. On pose φ(P, Q) =R1

0 P⁰(t)Q⁰(t)dt.

1. Montrer que φ est bilinéaire symétrique et que la forme quadratique q associée à φ est positive.

2. Déterminer le cône isotrope C_q de q.

3. Montrer que Kerφ=C_q. En déduire le rang deφet la signature de q.

4. Soit f :E →Rdéfinie par f(P) =R1

0 P⁰(t)dt. Montrer que f ∈E^∗.

5. On pose Q(P) =q(P)−f(P)². Montrer que Qest une forme quadratique surE.

6. Montrer que Q(P) =R1

0(P⁰t()−f(P))²dt. En déduire la signature de Q.

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