(1) On suppose que λ = 1 n’est pas valeur propre de Q de sorte que la matrice A=I−Q est inversible

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2009-2010

Licence LM 335 2nd semestre

Examen juin 2010 dur´ee : 2 heures

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Exercice 1

Pour N entier, on consid`ere la matrice tridiagonale

A_N =















2 −1

−1 2 −1 . .. ... ...

−1 2 −1

−1 2













 .

1. Calculer la factorisation de Cholesky de la matrice A₄. 2. Calculer la factorisation de Cholesky de la matrice A_N.

Exercice 2 Soit Q∈ Mn(R) une matrice unitaire r´eelle (QQ^T =I o`uI est la matrice identit´e deR<sup>n</sup>,n ∈N<sup>∗</sup>) etb ∈R<sup>n</sup>. On poseA=I−Qet consid`ere le syst`eme lin´eaire

Ax=b. (1)

On suppose que λ = 1 n’est pas valeur propre de Q de sorte que la matrice A=I−Q est inversible.

1. Quelques propri´et´es de la matrice Q.

(a) On pose

H =i(I−Q)⁻¹(I+Q)

aveci² =−1. Montrer queH est une matrice hermitienne (H^∗ = H^T =H). Calculer Q en fonction deH.

(b) On sait qu’il existe une base orthonorm´ee (v_j)ⁿ_j=1deCⁿ form´ee de vecteurs propres de H

Hv_j =µ_jv_j, hv_j, v_ii=δ_ij, 1≤i, j ≤n.

i. Montrer que µj ∈R.

1

ii. Calculer les vecteurs propres et valeurs propres deQ en fonc- tion de ceux deH. Montrer que les valeurs propres de Q ont toutes un module ´egal `a 1.

iii. Montrer que si λ = e^iθ (θ ∈ R) est une valeur propre de Q, alors µ = e^−iθ est aussi valeur propre de Q pour un vecteur propre que l’on pr´ecisera.

iv. Montrer que n est impair, alors −1 est valeur propre de Q.

2. On d´ecompose A enA=M −N avec

M = (1 +α)I, N =αI+Q et consid`ere la m´ethode it´erative

x_k+1 = 1

1 +α(b+αx_k+Qx_k). (2) (a) Montrer que pourα= 0 la m´ethode n’est pas convergente.

(b) Montrer que la m´ethode est convergente pour toutα >0.

Exercice 3

Soient A et B deux matrices r´eelles, A ∈ M_m,n(R) et B ∈ M_m,p(R). On note b_i les colonnes de B.

1. On suppose que la matrice A est injective. Montrer qu’il existe un unique vecteur y_i ∈Rⁿ tel que

A^TAy_i =A^Tb_i.

2. On d´esigne par Y ∈ M_n,p(R) la matrice dont les colonnes sont les vecteurs y1,· · · , yp. Montrer que

kAY −Bk_S = min

X∈M_n,p(R) kAX−Bk_S,

o`u k.k_S d´esigne la norme de Schur (ou de Frobenius, ou de Hilbert- Schmidt).

Exercice 4

Soient A une matrice r´eelle carr´ee (de taillen×n, n∈N^∗) inversible et b un vecteur de Rⁿ. On note f la fonction de Rⁿ dans R d´efinie par

f(x) =kAx−bk²₂.

1. (a) Montrer que la fonction f(x) atteint son minimum en un unique vecteur ˜x∈Rⁿ.

2

(b) Montrer que le gradient def est

∇f(x) = 2A^T (Ax−b).

(c) Soientαun nombre r´eel etxetydeux vecteurs deRⁿ, d´eterminer le vecteur z tel que

f(x−αy) = f(x)−2αhz, yi+α²kAyk²₂.

2. (a) Soit x ∈ Rⁿ diff´erent de ˜x. D´eterminer un r´eel α^∗ tel que pour tout r´eel α∈]0, α^∗[ :

f(x−α∇f(x))< f(x).

(b) En d´eduire une m´ethode it´erative de r´esolution du syst`eme lin´eaire Ax=b (on ne demande pas d’en d´emontrer la convergence).

(c) Pourα >0, on consid`ere la m´ethode it´erative suivante :

• Initialisation.

• x⁽⁰⁾ ∈Rⁿ, r⁽⁰⁾ =b−Ax⁽⁰⁾

• It´erations.

Connaissant x^(k) etr^(k), on calcule x^(k+1) et r^(k+1) par

• x^(k+1) =x^(k)+ 2αA^Tr^(k)

• r^(k+1) =b−Ax^(k+1)

i. Montrer que si la suite (x^(k))_k converge, sa limite est la solu- tion du syst`eme lin´eaire Ax=b.

ii. Quel rapport cette m´ethode a-t-elle avec la fonctionf? iii. Calculer un ´equivalent (pourngrand) du nombre d’op´erations

(on ne comptera que les multiplications et divisions) n´ecessaires pour accomplir une it´eration de cette m´ethode.

3. Soitx un vecteur fix´e diff´erent de ˜x.

(a) Montrer que la fonctiong :R7−→R, d´efinie par g(α) =f(x−α∇f(x)) atteint son minimum pour

αopt = 1 2

k∇f(x)k²₂ kA∇f(x)k²₂. (b) On consid`ere une nouvelle m´ethode it´erative :

• Initialisation.

• x⁽⁰⁾ ∈Rⁿ, r⁽⁰⁾ =b−Ax⁽⁰⁾, v⁽⁰⁾ =A^Tr⁽⁰⁾ , α⁽⁰⁾ = _kAv^kv(0)₍₀₎^k_k²²2 2

(on suppose queAv⁽⁰⁾ 6= 0).

• It´erations.

Connaissant x^(k), r^(k),v^(k) etα^(k),

on calcule x^(k+1), r^(k+1), v^(k+1) et α^(k+1) par

• x^(k+1) =x^(k)+α^(k)v^(k)

• r^(k+1) =b−Ax^(k+1)

• v^(k+1) =A^Tr^(k+1)

• α^(k+1) = _kAv^kv(k+1)_(k+1)^k_k²²2 2

(tant que Av^(k+1) 6= 0)

3

Calculer un ´equivalent (pour n grand) du nombre d’op´erations n´ecessaires pour accomplir une it´eration de cette m´ethode. Com- parer avec le r´esultat obtenu pour la m´ethode de la question (2c).

(c) On consid`ere encore une autre m´ethode it´erative :

• Initialisation.

• x⁽⁰⁾ ∈ Rⁿ, r⁽⁰⁾ = b − Ax⁽⁰⁾, v⁽⁰⁾ = A^Tr⁽⁰⁾, w⁽⁰⁾ = Av⁽⁰⁾, α⁽⁰⁾ = _kw^kv(0)(0)^kk²²²₂ (on suppose que w⁽⁰⁾ 6= 0).

• It´erations.

Connaissant x^(k), r^(k),v^(k), w^(k) et α^(k),

on calcule x^(k+1), r^(k+1), v^(k+1), w^(k+1) etα^(k+1) par

• x^(k+1) =x^(k)+α^(k)v^(k)

• r^(k+1) =r^(k)−α^(k)w^(k)

• v^(k+1) =A^Tr^(k+1)

• w^(k+1) =Av^(k+1)

• α^(k+1) = _kw^kv(k+1)_(k+1)^k_k²²2 2

(tant que w^(k+1) 6= 0) Calculer un ´equivalent (pour n grand) du nombre d’op´erations n´ecessaires pour accomplir une it´eration de cette m´ethode. Com- parer avec le r´esultat obtenu pour la m´ethode de la question (3b).

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