Quelques polynˆomes caract´eristiques 6

(1)

QUELQUES POINTS D’ALGÈBRE (LINÉAIRE) par Daniel Ferrand, et avec relecture par Michel Coste (Février 2008)

. . . le langage et les m´ethodes des K[X]-modules de type fini ne sont pas v´eritablement compris.

(Rapport du jury, 1997, p. 132)

1. Modules

2. LeK[T]-module associé à un endomorphisme 3. Le lemme des noyaux et des quotients 4. Endomorphismes semi-simples 5. Quelques polynômes caractéristiques 6. Commutant

1. Modules

SiAest un anneau, une structure de A-module sur un groupe abélienM consiste en une application A×M →M, qui sera notée (a, x)7→a.x, vérifiant les propriétés 1 à 4 suivantes :

1. ∀a∈A, ∀x∈M, ∀y∈M, a.(x+y) =a.x+a.y.

L’applicationx7→a.xrespecte donc la loi de groupe de M; autrement dit, cette structure est la donn´ee d’une application

ρ:A−→End(M).

2. ∀a∈A, ∀b∈A, ∀x∈M, (a+b).x=a.x+b.x.

Autrement dit, `a la somme dansA, l’applicationρfait correspondre la somme d’endomorphismes : ρ(a+b) =ρ(a) +ρ(b).

3. ∀a∈A, ∀b∈A, ∀x∈M, (ab).x=a.(b.x).

Autrement dit, au produit dansA, ρfait correspondre la composition des endomorphismes :ρ(ab) = ρ(a)◦ρ(b).

4. ∀x∈M, 1.x=x.

Ou encore :ρ(1) = IdM.

Bref, une structure de A-module sur le groupe ab´elien M est exactement un morphisme d’anneaux (unitaires)

ρ:A−→End(M).

Pour unA-moduleM et un idéalI ⊂A, on noteIM le sous-module de M formé des sommes finies Paixi, avecai∈I etxi∈M; lorsqueI est monogène, c’est-à-dire siI=aA, alorsIM =aM.

SiIM = 0, c’est-`a-dire si ax= 0 pour tout a∈I et toutx∈M, alors on a I⊂Ker(ρ), de sorte que ρse factorise en

A−→A/I−→End(M);

(2)

autrement dit, M est unA/I-module.

Lorsque A = K est un corps (commutatif), une structure de K-module n’est rien d’autre qu’une structure deK-espace vectoriel.

Rappelons qu’uneK-algèbre est un anneauA muni d’un morphisme d’anneaux unitairesα:K→A tel que α(K) soit dans le centre de A; commeK est un corps, un tel morphisme est injectif dès que A est non nul (c’est-à-dire dès que 1A6= 0A), et permet donc d’identifierKau sous-corpsα(K)⊂A; si A et B sont des K-algèbres, un morphisme de K-algèbres f :A→B est un morphisme d’anneaux qui est l’identité sur le sous-corps K.

SoientMunK-espace vectoriel, etAuneK-algèbre. Lorsqu’on considèrera une structure deA-module surM, il sera toujours sous-entendu qu’elle prolongera sa structure d’espace vectoriel, ce qui s’écrit :

∀λ∈K, ∀x∈M, λ.x=λx.

En vertu de la propriété 3, le fait que λ soit dans le centre de A implique que pour tout a ∈ A, on a a.(λx) = (aλ).x= (λa).x=λ(a.x) ; autrement dit, que ρ(a) estK-linéaire. En notant EndK(M)⊂ End(M) la K-algèbre des endomorphismes K-linéaires deM, on supposera donc toujours que ρest un morphismedeK-algèbres :

ρ:A−→EndK(M).

2. Le K[T]-module associ´e `a un endomorphisme

Dans toute la suite K d´esigne un corps et V un K-espace vectoriel de dimension finie.

On va d´evelopper l’id´ee suivante :

La donnée d’une application K-linéaire u : V →V équivaut à la donnée d’une structure de K[T]- module sur V.

Nous d´esignerons souvent paru.xl’image u(x) dexparu.

A un endomorphisme` u∈EndK(V) est associ´e un unique morphisme de K-alg`ebres ρ:K[T]−→End_K(V),

caractérisé par la condition :ρ(T) =u. L’image parρdu polynômep(T) =a0+a1T+· · ·+anTⁿ ∈K[T] est donc l’endomorphismep(u) =a0IdV +a1u+· · ·anuⁿ (Il faut peut-être insister sur le fait queu⁰est l’application identique de V, et que pourn≥1,uⁿ est len-ième itéré deu). L’image du produit pq de deux polynômes est le composé des endomorphismes ; cela s’écrit

(pq)(u) =p(u)◦q(u).

La structure deK[T]-module surV peut aussi ˆetre d´ecrite par l’application K[T]×V −→V, (p(T), x)7→p(u).x.

Lorsqu’on munitV de cette structure deK[T]-module associ´ee `au, on le noteVu, et on parle simplement dumodule Vu.

L’image du morphismeρest notée parK[u]⊂EndK(V) ; c’est la sous-K-algèbre de EndK(V) engendrée paru, c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes deV qui s’expriment comme des polynômes enu.

Voici quelques traductions de notions liées àuen les notions équivalentes dans le langage des modules :

(3)

2.1 Sous-espace stable

«W est un sous-module deVu» signifie :«W est un sous-espace vectoriel deV, stable sousu».

2.2 Annulateur

Pour un polynôme p∈K[T], les propriétés suivantes sont équivalentes : -p(T) annuleVu;

- pour toutx∈V, p(u).x= 0 ; -p(u) = 0 ;

- le morphismeρ:K[T]−→EndK(V) passe au quotient et se factorise parK[T]/(p)−→EndK(V) ; -Vuest unK[T]/(p) -module.

Lorsque p(T) = T −λ, cette condition signifie que pour tout x ∈ V, u(x) = λx; noter qu’alors K[T]/(p) est isomorphe `aK, et que, justement, l’isomorphisme est celui qui envoieT surλ(encore un exemple o`u dire que deux objets sont isomorphes sans donner l’isomorphisme, fait perdre toute l’infor- mation importante).

A` un polynˆomeq, on peut associerdeux modules annul´es parq : - Le sous-espace Ker(q(u)).

- Le quotientV /q(u)V, où on noteq(u)V le sous-espace formé des élémentsq(u).xpourxparcourant V ; c’est le sous-espace image Im(q(u)) de l’endomorphismeq(u) ; comme ce sous-espace est stable pour u, l’endomorphismeupasse au quotient et définit un endomorphisme deV /q(u)V, lequel endomorphisme est annulé parq.

Dans certains cas, les deux modules Ker(q(u)) et V /q(u)V sont isomorphes (voir plus bas le lemme des noyaux).

2.3 Polynˆome minimal

CommeV est de dimension finie, le noyau du morphismeρ:K[T]−→EndK(V), c’est-à-dire l’annulateur du module Vu, est un idéal principal qui est non nul puisque EndK(V) est de dimension finie sur K, et pasK[T] ; il est donc engendré par un unique polynôme unitaire, nommé lepolynôme minimal de u, et notéµu, ouπu, et ici plus simplementm; l’espaceVu est donc unK[T]/(m)-module. Par définition dem, le morphisme

K[T]/(m)−→EndK(V) est injectif, de sorte qu’on obtient un isomorphisme deK-alg`ebres

K[T]/(m) −→g K[u].

Supposons que le polynôme minimalmsoit irréductible dansK[T], de sorte que le quotientL=K[T]/(m) soit un corps ;Vudoit être alors vu comme unL-espace vectoriel, et, par exemple, les sous-espaces stables sousu sont exactement les sous-L-espaces vectoriels.

2.4 Sous-espace cyclique

«Vu est un module monogène» signifie : «il existe x ∈ V tel que pour tout y ∈ V il existe un polynôme p∈K[T] tel que y=p(u).x», c’est-à-dire : «il existex∈V tel que l’espace vectorielV soit engendré par la famille{x, u.x, u².x, . . .}».

Si m désigne le polynôme minimal de u, ceci équivaut aussi à : il existe x ∈ V tel que l’application K[T]→V définie parp(T)7→p(u).x, passe au quotient et donne unisomorphisme deK[T]/(m)-modules

2.4.1 ϕx:K[T]/(m) −→g Vu.

(4)

2.4.2 Proposition SiVuest cyclique l’ensemble de ses sous-espaces stables est fini. R´eciproquement, si cet ensemble est fini et si le corps K est infini, alorsVu est cyclique.

PosonsA =K[T]/(m), choisissons un générateurx∈ V, comme ci-dessus, et considérons l’isomorphisme 2.4.1 ϕx:A −→g Vu

Les sous-espaces u-stables de V correspondent via ϕx aux sous-espaces de A stables sous le produit par un quelconque polynôme, c’est-à-dire aux idéaux de l’anneau A. Comme A est le quotient de K[T] par l’idéal engendré parm, les idéaux deAcorrespondent bijectivement à ceux deK[T] qui contiennent m, c’est-à-dire finalement auxdiviseurs unitairesdem, puisqueK[T] est principal. Ils sont en nombre fini.

R´eciproquement, supposons que l’ensemble des sous-espacesu-stables deV soit fini, et soientW1, . . . , Ws

ceux qui sont distincts de V. Comme K est infini (il suffirait que K contienne plus deséléments, voir Gourdon p. 110), la réunion de ces sous-espaces est distincte deV. Considérons alors un élémentxdeV qui ne soit dans aucun de ces Wi. Le sous-espace Im(ϕx) = Axest stable et n’est contenu dans aucun desWi. C’est doncV.¤

2.4.3 Supposons toujours que V_u soit cyclique, de générateurx. Notons t la classe de T dans A = K[T]/(m), de sorte que les éléments deAsont de la formep(t) ; l’application 2.4.1 s’écrit alors

ϕx(p(t)) =p(u).x.

Soitv:V →V un endomorphismeK-lin´eaire ; commeϕx est surjective, il existe un polynˆome p(T) tel quev.x=p(u).x. Montrons que siv commute avecu, alors, pour touty∈V, on av.y=p(u).y, c’est-

à-dire v =p(u) : en effet, la surjectivité de ϕx implique que tout élémenty est de la forme y =q(u).x; on a donc

v.y = vq(u).x ^vu=uv= q(u)v.x = q(u)p(u).x ^qp=pq= p(u)q(u).x= p(u).y.

Ainsi, lorsque V est cyclique pour u, le sous-anneau de EndK(V) formé des endomorphismes qui commutent avecu(ce qu’on nommera plus bas lecommutant) est formé des polynômes enu. Noter que la réciproque est vraie : si le commutant de uest formé des polynômes enu, alorsV est cyclique pouru.

Mais ceci est un th´eor`eme ! (voir §6)

3. Le lemme des noyaux et des quotients

DansK[T], soitq=q1q2. . . qsla décomposition d’un polynômeqen produit de polynômesqipremiers entre eux deux à deux. Le théorème chinois indique un isomorphisme d’anneaux

K[T]/(q) −→g K[T]/(q1)×. . . ×K[T]/(qs).

On all`egera l’´ecriture de cet isomorphisme en :

3.1 A f→ A1×. . .× As.

Soitu: V → V un endomorphisme tel que q(u) = 0 de sorte que V est unA-module. Le classique

«lemme des noyaux» ´enonce que tout A-module se d´ecompose en une somme directe de Ai-modules.

Plus pr´ecisement, l’application canonique

3.2 M

i

Ker(qi(u)) −→g V, est un isomorphisme.

(5)

Il faut voir le théorème chinois et le lemme des noyaux comme deux faces de la même propriété. Voici comment.

En consid´erant les ensembles d’applications A-lin´eaires de chacun des membres de 3.1 dans V, on obtient un isomorphisme

3.3 HomA(A, V) f← HomA(A1, V)⊕ · · · ⊕HomA(As, V).

Or, une application α:A →V, si elle estA-linéaire est entièrement déterminée par α(1) =x, puisque α(a) =aα(1) =a.x. Par suite l’application HomA(A, V) → V, α7→α(1), est un isomorphisme.

On constate tout aussi simplement qu’une application A-linéaire α : Ai = K[T]/(qi) → V est déterminée par l’élémentα(1)∈V, soumis à la seule condition d’être annuléqi(u) ; on a donc un isomorphisme

HomA(K[T]/(qi), V) f→ Ker(qi(u)), ce qui s’´ecrit aussi

HomA(Ai, V) f→ Ker(qi(u)).

Ainsi, l’isomorphisme 3.2 est-il une réécriture de 3.3, et ce dernier est une conséquence théorème chinois 3.1.

Après les noyaux, il convient de considérer les images, et les quotients, et d’appliquer le théorème chinois directement àV.

En effet, comme les polynômesqi(T) sont deux à deux premiers entre eux, la relation de Bézout montre que les sous-espaces Im(qi(u)) = qi(u)V sont deux à deux étrangers, au sens suivant : pouri 6=j, on a qi(u)V +qj(u)V =V; le théorème chinois implique que l’application

V −→ V /q1(u)V ⊕ · · · ⊕ V /qs(u)V est surjective.

On pourrait vérifier directement que le noyau de cette application, c’est-à-dire ∩iqi(u)V est égal à q(u)V = 0, et donc que c’est un isomorphisme, mais on va plutôt le déduire d’une remarque importante parce qu’elle relie entre eux ces différents points de vue.

On va montrer en effet que pour chaquei, l’application compos´ee

(^?) Ker(qi(u)) ⊂ V −→ V /qi(u)V

est un isomorphisme.

Fixons donc un indicei; les polynômespi=q/qietqisont premiers entre eux ; il existe donc, d’après Bézout, des polynômes ri, si∈K[T] tels que

3.4 1 = ri(T)pi(T) +si(T)qi(T).

Ainsi, pour toutx∈V, on a

x = ri(u)pi(u).x+si(u)qi(u).x.

Soit x =qi(u).y un élément de qi(u)V ; comme pi(u)qi(u) = q(u) = 0, on ax = si(u)qi(u).x; si on a, de plus, x∈ Ker(qi(u)), alors x= 0 ; ainsi, Ker(qi(u))∩qi(u)V = 0, et cela entraˆıne l’injectivité de l’application composée (*) ; la formule du rang montre que l’on a même une décomposition en somme directe

V = Ker(qi(u))⊕Im(qi(u)).

(6)

Cela montre la surjectivit´e de l’application (*).

L’égalité de Bézout 3.4 a une autre conséquence : posons εi(T) = ri(T)pi(T) ; ce polynôme vérifie les congruences suivantes

εi ≡ 0 mod. qj, pourj6=i, et εi ≡ 1 mod. qi.

(La première congruence vient de ce que qj divise pi lorsque j 6=i). On en déduit immédiatement les relations :P

iεi≡1 mod.qetqiεi≡0 mod.q. Par suite, dans le lemme des noyaux, l’´egalit´e X

i

εi(u).x = x

pr´ecise l’isomorphisme 3.2, en montrant, en particulier, que la composanteεi(u).x∈Ker(qi(u)) s’obtient

`a l’aide d’un polynˆome enu.

En conclusion, il convient de mettre en regard le lemme des noyaux et un «lemme des quotients», formellement analogue au théorème chinois, et de considérer simultanément les deux décompositions

suivantes. M

i

Ker(qi(u)) −→g V −→g M

i

V /qi(u)V.

4. Endomorphismes semi-simples.

Soient, comme plus haut,V un espace vectoriel de dimension finie sur un corpsK, etu:V →V un endomorphismeK-linéaire ; on noteA=K[u]⊂EndK(V) la sous-K-algèbre formée des polynômes enu.

On dit queuest semi-simple si tout sous-espace de V stable paruadmet un supplémentaire stable ; il revient au même de dire que tout sous-A-module de Vu admet un sous-A-module supplémentaire. Si A est un corps, c’est-à-dire si le polynôme minimal de u est irréductible, alorsuest semi-simple. Plus généralement,

4.1 Proposition Avec les notations qui précèdent, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) L’endomorphismeuest semi-simple ;

ii) l’anneauA=K[u]est réduit (i.e son seul élément nilpotent est 0) ;

iii) le polynôme minimal deuest produit de polynômes unitaires irréductibles distincts.

i⇒ ii : Soitα∈A =K[u] un élément nilpotent et W unA-module supplémentaire deα(V), d’où la décomposition V =α(V)⊕W; tout x∈V s’écrit donc sous la forme x=y+z, avecy ∈α(V) et z ∈ W; comme W est stable, on a α(z) ∈ W, et par suite α(x−y) = α(z) ∈ α(V)∩W = 0 ; ainsi, α(x) = α(y) ∈ α²(V) ; bref, α(V) = α²(V). Comme αest supposé nilpotent, on en déduit α(V) = 0, c’est-à-direα= 0.

ii⇒iii: Soitm le polynˆome minimal deu, de sorte qu’on a un isomorphisme K[X]/(m) −→g K[u].

S’il existait un polynôme q non constant et tel que q² divise m, on pourrait écrire m =pq²; la classe modulomdu polynôme pq serait non nulle et de carré nul, etK[u] ne serait pas réduit.

(7)

iii⇒i: Ecrivons la décomposition du polynôme minimal en produit de polynômes unitaires irréductibles distincts :

m=m1. . . . ms.

SoitW ⊂ V un sous-espace stable ; en appliquant le lemme des noyaux `a V et `aW on obtient les

d´ecompositions M

i

Ker(mi(u)) −→g V, M

i

Ker(mi(u))∩W −→g W.

Par définition, l’espace Ker(mi(u)) est annulé parmi(u), c’est donc un module sur l’anneau quotient Ai =K[T]/(mi(T)), lequel est un corps puisque les mi sont irréductibles ; bref, Ker(mi(u)) est un Ai- espace vectoriel, et son sous-espace Ker(mi(u))∩W admet unAi-espace supplémentaire W_i⁰. Force est alors de constater que W⁰=L

W_i⁰ est un suppl´ementaire deW dansV, qui est stable sousu.

5. Quelques polynˆomes caract´eristiques

Soitχu(T) = det(TIdV −u) =T^d+ad−1T^d−1+· · ·+a0 le polynôme caractéristique de u. La K- algèbreR =K[T]/(χu) admet pour base la famille 1, t, t², . . . , t^d−1, où tdésigne la classe de T dansR, et oùd= dim(V) ; dans cette base la matrice de la multiplication partest la fameuse matrice compagne deχu

5.1







0 0 0 . . . 0 −a0

1 0 0 . . . 0 −a1

0 1 0 . . . 0 −a2

... ...

0 . . . 0 −ad−2

0 . . . 1 −ad−1







Le polynôme caractéristique de cette matrice est égal àχu( On peut le vérifier directement, par exemple par récurrence ; mais on peut aussi remarquer que χu est visiblement le polynôme minimal de cette matrice, et il a le bon degré pour être égal au polynôme caractéristique).

Par définition, leK-vectorielR est cyclique pour l’endomorphismer7→tr; cela montre, entre autre, qu’en général, il n’est pas isomorphe au vectoriel V muni de u. Cependant, on a le résultat important suivant, désigné parfois sous le nom de«théorème spectral». Dans l’énoncé, on écrit detR et detV pour signaler clairement les espaces où opèrent les endomorphismes.

5.2 Proposition Pour tout polynˆome q(T)∈K[T], on a

detR(r7→q(t)r) = detV(q(u)).

Plus généralement, le polynôme caractéristique de l’applicationr7→q(t)r, et celui de q(u) sont égaux.

Dans la suite l’application R→R, r7→q(t)r sera simplement not´eeq(t) ; avec cette convention,χt

est le polynôme caractéristique de la matrice compagne, et on peut donc écrire χt = χu; la seconde partie de la proposition s’écrit χ_q(t)=χ_q(u).

(8)

Cette deuxième assertion se déduit d’ailleurs de la première : supposons d’abord que le corps K soit infini. Pour tout λ ∈ K, la première égalité appliquée au polynôme λ−q(T), donne detR(λ−q(t)) = detV(λIdV −q(u)), c’est-à-dire

χ_q(t)(λ) = χ_q(u)(λ).

Comme cette égalité est vraie pour tous lesλ∈K, et queKest infini, les polynômesχq(t)(T) etχq(u)(T) sont égaux.

En général, et en particulier si le corpsKest fini, il faut considérer l’extension de corpsK→ K(X), et choisir une base deV ; cela permet d’identifieruà une matrice à coefficients dansK, donc,a fortiori,

à coeffficients dans le corpsK(X) ; on applique alors l’égalité des déterminants au polynômeX−q(T)∈ K(X)[T] (c’est un polynôme enT, puisqueX est dans le corps de baseK(X)).

Démontrer la première assertion consiste à vérifier l’égalité de deux éléments de K; comme toute extension de corps K → L est un morphisme injectif, on peut «grossir» le corps de base autant que nécessaire pour simplifier la situation. On peut décomposer soit le polynôme χu, soit le polynôme q(T).

Les deux proc´ed´es sont instructifs.

1) Première méthode : décomposerχu.

SoitK →L une extension de décomposition du polynôme caractéristique, de sorte que dansL[T], on a

χu(T) = Y

i

(T −αi).

On ne pr´etend ´evidemment pas que les valeurs propres soient distinctes.

Démontrons d’abord directement l’énoncé suivant qui apparaˆıtra plus bas comme un corollaire de la proposition.

5.3 Corollaire Supposons que le polynôme caractéristique de usoit scindé : χu(T) = Q

i(T −αi).

Alors pour tout polynˆome q(T), on adetV(q(u)) =Q q(αi).

On peut en effet trouver une base deV relativement `a laquelle la matrice deuest trigonale sup´erieure

à termes diagonaux les αi; on constate alors immédiatement que la matrice de q(u) relativement à cette même base est trigonale supérieure à termes diagonaux les q(αi), ce qui montre que detV(q(u)) = Qq(αi).¤

Revenons à la démonstration de 5.2. On applique 5.3 d’une part à l’espace vectoriel R muni de la multiplication par t, et d’autre part à V muni deu; ces deux endomorphismes ontχu pour polynôme caractéristique, comme il a été rappelé ; si ce dernier est scindé, le corollaire montre que detR(q(t)) = Qq(αi), et queQ

q(αi) = detV(q(u)) ; d’où l’égalité annoncée.¤

2) Deuxième méthode : décomposerq(T).

En passant `a une extension de d´ecomposition deq, on peut supposer queq(T) =aQ

(T−βi). Comme le déterminant est multiplicatif, il suffit de vérifier l’égalité de 5.2 lorsque qest de la formeq(T) =T−β; mais alors, detR(t −β) = (−1)^ddetR(β −t) = (−1)^dχu(β). De même, q(u) = u−β, de sorte que detV(u−β) = (−1)^ddet(β−u) = (−1)^dχu(β) ; cela donne l’égalité cherchée.¤

5.4 Remarque La conclusion de 5.2 reste vraie siK est un anneau (commutatif) et siV est un K- module libre de rangd; le second procédé donne encore une démonstration à condition d’être légèrement modifié : par division euclidienne par le polynôme unitaireχu, on peut supposer d’abord queqest de degré

< d; on remarque ensuite qu’on ne change pas la conclusion en rempla¸cantqparp(T) =q(T) +χu(T) ; mais ce polynôme pest unitairede degréd; à ce titre il admet un morphisme de décompositionK→L

(9)

qui est un K-module libre ; le morphisme K → L est donc injectif. La fin de la d´emonstration est in- chang´ee.

5.5 Corollaire Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes racines (dans une extension convenable du corps de baseK).

En effet, comme le polynôme minimalm(T) divise le polynôme caractéristique, toute racine demest racine deχu. Par ailleurs, commem(u) = 0, on aχm(u)(T) =T^d; mais, si on noteα1, . . . , αd les racines de χu (dans une extension deK), le résultat qui précède montre que χm(u)(T) =Q

(T −m(αi)), donc que pour touti,m(αi) = 0.¤

On peut aussi terminer la démonstration de la fa¸con suivante : la proposition 5.2 montre queχm(t)(T) = χ_m(u)(T) =T^d; par suite, la multiplication parm(t) dansR est nilpotente ; cela équivaut à la propriété suivante :

Le polynôme caractéristique divise une puissance du polynôme minimal.

Cette assertion est ´equivalente `a 5.5.

6. Commutant et bicommutant

On pose ici de nouveauA=K[T], et on consid`ere leA-moduleVu.

Pour un endomorphismev ∈EndK(V), la relation de commutation uv=vu se traduit simplement en :

«vest A-lin´eaire.»

Ainsi, le commutant deu est-il le sous-anneau C=EndA(Vu)⊂EndK(V) ( Malgré son nom, le commutant n’est pas, en général, un anneau commutatif ; par exemple, siuest une homothétie,ucommute avec tout autre endomorphisme, donc le commutant de uest l’anneau EndK(V) tout entier).

Le bicommutant est l’anneau formé des endomorphismesK-linéaires de V qui commutent avec tous le éléments deC, soit EndC(V).

6.1 Proposition Le bicommutant de uest l’anneauK[u].

La démonstration utilise la décomposition, due à Frobenius, deVuen somme directe d’espaces cycliques.

Il existe, en effet, un isomorphisme de A-modules

(6.1.1) V_u'A₁⊕A₂⊕. . .⊕A_s,

où Ai =A/piA, et où les polynômespi vérifient les relations pi |pi+1. Le dernier polynôme de la liste, psest donc le polynôme minimal de u, et on a un isomorpisme deK-algèbresK[u]'As.

Soitf un élément du bicommutant, c’est-à-dire une application qui commute avec celles qui sontA- linéaires ; on va raisonner sur le membre de droite de 6.1.1. Montrons d’abord quef est diagonal au sens où il envoie le facteurAisur lui-même : soit πi la projection sur ce facteur, c’est-à-dire l’endomorphisme A-linéaire défini par

πi(a1+. . .+as) =ai.

Par hypothèse, on a f ◦πi = πi◦f; cela se traduit simplement en : f(Ai) ⊂ Ai; de plus, comme f est A-linéaire, la restriction de f à Ai est simplement la multiplication par un élément αi ∈ Ai. Par ailleurs, comme pi divise ps, on dispose des morphismes de passage au quotientAs →Ai; ce sont des applications A-linéaires ; commef doit commuter avec ces morphismes, l’image deαsdansAi est égale

à αi; l’applicationf est donc égale à la multiplication parαs; c’est un élément deAs=K[u].¤

(10)

Pour d´eterminer le commutant, posons

Cij = HomA(Aj, Ai), (l’inversion de l’ordre des indices est délibérée !). Alors l’isomorphisme

C:= EndA(A1⊕. . .⊕As) =Y

i,j

Cij

est plus explicite si on voitC comme un tableau (une matrice) de modules

C=







C11 C12 . . . C1s

C21 C22 . . . C2s

... ...

Cs1 Cs2 . . . Css







Il faut donc déterminer ces modules C_ij. Plus généralement, soient p et q des éléments d’un anneau principal A; une applicationA-linéaireA/pA →A/qA est déterminée par l’image de 1, c’est-à-dire par la classe mod.q d’un élémenta∈A, et la seule contrainte sur aest que

ap∈qA.

On voit imm´ediatement que a doit ˆetre un multiple de ppcm(p, q)/p, ou encore, un multiple de q/pgcd(p, q).

Supposons que p divise q, c’est-`a-dire que q = pr, donc que pgcd(p, q) = p. Pr´ecisons les modules HomA(A/pA, A/qA) et HomA(A/qA, A/pA). Pour le premier, on a l’isomorphisme (de A-modules)

A/pA −→g HomA(A/pA, A/qA), 17→(xmod.p 7−→ (q/p)xmod.q)

Pour le second, l’inclusionqA⊂pAmontre qu’il existe une application canoniqueA/qA→A/pA, à savoir le morphisme surjectif d’anneaux associé à cette inclusion ; on a donc un isomorphisme deA-modules

A/pA −→g HomA(A/qA, A/pA), 17→(xmod.q 7−→ xmod.p)

Revenant auxC_ij, et compte-tenu de l’hypoth`esep_k|p_l pourk≤l, on a donc un isomorphisme Cij ' A_inf(i,j).

Le commutant est donc isomorphe (commeA-module) `a la matrice (de A-modules)







A1 A1 A1 A1 . . . A1

A1 A2 A2 A2 . . . A2

A1 A2 A3 A3 . . . A3

... ... ... ... A1 A2 A3 . . . As







(Les A_i sont disposés «en équerre»). Lorsqu’on utilise cet isomorphisme, il ne faut pas oublier que le produit dans l’anneau C est donné par les applications usuelles Cij ×Cjk → Cik provenant de la composition des applications

(Aj→Ai, Ak →Aj)7−→ Ak→Aj→Ai.

(11)

Mais celles-ci sont perturbées par les isomorphismesCij 'A_inf(i,j)dégagés plus haut ; ainsi, par exemple, l’application A1×A1 → A1, associée à C12×C21 → C11 est celle à laquelle on pense d’abord, mais multipliée parp2/p1.

Pour le calcul de la dimension deC, la nature du produit dans C n’intervient heureusement pas, et l’isomorphisme indiqu´e suffit ; il montre queA1apparaˆıt 2s−1 = 2(s−1)+1 fois ;A2apparaˆıt 2(s−2)+1 fois, etc. Finalement, on trouve ladimension du commutant :

dimK(C) = Xs

i=1

(2(s−i) + 1) deg(pi).

Comme P

deg(pi) = dimK(V), cette formule montre en particulier que dim(C) ≥dim(V) et qu’on a l’´egalit´e si et seulement siVuest cyclique (i.e s= 1).