Le r´esultat s’applique aussi bien au groupe SLn(q) qu’`a la forme tordue SUn(q)

128, 2000, p. 309–345.

OP´ERATEUR DE TORSION DANS SLn(q) ET SUn(q)

PARC´edricBONNAF´E (*)

RESUM ´^´ E. — Nous calculons l’op´erateur de torsion dans tous les groupes r´eductifs finis de type A lorsque l’endomorphisme de Frobenius agit trivialement sur le le groupe des composantes du centre. Le r´esultat s’applique aussi bien au groupe SLn(q) qu’`a la forme tordue SUn(q).

ABSTRACT. — TWISTING OPERATORS INSLn(q)ANDSUn(q). — We compute the twisting operator in every finite reductive group of typeA, provided that the Frobenius endomorphism acts trivially on the group of components of the center. Our result applies as well in the group SLn(q) as in the twisted form SUn(q).

Soit G un groupe r´eductif d´efini sur un corps `a q ´el´ements Fq de car- act´eristique p et soit F : G → G l’endomorphisme de Frobenius correspon- dant. Dans le but de param´etrer les caract`eres (ordinaires) du groupe finiG^F, G. Lusztig a introduit des combinaisons lin´eaires particuli`eres (et explicites) des caract`eres irr´eductibles de G^F, appel´es depuiscaract`eres fantˆomes(ou almost charactersen anglais). Ces caract`eres fantˆomes forment une base orthonormale de l’espace Cent(G^F) des fonctions centrales sur G^F et calculer la table de caract`eres de G<sup>F</sup> se ram`ene au calcul des valeurs des caract`eres fantˆomes en les ´el´ements de G<sup>F</sup>. Les calculs sur des petits exemples montrent que la table des caract`eres fantˆomes a une structure beaucoup plus simple que la table des caract`eres ordinaires. Dans une s´erie d’articles (cf.[L2] et [L3]), Lusztig a ´elabor´e la th´eorie des faisceaux-caract`erespour essayer de comprendre ce ph´enom`ene.

Une des r´ealisations de cette th´eorie est la construction d’une nouvelle base or- thonormale de l’espace vectoriel Cent(G^F), dont les ´el´ements, appel´esfonctions

(*) Texte re¸cu le 19 janvier 1999, accept´e le 25 mai 1999.

C. BONNAF ´E, D´epartement de Math´ematiques, Universit´e de Franche-Comt´e, 16 route de Gray, 25000 Besan¸con. Cet article a ´et´e ´ecrit alors que l’auteur ´etait instructeur `a l’Universit´e de Chicago (Illinois, USA). Email : bonnafe@math.univ-fcomte.fr.

Classification AMS : 20 G 05, 20 G 04.

Mots cl´es : groupes r´eductifs, corps finis, caract`eres.

BULLETIN DE LA SOCI ´ET ´E MATH ´EMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/2000/309/$ 5.00 c Soci´et´e math´ematique de France

caract´eristiquesde faisceaux-caract`eres, sont param´etr´es par le mˆeme ensemble que celui qui param`etre les caract`eres fantˆomes. Lusztig a conjectur´e que ces deux bases co¨ıncident, `a multiplication pr`es par certaines racines de l’unit´e, et a donn´e un algorithme permettant de calculer les fonctions caract´eristiques des faisceaux-caract`eres.

La preuve de cette conjecture en g´en´eral constituerait une ´etape importante dans la connaissance de la table de caract`eres de G<sup>F</sup>. Un progr`es consid´erable a ´et´e fait par T. Shoji qui a prouv´e cette conjecture lorsque le centre de G est connexe en supposant seulement que pest presque bon (cf.[Sh2]) :il a mˆeme calcul´e explicitement les racines de l’unit´e invoqu´ees ci-dessus.

Une des cons´equences de la conjecture de Lusztig est que les caract`eres fantˆomes sont des vecteurs propres pour l’op´erateur de torsion Sh^G_F/F (cf.§2.1 pour la d´efinition de l’op´erateur de torsion Sh^G_F/F :Cent(G^F) → Cent(G^F)).

Dans [A], T. Asai a ´etudi´e l’op´erateur de torsion lorsque Gest un sous-groupe de Levi rationnel d’un sous-groupe parabolique non n´ecessairement rationnel du groupe sp´ecial lin´eaire SL_n muni de son endomorphisme de Frobenius d´eploy´e naturel. Cependant, le r´esultat obtenu [A, th. 4.5.2], `a savoir le calcul explicite de l’op´erateur de torsion, ne s’appliquait que lorsqueq≡1 mod (ppcm(1,2, . . . , n)) et malheureusement, la preuve d’Asai ´etait fausse. Dans cet article, nous reprenons quelques id´ees d’Asai et donnons une preuve (que l’on esp`ere cor- recte) de ce r´esultat dans le cas o`u q ≡1 mod n. Mieux, nous g´en´eralisons ce r´esultat au cas de tous les groupes de type A (c’est-`a-dire si toutes les com- posantes irr´eductibles du syst`eme de racines deGsont de typeA). Il est `a noter que la d´efinition de groupe de typeAci-dessus ne fait pas intervenir la structure rationnelle deG. En particulier, le r´esultat que l’on obtient s’applique aussi bien au groupe sp´ecial lin´eaire qu’au groupe sp´ecial unitaire.

Plus pr´ecis´ement, si G est de type A, nous montrons essentiellement deux r´esultats sur l’op´erateur de torsion. Le premier est que l’op´erateur de torsion stabilise l’espace engendr´e par les caract`eres irr´eductibles de G^F appartenant

`

a une mˆeme s´erie de Lusztig g´eom´etrique, ceci sans aucune hypoth`ese sur q (cf.corollaire 4.3.5). Le deuxi`eme est le calcul explicite de l’op´erateur de torsion lorsque F agit trivialement sur le groupe des composantes du centre de G (si G^F = SLn(Fq), cette hypoth`ese est ´equivalente `a q ≡ 1 mod n) :nous prouvons qu’alors les caract`eres fantˆomes sont des vecteurs propres pour Sh<sup>G</sup><sub>F/F</sub> et nous calculons explicitement les valeurs propres associ´ees (cf.th´eor`eme 5.5.4).

Nous utilisons pour cela deux ingr´edients essentiels. Le premier est la notion de fonction absolument cuspidale (cf.§4.2 pour la d´efinition) :l’espace des fonctions absolument cuspidales a ´et´e d´etermin´e dans les groupes de type A dans [B2, cor. 6.2.2] et, `a partir de ce r´esultat, il est possible de d´eduire que l’op´erateur de torsion stabilise l’espace engendr´e par les caract`eres irr´eductibles deG^F appartenant `a une mˆeme s´erie de Lusztig g´eom´etrique. Le deuxi`eme est

la notion de caract`ere de Gel’fand-Graev g´en´eralis´e. Ces caract`eres permettent, dans les groupes de typeA, de param´etrer les caract`eres irr´eductibles deG^F. De plus, il est facile de calculer leur image par l’op´erateur de torsion (cf.prop. 2.2.5).

Une r´ecurrence portant sur les classes unipotentes deGpermet alors de conclure.

Cet argument n’est pas nouveau. Il est `a l’œuvre dans l’article de Shoji [Sh3]

dans lequel est calcul´ee la descente de Shintani Sh^G_Fm/F dans le groupe sp´ecial lin´eaire lorsquem est suffisamment divisible. Ici, nous nous int´eressons au cas extrˆeme oppos´e, c’est-`a-dire m = 1, et reprenons quelques id´ees de Shoji. Le casm= 1 ´etant plutˆot plus facile, nous parvenons `a mener l’argument jusqu’au bout, mˆeme dans le cas du groupe sp´ecial unitaire.

Nous concluons cet article en montrant que, toujours sous l’hypoth`ese queG est de type A, les fonctions caract´eristiques de faisceaux-caract`eres cuspidaux sont ´egales, `a une racine de l’unit´e pr`es, aux caract`eres fantˆomes absolument cuspidaux correspondants :c’est une premi`ere ´etape dans le but de prouver la conjecture de Lusztig pour ce type de groupes.

Cet article est organis´e comme suit. Dans les trois premi`eres parties, aucune hypoth`ese n’est faite sur le groupeG. Dans la premi`ere, nous nous int´eressons au groupe des composantes du centre de G. Il n’est (presque) pas exag´er´e de dire que, dans le cas des groupes de type A, toutes les difficult´es ont une interpr´etation en termes de ce groupe ab´elien fini. Dans la deuxi`eme, nous rappelons la d´efinition de l’op´erateur de torsion Sh^G_F/F et calculons son action sur des caract`eres obtenus par induction `a partir du radical unipotent d’un sous-groupe parabolique rationnel de G. Dans la troisi`eme, nous rappelons quelques propri´et´es des caract`eres de Gel’fand-Graev ordinaires, qui sont des cas particuliers de caract`eres mentionn´es ci-dessus. Dans les trois derni`eres parties, nous nous int´eressons aux groupes de typeA. Le but de la quatri`eme partie est de montrer que l’op´erateur de torsion stabilise l’espace vectoriel engendr´e par les caract`eres irr´eductibles de G^F appartenant `a une s´erie de Lusztig g´eom´etrique (cf.corollaire 4.3.5). La cinqui`eme partie est consacr´ee `a l’´enonc´e et `a la preuve du th´eor`eme principal de cette article (cf.th´eor`eme 5.5.4), `a savoir la description de l’op´erateur de torsion. Dans la derni`ere partie, nous nous int´eressons aux faisceaux-caract`eres cuspidaux F-stables sur le groupeG.

Ce n’est qu’au cours de la preuve du th´eor`eme 5.5.4 que nous avons besoin de supposer queF agit trivialement sur le groupe des composantes du centre deG.

Tous les autres r´esultats de cet article sont affranchis de cette hypoth`ese.

REMERCIEMENTS. — L’auteur tient `a remercier particuli`erement Jean Michel pour avoir ´et´e `a l’origine de ce travail, pour en avoir suivi attentivement l’´evolution, et pour avoir lu scrupuleusement une premi`ere version de cet article.

Notations

0.1. — Soitpun nombre premier et soit F une clˆoture alg´ebrique du corps fini `ap´el´ementsFp. On fixe une puissanceqdepet on noteraFq le sous-corps de F `a q ´el´ements. Toutes les vari´et´es et tous les groupes alg´ebriques seront consid´er´es surF.

On se fixe d’autre part un nombre premier diff´erent de pet on noteraQ

une clˆoture alg´ebrique du corps -adique Q. On choisit un automorphisme de corpsQ→Q,x→xtel que ζ=ζ⁻¹ pour toute racine de l’unit´eζdansQ.

0.2. — SiH est un groupe fini, on notera IrrH l’ensemble des caract`eres irr´e- ductibles deH(surQ) et Cent(H) leQ-espace vectoriel des fonctions centrales H →Q. SoitH<sup>∧</sup>le groupe ab´elien des caract`eres lin´eairesH →Q×

(siH est ab´elien, on a H^∧ = IrrH). On appellera H-module un QH-module `a gauche de dimension finie. Si K est un autre groupe fini, on appellera H-module-K unQ-espace vectoriel de dimension finie muni d’une structure de bimodule,H agissant `a gauche etK`a droite. Siϕ:H→K est un morphisme de groupes, on noteraϕ:K^∧→H^∧ le morphisme de groupes ab´eliens induit par ϕ. Siη et η sont deux fonctions centrales surH, on notera

η, ηH= 1

|H|

h∈H

η(h)η(h).

Alors,H est un produit scalaire sur Cent(H) pour lequel IrrH est une base orthonormale. L’ensemble des classes de conjugaison de H sera not´e Conj(H).

Sig∈H, on notera [g] ou [g]H sa classe de conjugaison dansH.

SiH est de plus ab´elien et siϕ:H →H est un automorphisme du groupeH, on posera :

M(H, ϕ) =H¹(ϕ, H)×(H^ϕ)^∧, M^∨(H, ϕ) =H^ϕ×H¹(ϕ, H)^∧,

o`u H<sup>1</sup>(ϕ, H) = H/{ϕ(h)h<sup>−1</sup> | h ∈ H} est le premier groupe de cohomologie du groupe cyclique ϕ `a coefficients dans H. Si (α, ξ) ∈ M(H, ϕ) et (a, ζ) ∈ M^∨(H, ϕ), on pose :

(α, ξ),(a, ζ)

=ζ(α)ξ(a)

|H^ϕ| · Remarquons que|H^ϕ|=|H¹(ϕ, H)|.

0.3. — SiH est un groupe alg´ebrique, on notera H⁰sa composante neutre.

Si h ∈ H, on notera (h) ou (h)H la classe de conjugaison de h sous H et C_H⁰ (h) la composante neutre de son centralisateur dans H. On posera

AH(h) = CH(h)/C_H⁰ (h). Si H est de plus d´efini sur Fq et si F : H → H d´esigne l’endomorphisme de Frobenius correspondant, on notera

εH = (−1)^Fq-rang deH et ηH = (−1)^Fq-rang semi-simple deH.

D’autre part, on noteraH¹(F,H) l’ensemble des classes de F-conjugaison de H (on rappelle que deux ´el´ements h et h de H sont dits F-conjugu´es si il existe x ∈ H tel que h = x⁻¹hF(x)). Le th´eor`eme de Lang montre que H¹(F,H) = H¹(F,H/H⁰). Pour finir, on notera Z(H) et D(H) le centre et le groupe d´eriv´e de Hrespectivement.

0.4. — Dans toute la suite, on se fixe un groupe alg´ebrique r´eductif connexeG, d´efini sur Fq. On noteraF :G→G l’endomorphisme de Frobenius correspon- dant. On noteraZle centre deG. D’apr`es [DL, 1.21], il existe un groupe r´eductif connexe G, d´ efini sur Fq (on notera encore F : G → G l’endomorphisme de Frobenius correspondant `a cetteFq-structure), contenantGcomme sous-groupe ferm´eF-stable et v´erifiant les propri´et´es suivantes :

1)Gcontient le groupe d´eriv´e de G, 2) Le centreZ deG est connexe.

Il r´esulte des propri´et´es 1) et 2) que G est un sous-groupe distingu´e de G, queG/G est ab´elien, queZ=G∩Z et queG =G·Z.

Siz∈Z^F et siγ∈Cent(G^F), on posera t^G_zγ:G^F −→Q,

g−→γ(zg).

Alorst^G_z γ est une fonction centrale sur G^F et l’application t^G_z :Cent(G^F)→ Cent(G^F) est une isom´etrie. D’autre part, il est facile de v´erifier que

t^G_z ◦t^G_z =t^G_zz

pour touszet z dansZ^F. L’applicationz→t^G_z d´efinit donc une action deZ^F par isom´etries sur Cent(G^F).

SoitB0 un sous-groupe de BorelF-stable deG et soit T0 un tore maximal F-stable deB0. On noteU0 le radical unipotent deB0 et on pose

B0=B0∩G, T0=T0∩G.

Soit (G^∗,T^∗₀, F^∗) (resp. (G^∗,T₀^∗, F^∗)) un triplet dual de (G, T0, F) (resp.

(G,T0, F)). L’injection canonique i : G → G induit un morphisme surjectif

de groupes i^∗ : G^∗ → G^∗, d´efini sur Fq et tel que i^∗(T^∗₀) = T₀^∗. Le noyau de i^∗ est connexe :c’est un tore central de G^∗ dual de G/G. En particulier, l’applicationG^∗F∗→G^∗F∗ induite pari^∗ est surjective d’apr`es le th´eor`eme de Lang. On posera

A^∗= Keri^∗∩D(G^∗).

Soita∈(Keri^∗)^F∗. Alorsainduit un caract`ere lin´eaire deG^F/G^F par dualit´e.

Ce caract`ere est trivial surZ^F si et seulement sia∈A^∗F∗ (cf.[DLM, 3.12.1]).

On a donc un isomorphisme de groupes ab´eliens finis ωG,F :A^∗F∗ −−→^∼ (G^F/G^F·Z^F)^∧.

Sisest un ´el´ement semi-simple deG^∗F∗, on noteraE(G^F,[s]) (resp.E(G^F,(s))) la s´erie de Lusztig rationnelle (resp. g´eom´etrique) associ´ee `a s. On noteraφ<sub>s</sub>le caract`ere lin´eaire deZ^F tel que

t^G_zγ=φs(z)γ pour tousz∈G^F et γ∈ E(G^F,[s]).

0.5. — Pour finir, on fixe un troisi`eme groupe r´eductif connexeGd´efini surFq. On notera encoreF :G → G le morphisme de Frobenius. Soit π:G →G un morphisme de groupes alg´ebriques d´efini surFq et tel que

1) Kerπest central dansG;

2) π(G) contient le groupe d´ eriv´e deG.

On noteZ le centre de G. Les propri´ et´es 1) et 2) ci-dessus montrent que Z = π⁻¹(Z) et G = π(G) ·Z⁰. On pose B0 = π⁻¹(B0) et T0 = π⁻¹(T0) et on note (G^∗,T^∗₀, F^∗) un triplet dual de (G, T0, F). L’application π induit un morphisme de groupes alg´ebriquesπ^∗ : G^∗ →G^∗, d´efini sur Fq et tel que π^∗−1(T^∗₀) =T₀^∗.

1. Quelques propri´et´es du groupe Z/Z⁰

1.1. Cuspidalit´e. — SoitL un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe para- bolique deG. Le morphisme injectif de groupesZ→Z(L) induit un morphisme surjectif

hL:Z/Z⁰−→Z(L)/Z(L)⁰

(cf.[DLM, lemme 1.4]). Le but de ce paragraphe est d’´etudier quelques propri´et´es du morphisme hL. S’il y a ambigu¨ıt´e possible, on notera h^G_L le morphisme de

groupeshL. Soit ˆL =π⁻¹(L). Alors ˆL est un sous-groupe de Levi d’un sous- groupe parabolique deG. Le diagramme suivant

(1.1.1)

1−→ Kerh^πL¹ˆ −−→ Z/Z^π0Z−−−−→^hLˆ Z( ˆL)/Z( ˆ^πZ(L)L)⁰ −→1

1−→ KerhL −−→ Z/Z⁰ −−−−→^hL Z(L)/Z(L)⁰ −→1

est commutatif et les lignes de ce diagramme sont des suites exactes (les applicationsπ₁,π_Z etπ_Z(L) sont induites parπ).

PROPOSITION1.1.2. —Les applications π₁, π_Z etπ_Z(L) sont surjectives.

D´emonstration. — Montrons tout d’abord la surjectivit´e deπ₁. Soitz un ´el´e- ment deZ dont la classe dansZ/Z⁰appartienne au noyau dehL. Cela signifie que z ∈ Z(L)⁰. Mais π(Z( ˆL)⁰)·Z⁰ = Z(L)⁰; donc il existe ˆz ∈ Z( ˆL)⁰ et z⁰ ∈Z⁰ tels queπ(ˆz) =zz⁰. En particulier, ˆz∈Z et la classe de ˆz dansZ/ Z⁰ appartient `a Kerh_Lˆ. Cela montre la surjectivit´e deπ₁.

La surjectivit´e de π_Z d´ecoule de celle deπ₁ :il suffit de supposer queL est un tore maximal de G. La surjectivit´e deπ_Z(L) d´ecoule aussi de celle deπ_Z : il suffit de supposer queG=L.

Un caract`ere lin´eaireζ deZ/Z⁰ est ditcuspidal si Kerh_LKerζ pour tout sous-groupe de LeviLd’un sous-groupe parabolique propre deG. On notera :

• (Z/Z⁰)^∧_cusl’ensemble des caract`eres lin´eaires cuspidaux deZ/Z⁰;

• H¹(F,Z)^∧_cusl’ensemble des caract`eres lin´eaires cuspidauxF-stables deZ/Z<sup>0</sup>. PROPOSITION1.1.3. —Soitζun caract`ere lin´eaire deZ/Z⁰et soitζˆ=ζ◦πZ. Alorsζ est cuspidal si et seulement siζˆl’est.

Preuve. — Cela r´esulte imm´ediatement de la commutativit´e du diagram- me (1.1.1) et de la proposition 1.1.2.

COROLLAIRE1.1.4. —Si(Z/Z⁰)^∧_cusest non vide,alors toutes les composantes irr´eductibles du syst`eme de racines de Gsont de typeA.

Preuve. — D’apr`es la proposition 1.1.3, on peut supposer que G est semi- simple simplement connexe. On ´ecritG=G1×· · ·×Gro`urest un entier naturel non nul et G1, . . . ,Grsont des groupes semi-simples simplement connexes dont le syst`eme de racines est irr´eductible. On noteZi le centre de Gi (1≤i≤r).

Alors Z = Z1× · · · ×Zr donc il existe des caract`eres lin´eaires ζ1, . . . , ζr de Z1, . . . ,Zrrespectivement tels que ζ=ζ1⊗ · · · ⊗ζr.

Si L est un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique de G, alors il existe des sous-groupes de Levi L₁, . . . ,L_r de sous-groupes paraboliques de G₁, . . . ,G_r respectivement tels queL=L₁× · · · ×L_r. Alors

Kerh^G_L = Kerh^G_L¹

1 × · · · ×Kerh^G_L^r

r

et donc ζ est cuspidal si et seulement si ζ₁, . . . , ζ_r le sont. Pour montrer le corollaire 1.1.4, on peut donc supposer que G est semi-simple simplement connexe et quasi-simple. Un examen au cas par cas montre que, siGn’est pas de typeA, alors il existe un sous-groupe de LeviLd’un sous-groupe parabolique propre deGtel que Kerh_L={1}. Cela termine la d´emonstration.

On dira que le groupeGestde typeAsi toutes les composantes irr´eductibles de son syst`eme de racines sont de typeA.

1.2. Syst`emes locaux cuspidaux sur la classe unipotente r´eguli`ere. — On note Creg ouC_reg^G la classe de conjugaison des ´el´ements unipotents r´eguliers deG. On fixe une fois pour toutes un ´el´ement unipotent r´egulieru1∈C_reg^F . On suppose queu1∈U₀^F. Alors

(1.2.1) AG(u1) =Z/Z⁰×AU0(u1).

REMARQUE. — Si p est bon pour G, alors le groupe CU0(u1) est connexe (cf.[Sp, 4.11]). Dans ce cas,AG(u1)Z/Z⁰.

Le groupe AG(u1) est ab´elien d’apr`es [Sp, 4.11] et [Lou]. Siζ est un carac- t`ere lin´eaire de Z/Z⁰, on notera ζ1 le caract`ere lin´eaire ζ⊗1 de AG(u1). La proposition suivante est bien connue et justifie la terminologiecuspidalpour les caract`eres lin´eaires de Z/Z⁰. Nous en rappelons la d´emonstration pour la commodit´e du lecteur.

PROPOSITION 1.2.2. — Soit ζ un caract`ere lin´eaire de Z/Z⁰. Alors ζ est cuspidal si et seulement si la paire(u1, ζ1)est cuspidale au sens de[L2, intro.].

Preuve. — Soit L un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique P deGet soitvun ´el´ement unipotent deL. On noteUP le radical unipotent deP. Comme dans [L2, intro.], on pose

Y_u1,v=

g∈G; g⁻¹u₁g∈vU_P

/C_L⁰(v)U_P.

Puisqueu1 est r´egulier, il va ˆetre facile de d´eterminer la vari´et´eYu1,v.

SoitgC_L⁰(v)UP ∈Yu₁,v et soientB1 etB2 deux sous-groupes de Borel deL contenant v. Alors B1UP et B2UP sont deux sous-groupes de Borel de G

contenantg⁻¹u1g, donc ils sont ´egaux caru1est r´egulier. DoncB1=B2, ce qui montre quev est r´egulier dansL. Donc si la vari´et´eY_u1,v est non vide, alors v est r´egulier.

R´eciproquement, supposonsv r´egulier. On d´eduit des r´esultats classiques sur les unipotents r´eguliers que Yu₁,v est non vide (cf.[St1, lemme 3.2 et th. 3.3]).

On peut donc supposer que u1 ∈ vUP. Soit gC_L⁰(v)UP ∈ Yu₁,v et soit B1

le sous-groupe de Borel de L contenant v. Alors ^g(B1UP) et B1UP sont deux sous-groupes de Borel de G contenant u1, donc ils sont ´egaux, donc g ∈ B1UP. En particulier g ∈ P. La condition g⁻¹u1g ∈ vUP implique alors queg∈CL(v)UP. Cela montre queYu₁,v=AL(v). Le groupeAG(u1) agit sur AL(v) par translation `a gauche. La repr´esentation par permutation deAG(u1) associ´ee `aAL(v) contient le caract`ere lin´eaireζ1si et seulement si KerhL⊂Kerζ.

Cela d´emontre la proposition 1.2.2.

L’ensemble des classes d’isomorphismes de syst`emes locaux G-´equivariant irr´eductibles surCreg est en bijection avecAG(u1)<sup>∧</sup>:siζ∈(Z/Z<sup>0</sup>)<sup>∧</sup>, on notera Lζ le syst`eme local G-´equivariant surCreg associ´e `aζ1. Le syst`eme localLζ est F-stable (c’est-`a-dire isomorphe `aF^∗Lζ) si et seulement si le caract`ere lin´eaireζ est F-stable. Pour finir, la paire (Creg,Lζ) est cuspidale au sens de [L2, d´ef. 2.4]

si et seulement siζest cuspidal d’apr`es la proposition 1.2.2.

1.3. Centralisateurs d’´el´ements semi-simples. — D’apr`es [A, 2.3], on a un isomorphisme de groupes

σG,F :G^F/G^F.Z^F −→H¹(F,Z)^∧.

Si n est un entier naturel tel que Fⁿ et F^∗n agissent trivialement sur Z/Z⁰ etA^∗ respectivement, alorsσG,Fⁿ◦ωG,Fⁿ est un isomorphisme de groupes

(1.3.1) ω:A^∗−→(Z/Z⁰)^∧

qui commute avec l’action des morphismes de FrobeniusF etF^∗.

On fixe un ´el´ement semi-simple s ∈ G^∗F∗. Alors il existe un ´el´ement semi- simple ˜sdansG^∗F∗ tel quei^∗(˜s) =s. On consid`ere l’application

CG^∗(s)−→A^∗,

g−→˜g˜s˜g⁻¹s˜⁻¹= [˜g,˜s]

o`u, pour tout g ∈ C_G∗(s), ˜g d´esigne un ´el´ement de G^∗ tel que i^∗(˜g) = g.

Puisque A^∗ est central, cette application ne d´epend pas du choix de ˜s et ˜g et c’est un morphisme de groupes. Le noyau de ce morphisme est i^∗(C^G∗(˜s)).

Puisque C^G∗(˜s) est connexe (cf.par exemple [DL, cor. 5.24]), on a, d’apr`es [DM3, prop. 2.3], i^∗(C^G∗(˜s)) = C_G⁰∗(s). Par cons´equent, ce morphisme induit un morphisme injectif

ω_s:A_G∗(s)−→A^∗

qui, par composition avec l’isomorphismeω induit un morphisme injectif ωs:AG^∗(s)−→(Z/Z⁰)^∧

qui commute aux actions de F et F^∗. En particulier,AG^∗(s) est ab´elien et ωs

induit cinq autres morphismes de groupes

(1.3.2)



















ω_s⁰:AG∗(s)^F∗ −→H¹(F,Z)^∧, ω_s¹:H¹

F^∗, AG^∗(s)

−→(Z^F/Z^◦F)^∧,

ωs:Z/Z⁰−→AG^∗(s)^∧,

ω_s⁰:H¹(F,Z)−→

AG∗(s)^F∗∧

,

ω_s¹:Z^F/Z^◦F −→H¹

F^∗, AG^∗(s)∧

.

Le morphismeω_s⁰ est injectif et les morphismes ω_s et ω_s⁰ sont surjectifs. S’il y a risque d’ambigu¨ıt´e, on noteraω_G,s le morphisme ω_set similairement pour les autres.

On rappelle le lemme suivant (cf.par exemple [A, lemme 1.2.1]) : LEMME1.3.3. —Via ωs, on a un isomorphisme

AG∗(s)

z∈A^∗|˜setsz˜ sont conjugu´es dansG^∗

z∈Keri^∗|s˜etsz˜ sont conjugu´es dansG^∗

Si α ∈ H¹(F^∗, AG∗(s)), on notera gα un ´el´ement de G^∗ tel que g⁻_α¹F(gα) appartienne `a CG∗(s) et repr´esenteα. Alorssα=gαsg<sub>α</sub><sup>−1</sup> est un ´el´ement semi- simple deG<sup>∗F∗</sup> g´eom´etriquement conjugu´e `as. D’apr`es le th´eor`eme de Lang, les sα(α∈H¹(F^∗, AG^∗(s)) forment un syst`eme de repr´esentants de l’ensemble des classes de conjugaison rationnelles contenues dans (s)^F∗. Par cons´equent, on a

E

G^F,(s)

=

α∈H¹(F^∗,A_G∗(s))

E

G^F,[sα] .

D’autre part, le groupe CG^∗(sα) est isomorphe `a CG<sup>∗</sup>(s) muni de l’endomor- phisme de Frobenius ˙αF<sup>∗</sup>, o`u ˙α d´esigne la classe de g_α⁻¹F(gα) dans AG^∗(s).

Puisque AG^∗(s) est ab´elien, on peut identifier AG^∗(s) et AG^∗(sα) car les morphismes de FrobeniusF^∗ et ˙αF^∗ co¨ıncident surAG^∗(s). Le lemme suivant est d´emontr´e lorsqueF agit trivialement surZ/Z⁰ dans [A, lemme 2.4.1, (ii)].

Le cas g´en´eral se d´emontre exactement de la mˆeme mani`ere.

LEMME1.3.4. —Soit α∈H¹(F^∗, AG^∗(s)). Alorsφsα=φsω¹_s(α).

1.4. Cuspidalit´e et ´el´ements semi-simples. — On reprend les notations du paragraphe pr´ec´edent.

DEFINITION^´ 1.4.1.

• L’´el´ement semi-simple s est dit g´eom´etriquement cuspidal (dans G^∗) si il existe un ´el´ementa ∈A_G∗(s) tel que ω_s(a) soit un caract`ere lin´eaire cuspidal deZ/Z⁰.

• L’´el´ement semi-simple s est dit rationnellement cuspidal (dans G^∗) s’il existe un ´el´ementa∈AG∗(s)^F∗ tel queω_s⁰(a) soit un caract`ere lin´eaire cuspidal deH¹(F,Z).

Si s est rationnellement cuspidal, alors il est g´eom´etriquement cuspidal. De plus, il r´esulte du corollaire 1.1.4 que :

PROPOSITION1.4.2. —SiG^∗ contient un ´el´ement g´eom´etriquement cuspidal, alorsG est de typeA.

SoitLun sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique deGet soitL^∗ un sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique deG^∗ dual deL. SiLest F-stable, on choisit L^∗ rationnel et de sorte que (L^∗, F^∗) soit dual de (L, F).

Supposons que s ∈ L^∗. Le morphisme AL^∗(s) −→ AG^∗(s) est injectif et le diagramme suivant

(1.4.3)

A_L∗(s) −−−−−−−−→ A_G∗(s)

ωL,s



^ωG,s Z(L)/Z(L)⁰∧ ˆhL

−−−−→ (Z/Z⁰)^∧

est commutatif. De plus tous les morphismes de ce diagramme sont injectifs et, siLestF-stable, ils commutent aux actions deF etF^∗. La proposition suivante r´esulte imm´ediatement de la commutativit´e de ce diagramme.

PROPOSITION1.4.4. —Supposonssg´eom´etriquement cuspidal. Alors pour tout sous-groupe de LeviL^∗ d’un sous-groupe parabolique deG^∗tel ques∈L^∗,on a

|AL^∗(s)|<|AG^∗(s)|ou,de mani`ere ´equivalente,le morphismeAL^∗(s)→AG^∗(s) n’est pas surjectif.

Si s est rationnellement cuspidal, alors, pour tout sous-groupe de Levi ra- tionnelL^∗d’un sous-groupe parabolique deG^∗tel ques∈L^∗,on a|AL^∗(s)^F∗|<

|A_G∗(s)^F∗| ou, de mani`ere ´equivalente, le morphisme A_L∗(s)^F∗ → A_G∗(s)^F∗ n’est pas surjectif.

COROLLAIRE 1.4.5. — Un ´el´ement semi-simple g´eom´etriquement ou ra- tionnellement cuspidal est r´egulier.

Preuve. — Voir [B2, lemme 3.2.9].

REMARQUE. — La d´efinition 1.4.1 diff`ere de la d´efinition d’´el´ement semi- simple cuspidal donn´ee dans [B2, d´ef. 3.2.8]. La proposition 1.4.4 montre qu’un

´el´ement g´eom´etriquement cuspidal (resp. rationnellement cuspidal) au sens de la d´efinition 1.4.1 est cuspidal au sens de [B2, d´ef. 3.2.8].

On pose ˆs=π^∗(s). D’apr`es [DM3, prop. 2.3], on a π^∗

C_G⁰∗(s)

=C^G0∗(ˆs)·Z(G^∗)⁰. Cela implique que le morphisme

π^∗_s:A_G∗(s)−→A^G∗(ˆs)

induit parπ^∗ est injectif. De plus, le diagramme suivant est commutatif :

(1.4.6)

AG^∗(s) ^π

∗

−−−−→s A^G∗(ˆs)



 (Z/Z⁰)^∧ −−−−→^πZ (Z/ Z⁰)^∧.

Dans ce diagramme, toutes les applications sont injectives et commutent `a l’action de F et F^∗. Mieux, si on identifie tous les groupes de ce diagramme

`

a des sous-groupes de (Z/ Z⁰)^∧, on a

(1.4.7) AG∗(s) =A^G∗(ˆs)∩(Z/Z⁰)^∧

(cf.lemme 1.3.3). La proposition 1.1.3 et la commutativit´e du diagramme (1.4.6) impliquent la proposition suivante :

PROPOSITION 1.4.8. — Si s est g´eom´etriquement (resp. rationnellement) cuspidal dansG^∗ alors ˆs est g´eom´etriquement(resp. rationnellement) cuspidal dansG^∗.

PROPOSITION1.4.9. — Soit s un ´el´ement g´eom´etriquement cuspidal de G^∗. Alorsωs:AG∗(s)→(Z/Z⁰)^∧ est un isomorphisme.

Preuve. — D’apr`es 1.4.7 et la proposition 1.4.8, on peut supposer queG est semi-simple simplement connexe. Par produit, on peut aussi supposer que G est quasi-simple. Puisque G est n´ecessairement de type A (cf.prop. 1.4.2), on peut supposer queG= SLn(F) pour un entier naturel non nuln. En particulier, G^∗= PGLn(F).

Dans la preuve de [B2, lemme 3.2.10], il est prouv´e qu’alors, n´ecessairement, p ne divise pas n et s est conjugu´e `a l’image dans G<sup>∗</sup> de la matrice diag(1, ζ, . . . , ζ<sup>n−1</sup>) o`u ζ est une racine primitive n-i`eme de l’unit´e. Le groupe AG^∗(s) est alors cyclique d’ordren, ce qui montre le r´esultat.

1.5. Action deH¹(F,Z)sur IrrG^F. — On rappelle que l’on a un isomor- phisme de groupes

σ_G:G^F/G^F·Z^F −→H¹(F,Z)

d´efini de la mani`ere suivante (cf.[A, 2.3]). Si ˜g ∈G^F, alors il existe g∈ G et

˜

z∈Ztels que ˜g=gz. Puisque˜ F(˜g) = ˜g, on ag⁻¹F(g) = ˜zF(˜z)⁻¹∈G∩Z =Z.

L’image parσG de la classe de ˜gdansG^F/G^F·Z^F est alors ´egale `a la classe de g⁻¹F(g) dansH¹(F,Z). Le groupeG^F/G^F·Z^F agit sur IrrG^F par conjugaison donc, viaσG, le groupeH¹(F,Z) agit sur IrrG^F. On peut ´etendre cette action par lin´earit´e auQ-espace vectoriel Cent(G^F). Sic∈H¹(F,Z), on notera ˜gc un

´el´ement deG^F dont l’image par le morphisme compos´eG^F →G^F/G^F·Z^F → H¹(F,Z) est ´egale `ac. On pose alors

τ_c^Gγ=γ◦(int ˜gc)⁻¹

pour toute fonction centrale γ sur G^F. L’application τ_c^G :Cent(G^F) → Cent(G^F) est une isom´etrie qui permute l’ensemble des caract`eres irr´eductibles deG^F. De plus

τ_c^G◦τ_d^G =τ_cd^G pour tousc etddansH¹(F,Z).

1.6. Sous-groupes de Levi. — Soit L un sous-groupe de Levi rationnel d’un sous-groupe parabolique P de G. Le morphisme surjectif hL induit un morphisme surjectif de groupes hL : H¹(F,Z) → H¹(F,Z(L)). S’il y a ambigu¨ıt´e, on noterah^G_L le morphisme hL.

On a un isomorphisme

σL:L^F/L^F.Z(L) ^F −→H¹

F,Z(L) .

D’autre part, le morphisme de groupes canoniqueL^F →G^F induit un isomor- phisme

σ^G_L :L^F/L^F.Z^F −→H¹(F,Z).

Cela signifie que, lorsque cela sera n´ecessaire, on pourra supposer que ˜g_c ∈L^F pour toutc∈H¹(F,Z). Par suite, le diagramme

G^F/G^F.Z^F

σ_G

∼



L^F/L^F.Z^F

−∼

−

−

−

− −−−−→H¹(F,Z)



^hL L^F/L^F.Z(L) ^F −−−−→^σL H¹(F,Z(L))

σ^G_L

est commutatif.

2. Op´erateur de torsion

2.1. D´efinition. — Soitg ∈G^F. Par le th´eor`eme de Lang, il existex∈G tel quex⁻¹F(x) =g. Alors g =F(x)x⁻¹ ∈G^F et il est facile de v´erifier que l’application

(2.1.1) N_F/F^G :Conj(G^F)−→Conj(G^F), [g]−→[g]

est bien d´efinie et bijective. En particulier, elle induit une isom´etrie (2.1.2) Sh^G_F/F :Cent(G^F)−→Cent(G^F),

η −→η◦N_F/F^G

appel´eeop´erateur de torsion:la convention choisie ici diff`ere l´eg`erement de celles de [D], [Sh1], [Sh2] ou [Sh3]. D’autre part, cet op´erateur est souvent not´e t^∗₁ (cf.[A], [Sh1] ou [Sh2]). Par contre, cette convention est la mˆeme que celle de Digne et Michel dans [DM1]. Le lecteur pourra d’ailleurs se r´ef´erer `a [DM1] pour les propri´et´es classiques de l’op´erateur de torsion Sh^G_F/F.

Si g∈G^F et sig ∈N_F/F^G ([g]), on fera souvent l’abus de notation suivant : g =N_F/F^G (g).

Si c∈H¹(F,Z), alors

(2.1.3) τ_c^G◦Sh^G_F/F = Sh^G_F/F◦τ_c^G.

Cela r´esulte du fait queτ_c^G est induit par un automorphisme deGd´efini surFq. 2.2. Op´erateur de torsion et action deH¹(F,Z). — Siz∈Z, on notera

¯

zla classe dezdansH¹(F,Z). Il est possible, dans certains cas particuliers, de calculer l’image d’un ´el´ement deG^F parN_F/F^G :

LEMME2.2.1. —Soit g un ´el´ement de G^F tel que g∈C_G⁰(g)et soit z∈Z^F. Alors

N_F/F^G (zg) = ˜g_z¯(zg)˜g⁻_¯z¹.

Preuve. — D’apr`es le th´eor`eme de Lang, il existex ∈G et ˜z ∈Z tels que z=x⁻¹F(x) = ˜z⁻¹F(˜z). On pose ˜g=x˜z⁻¹. Alors ˜g∈G^F et on peut supposer que ˜g= ˜gz¯. Puisqueg∈C_G⁰(g), il existe, toujours d’apr`es le th´eor`eme de Lang, un ´el´ementy∈C_G⁰(g) tel queg=y⁻¹F(y). On a alors

zg=zy⁻¹F(y) =y⁻¹zF(y) = (xy)⁻¹F(xy) donc

N_F/F^G (zg) =F(xy)y⁻¹x⁻¹ =F(x)y

y⁻¹F(y) y⁻¹x⁻¹

=xx⁻¹F(x)gx⁻¹= ˜g(zg)˜g⁻¹,

la troisi`eme ´egalit´e r´esultant du fait quey etg=y⁻¹F(y) commutent.

REMARQUE. — Comme cas particulier (et trivial) du lemme 2.2.1 pr´ec´edent, on a queN_F/F^G (g) =g pour tout ´el´ementg∈G^F tel queg∈C_G⁰(g).

COROLLAIRE 2.2.2. — Supposons que le nombre premier p est bon pour G.

Soit uun ´el´ement unipotent deG^F et soit z∈Z^F. Alors N_F/F^G (zu) = ˜gz¯(zu)˜g_z⁻_¯¹.

Preuve. — En effet, sipest bon pourGet siuest un ´el´ement unipotent deG, alorsu∈C_G⁰(u) (cf.[SpSt, 3.15]) et il suffit d’appliquer le lemme 2.2.1.

SoitP un sous-groupe paraboliqueF-stable de G et soitL un sous-groupe de LeviF-stable deP. On pose

P =P ∩G, L=L∩G.

AlorsP est un sous-groupe paraboliqueF-stable deGetL est un sous-groupe de LeviF-stable de P. On note U le radical unipotent deP et on note λ un caract`ere deU^F. On pose alors

Γ^G_λ = Ind^G_U^FF λ.

Pour tout caract`ere lin´eaireφ:Z^F →Q

×, on pose Γ^G_φ,λ= Ind^G_ZF^F×U^F(φ⊗λ).

Si (z, ζ)∈ M^∨(Z/Z⁰, F), on pose (2.2.3) Γ^G_φ,λ,(z,ζ)=

(c,ξ)∈M(Z/Z⁰,F)

(z, ζ),(c, ξ)

τ_c^GΓ^G_φξ,λ.

Il est facile de v´erifier que, pour tout (c, ξ)∈ M(Z/Z⁰, F), on a (2.2.4) τ_c^GΓ^G_φξ,λ=

(z,ζ)∈M^∨(Z/Z⁰,F)

(z, ζ),(c, ξ) Γ^G_φ,λ,(z,ζ).

PROPOSITION 2.2.5. — Supposons que p est bon pour G. Soit (z, ζ) ∈ M^∨(Z/Z⁰, F). Alors

Sh^G_F/FΓ^G_φ,λ,(z,ζ)=ζ(¯z)⁻¹Γ^G_φ,λ,(z,ζ).