Universit´e de Poitiers
D´epartement de Math´ematiques
1m02–Probabilit´es G´en´erales Ann´ee 2011–2012
FEUILLE N
O1. — FONCTIONS CARACT ´ ERISTIQUES ET APPLICATIONS
Exercice 1 (fonctions caract´eristiques de lois classiques). — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi PX et soit ϕX la fonction caract´eristique de X,
ϕXpθqPpXpθqE
eiθX
, θ PR.
Calculer les fonctions caract´eristiques pour les lois classiques µ suivantes : (i) loi uniforme Up1, . . . , nq, µ n1
°n
k1δk sur t1, . . . , nu.
(ii) loi de Bernoulli Bp1, pq,µp1pqδ0 p δ1 de param`etre pPr0,1s. (iii) loi binomiale Bpn, pq,µ
°n k0
n k
pkp1pqnkδk de param`etrespPr0,1s, nPN. (iv) loi de Poisson Ppλq, µ
°
8
n0eλ λnn! δn de param`etreλ ¡0.
(v) loi g´eom´etrique Gppq, µ°8k
1pp1pqk1δk de param`etre pPs0,1s. (vi) loi uniforme Upra, bsq, µpdxq b1
a1ra,bspxqdx sur ra, bs avec a b.
(vii) loi exponentielle Epλq, µpdxqλeλx1r0,8rpxqdx de param`etreλ ¡0.
(viii) loi de Cauchy Cpaq,µpdxq π1 x2aa2 dx de param`etrea ¡0.
(ix) loi normale Npm, σ2q, µpdxq σ?12π epxmq2{2σ2dx de moyenne m et de variance σ2 ¡0.
(x) loi Gamma Γpa, pq, µpdxq Γpa
paq epxxa11tx¡0upxqdx de param`etresa ¡0 etp ¡0.
Correction. — (i) Soit n ¥ 1 un entier. La fonction caract´eristique de la loi uniforme sur
t1, . . . , nu est
θ PRÞÝÑ eipn 1qθ{2 n
sinpnθ{2q
sinpθ{2q si θ 0, 1 siθ 0.
D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi uniforme sur t1, . . . , nu, on a pour θ 1
ϕXpθqE
eiXθ
n
¸
k1
eikθ1 n
1 n
eiθeipn 1qθ 1eiθ
eipn{2 1qθ neiθ{2
einθ{2einθ{2 eiθ{2eiθ{2
eipn 1qθ{2 n
sinpnθ{2q sinpθ{2q
et bien sˆur ϕXp0q1. l
(ii) Soit pPr0,1s. La fonction caract´eristique de la loi de Bernoulli de param`etre p est θ PRÞÝÑpeiθ 1p.
D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre p, pour θ PR, on a ϕXpθqei0θPtX 0u ei1θPtX 1u1p1pq eiθppeiθ 1p.
(iii) Soient n PN et pPr0,1s. La fonction caract´eristique de la loi binomiale de param`etres n et p est
θ PRÞÝÑppeiθ 1pqn.
2 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications
D´emonstration.— SiX est une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etres netp, pour θ PR, on a
ϕXpθq
n
¸
k0
eikθPtX ku
n
¸
k0
eikθCnkpkp1pqnk
n
¸
k0
Cnkppeiθqkp1pqnk ppeiθ 1pqn.
Une autre fa¸con de le voir est de consid´ererX1, . . . , Xndes variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi la loi de Bernoulli de param`etre p. Alors la loi de X X1 Xn est la loi binomiale de param`etres net p et on a
ϕXpθq ϕX1pθqϕXnpθqppeiθ 1pqppeiθ 1pqppeiθ 1pqn. La fonction caract´eristique ne d´ependant que de la loi de la variable consid´er´ee, on a le r´esultat (mˆeme si une telle d´ecomposition de X n’est pas toujours possible).
(iv) Soit λ ¥0. La fonction caract´eristique de la loi de Poisson de param`etre λ est θPRÞÝÑexp λpeiθ1q
.
D´emonstration. — C’est du calcul ´el´ementaire. SiX est une variable al´eatoire de loi la loi de Poisson de param`etreλ, on a
ϕXpθqE
eiθX
¸
n¥0
eiθneλλn
n! eλ
¸
n¥0
λeiθ
n
n! eλexp λeiθ
exp λpeiθ1q
,
comme annonc´e. l
(v) Soit pPs0,1s. La fonction caract´eristique de la loi g´eom´etrique de param`etre p est θ PRÞÝÑ peiθ
1p1pqeiθ.
D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi g´eom´etrique de param`etre p, on a ϕXpθqE
eiθX
¸
n¥1
eiθnpp1pqn1 peiθ
¸
n¥1
eiθp1pq
n1
peiθ 1p1pqeiθ comme simple s´erie g´eom´etrique dont la raison a pour module |p1pqeiθ|1p 1.
(vi) Soit a b. La fonction caract´eristique de la loi uniforme sur ra, bsa est θ PRÞÝÑeipb aqθ{2 sinppbaqθ{2q
pbaqθ{2 si θ 0, 1 siθ 0.
D´emonstration. — Commen¸cons par le cas a 0 et b1, et consid´erons U une variable de loi uniforme sur r0,1s. On a alors pour θ 0
ϕUpθq
»1
0
eiuθdu eiθ1
iθ eiθ{2eiθ{2eiθ{2
iθ eiθ{2sinpθ{2q θ{2
et ϕUp0q1. Soient a b, alors X pbaqU a est de loi uniforme sur ra, bset on a pour θ 0
ϕXpθqE
eiXθ
E
eippbaqU aqθ
eiaθE
eiUpbaqθ
eiaθϕUppbaqθq
eiaθeipbaqθ{2 sinppbaqθ{2q
pbaqθ{2 eipb aqθ{2 sinppbaqθ{2q
pbaqθ{2 et ´evidemment ϕXp0q1.
Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 3 (vii) Soit λ ¡0. La fonction caract´eristique de la loi exponentielle de param`etre λ est
θ PRÞÝÑ λ λiθ .
D´emonstration. — C’est un calcul imm´ediat. Pour θ PR, on a ϕpθq
»
8
0
eiθxλeλxdx λ eiθλ
epλiθqx
8
0
λ λiθ puisque |epλiθqx|eλx qui tend vers 0 en 8.
(viii) Soit a ¥0. La fonction caract´eristique de la loi de Cauchy de param`etre a est θ PRÞÝÑexp a|θ|
.
D´emonstration. — Prenons a 1 et soit θ PR. Nous allons calculer ϕpθq
»
R
eiθx 1 x2
dx
π lim
rÑ8
»r
r
eiθx 1 x2
dx
π lim
rÑ8Iprq
`a l’aide d’outils d’analyse complexe, en particulier le th´eor`eme des r´esidus. Nous avons fθpzq 1
π eiθz 1 z2
eiθz π
i{2 z i
i{2 zi
i eiθz 2π
1 z i
1 zi qui est holomorphe sur Czti,iu, de pˆoles ti,iu et de r´esidus
Respfθ,iq i eiθpiq
2π
i eθ
2π , Respfθ,iq i eiθi
2π
i eθ 2π . Pour r¡1, consid´erons
1m02td.1
$
'
'
'
&
'
'
'
%
I prq
»
C
fθpzqdz 2iπRespfθ,iqeθ, Iprq
»
C
fθpzqdz 2iπRespfθ,iqeθ. Par passage en coordonn´ees polaires, on a
eθ I prqIprq
»π
0
fθpreiαqrdα.
Ainsi,
eθIprq
¤
»π
0
fθpreiαq
rdα
»π
0
exppθrsinαq
|1 r2expp2iαq|rdα
»π
0
exppθrsinαq
|1{r rexpp2iαq|dα ¤
»π
0
exppθrsinαq r1{r dα.
Comme pour α P r0, πs, sinα ¥ 0, et ainsi, si θ ¥ 0, exppθrsinαq ¤ 1. Pour θ ¥ 0, on a alors
eθ Iprq
¤
π
r1{r ÝÑ0 quand r Ñ8,
et ainsi ϕpθqeθ pour θ ¥0. Lorsque θ¤0, on peut consid´erer |eθIprq||Iprq Iprq|
et montrer comme pr´ec´edemment que ¸ca tend vers 0 quand r tend vers l’infini et qu’ainsi ϕpθq eθ pour θ ¤ 0, ou simplement remarquer que puisque la densit´e de la loi de Cauchy est paire, alors la fonction caract´eristique est elle aussi paire, et donc, de ϕpθq eθ pour θ ¥0, en d´eduire que ϕpθqe|θ| pour tout θ PR.
Pour une loi de Cauchy de param`etre a ¡ 0, nous savons que si X est de loi Cpaq, alors X{a est de loi Cp1q. Ainsi ϕapθqEreiθXsEreiaθpX{aqsϕpaθqea|θ|. l
4 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications
(ix) Soient m P R et σ ¡ 0. La fonction caract´eristique de la loi normale de moyenne m et d’´ecart-type σ est
θPRÞÝÑexp imθσ2θ2{2
.
D´emonstration. — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi Npm, σ2q. Nous savons alors que Z pXmq{σ est une variable al´eatoire r´eelle de loi Np0,1q. On a, pour toutθ PR,
ϕXpθqE
eiθX
E
eiθpXmqeiθm
E
eiσθpXmq{σ eiθm
E
eiσθpXmq{σ
eiθmE
eiσθZ
eiθm ϕZpσθqeiθm. Il nous suffit donc de calculer la fonction caract´eristique ϕZ de la loi normale Np0,1q. Nous avons
ϕZpθq
»
8
8
eiθzez2{2 dz
?
2π .
D´emontrer que ϕZ est de classe C1 et que sa fonction d´eriv´ee s’obtient par d´erivation sous le signe somme est classique, nous nous en dispensons. Nous avons donc
ϕ1Zpθq d dθ
»
8
8
eiθzez2{2 dz
?
2π
»
8
8 B
Bθ eiθzez2{2
dz
?
2π
»
8
8 B
Bθ eiθz
ez2{2 dz
?
2π
»
8
8
izeiθzez2{2 dz
?
2π . Puis nous int´egrons par parties en la variable z en notant quepez2{2q1 zez2{2
ϕ1Zpθq
»
8
8
i eiθz d
dzpez2{2q dz
?
2π
i eiθzez2{2 1
?
2π
8
8
»
8
8
i2θeiθzez2{2 dz
?
2π 0θ
»
8
8
eiθzez2{2 dz
?
2π θϕZpθq. Ainsi la fonction ϕZ v´erifie l’´equation diff´erentielle ϕ1 fpθ, ϕq θ ϕ avec f continue, localement lipschitzienne en la deuxi`eme variable (elle est en faitC1 surRR) et la condition initiale ϕZp0q 1. D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy–Lipschitz, il y a unicit´e de la solution maximale associ´ee `a ce probl`eme de Cauchy. Comme la fonction θ ÞÑeθ2{2 v´erifie aussi ces conditions, par unicit´e, on a ϕZpθq eθ2{2 pour tout θ P R. La formule annonc´ee dans le lemme s’en d´eduit imm´ediatement : pour θ PR,
ϕXpθqE
eiθX
E
eimθeiθpXmq
eimθE
eiθpXmq
eimθE
eipσθqpXmq{σ
eimθE
eipσθqZ
eimθϕZpσθqexp imθσ2θ2{2
,
ce qui ´etait annonc´e. l
(x) Soienta etλ deux r´eels strictement positifs. La fonction caract´eristique de la loi Gamma de param`etres pa, λq est
θ PRÞÝÑexp
λ λiθ
a
. D´emonstration. — Soient a ¡0 etλ ¡0. Posons
ϕpθq
»
8
0
eiθx λa
Γpaqxa1eλxdx
»
8
0
C xa1epiθλqxdx.
Cette fonction est de classe C1 et on peut d´eriver sous le signe somme ϕ1pθq d
dθ
»
8
0
C xa1epiθλqxdx
»
8
0
C B
Bθ xa1epiθλqx
dx
»
8
0
iC xaepiθλqxdx
Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 5 Puis, en int´egrant par parties,
ϕ1pθq i iθλ
C xaepiθλqx
8
0
ia iθλ
»
8
0
iC xa1epiθλqx
dx0 ia
λiθ ϕpθq. Non rigoureusement,
ϕ1pθq
ϕpθq a i
λiθ ùñ ln ϕpθq
alnpλiθq Cte ùñ ϕpθqCtepλiθqa et puisque ϕp0q1Cteλa, Cte λa, et on a
ϕpθq
λ λiθ
a
.
Plus rigoureusement, ϕv´erifie une ´equation diff´erentielle du premier ordre ϕ1 fpθ, ϕq avec f continue, localement lipschitzienne en la deuxi`eme variable (elle est en fait C1 sur RR et on peut noter que le facteur ia{pλiθq est born´e dans C pour λ ¡ 0 fix´e et θ P R, elle est donc globalement lipschitzienne en la seconde variable) et la condition initialeϕZp0q1.
D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy–Lipschitz, il y a unicit´e de la solution maximale associ´ee `a ce probl`eme de Cauchy. Consid´erons la d´etermination principale du logarithme Log :CzR ÑC et la fonction
φ:θ PRÞÝÑ
λ λiθ
a
exp
aLog
λ λiθ
PC
qui est bien d´efinie, d´erivable, v´erifiant l’´equation diff´erentielle qui nous occupe et satisfaisant φp0q1. Par unicit´e, on a donc ϕφ.
Remarque. — Le calcul se fait `a l’aide de simples int´egrations par parties lorsque a est un entier strictement positif. Pour a1, on est en pr´esence de la loi exponentielle de param`etre λ, et donc ϕ1pθqλ{pλiθq. Pour a¥2,
ϕapθq
»
8
0
λa
Γpaqxa1epλiθqxdx
»
8
0
λa
pa1q!xa1epλiθqxdx
λa
pλiθqpa1q!xa1epλiθqx
8
0
»
8
0
λapa1q
pλiθqpa1q!xa2epλiθqxdx
0 λ λiθ
»
8
0
λa1
pλiθqpa2q!xa2epλiθqxdx
λ
λiθ ϕa1pθq D’o`u on a ais´ement
ϕapθq
λ λiθ
a
.
On constate au passage que la somme deavariables al´eatoires de mˆeme loi la loi exponentielle de param`etre λ est de loi Gamma de param`etres pa, λq, et que la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes de respectivement de lois Gamma de param`etres pa, λq et pa1, λq a pour loi la loi Gamma de param`etres pa a1, λq.
Exercice 2 (vrai ou faux ?). — Il existe des variables al´eatoires X et Y ind´ependantes et de mˆeme loi, telles que PXY Upr1,1sq.
Correction.— Faux. — Supposons qu’il existe des variables al´eatoiresX etY ind´ependantes et de mˆeme loi, telles que PXY Upr1,1sq. Leur fonction caract´eristique commune ϕ v´erifie
ϕpθqϕpθqϕXpθqϕYpθqϕXYpθq sinpθq
θ pour θ0 et ϕp0q1.
6 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications Or ϕpθq ϕpθq, donc ce qui pr´ec`ede s’´ecrit
|ϕpθq|2 sinpθq
θ pour θ 0 et ϕp0q1,
ce qui est bien sˆur impossible puisque le sinus cardinal prend parfois des valeurs strictement n´egatives.
Exercice 3 (lois sym´etriques). — (i) Soit X une variable al´eatoire. Montrer que ϕX est `a valeur r´eelles si et seulement si X a une loi sym´etrique,i.e. PX PX.
(ii) Montrer que si X etY sont des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi, alors Z X Y a une loi sym´etrique.
Correction. — (i) Si X a une loi sym´etrique, on a
ϕXpθqϕXpθqϕXpθqϕXpθq,
et donc ϕX est `a valeurs r´eelles. La r´eciproque est imm´ediate en se servant de ce qui pr´ec`ede puisqu’alors ϕX ϕX, et ainsi X et X ont mˆeme loi.
(ii) Supposons X etY ind´ependantes et de mˆeme loi, alors
ϕXYpθqϕXpθqϕYpθqϕpθqϕpθqϕpθqϕpθq|ϕpθq|2
qui est r´eel (et mˆeme positif). D’apr`es la question pr´ec´edente, la loi deXY est sym´etrique.
Remarque. — Soit µ la loi commune de X et de Y. Puisque X et Y sont ind´ependantes, les vecteurs al´eatoires pX, Yq et pY, Xqont tous les deux pour loi µbµ. Par cons´equent, les images de leurs lois par l’application px, yqÞÑxy sont ´egales, ce qui signifie que XY et Y X ont mˆeme loi, la loi deX Y est donc bien sym´etrique.
Exercice 4 (loi triangulaire). — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e fXpxq
p1|x|q1r1,1spxq. Montrer que ϕXpθq 2p1cosθq{θ2, θ 0. (Indication : soient U et V des variables al´eatoires ind´ependantes uniformes sur r1{2,1{2s; consid´erer U V.)
Correction. — Si U et V sont ind´ependantes toutes deux de loi uniforme sur r1{2,1{2s, alors X U V est de loi triangulaire de densit´e donn´ee par fXpxq p1|x|q1r1,1spxq. En effet, il suffit pour cela de calculer la fonction de r´epartition deX (se placer dans le carr´e
r1{2,1{2s2 muni de la mesure uniforme qui est la loi du couple pU, Vq, et d´eterminer les aires des domaines tpu, vqPr1{2,1{2s2:u v ¤xu) qui est
FXpxq
$
'
&
'
%
0 si x¤1
p1 xq2{2 si 1¤x¤0
p1 p1xq2q{2 si 0¤x¤1
1 si x¥1
constater que cette fonction est continue, d´erivable (par morceaux), et qu’elle est alors la primitive nulle en 8 de sa d´eriv´ee qui est continue (par morceaux)
fXpxq
$
'
&
'
%
0 si x ¤1 1 x si 1¤x ¤0 1x si 0¤x¤1 1 si x ¥1
p1|x|q1r1,1spxq. On a alors pour θ 0,
ϕXpθqϕUpθqϕVpθq
sinpθ{2q θ{2
2
2p1cosθq{θ2.
Notons que le r´esultat ne d´epend que de la loi deX et non de la possibilit´e ou non de l’´ecrire X U V comme pr´ec´edemment.
Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 7 Remarque. — Le calcul direct est encore plus facile : pourθ 0, par deux arguments successifs de parit´e, on a
ϕXpθq
»1
1
eiθxp1|x|qdx
»1
1
cospθxqp1|x|qdx2
»1
0
cospθxqp1xqdx
2 sinpθxq
θ p1xq
1
0
»1
0
2 sinpθxq
θ dx0
2 cospθxq θ2
1
0
2p1cosθq{θ2. Mais ´evidemment, on voit moins de probabilit´es en cours de route.
Exercice 5 (transform´ee de Mellin). — Soit X une variable al´eatoire positive. Sa trans- form´ee de Mellin est la fonction
TXpθqE
Xθ
pour toutes les valeurs de θ pour lesquelles l’esp´erance deXθ existe.
(i) Montrer que TXpθqϕlnXpθ{iqquand les deux membres sont bien d´efinis.
(ii) Montrer que si X et Y sont ind´ependantes et positives, on a TXYpθqTXpθqTYpθq. (iii) Montrer queTbXapθqbθTXpaθqpour b¡0 et aθ dans le domaine de d´efinition de TX. (iv) Trouver la transform´ee de Mellin d’une variable al´eatoire log-normale X de param`etres
pm, σ2q. Utiliser le fait que TXpkq ErXks pour calculer le k-i`eme moment de X pour k 1, 2, . . .
Correction. — Attention aux 00?
(i) Remarquons que TXpθq ErXθs et ϕlnXpθ{iq EreθlnXs sont bien d´efinies dans R Y
t 8u puisque les variables al´eatoires qu’on int`egre sont positives. Comme eθlnX Xθ, l’´egalit´e est alors ´evidente.
(ii) Soient X et Y positives, ind´ependantes, et θ P R. Alors, Xθ et Yθ sont positives et ind´ependantes et le th´eor`eme de Fubini–Tonelli permet d’affirmer que E rpXYqθs E rXθ Yθs ErXθsErYθs, soit TXY TX TY.
(iii) On a TbXapθqE rpbXaqθsbθE rXaθsbθTXpaθq.
(iv) Une variable al´eatoire X est log-normale de param`etres pm, σ2q, si elle est presque sˆurement strictement positive et si lnpXq a pour loi Npm, σ2q. D’apr`es la question (i), TXpθqϕlnpXqpθ{iqexppmθ σ2θ2{2q. Les moments s’en d´eduisent imm´ediatement.
Remarque. — Cet exercice peut sembler creux. Son rˆole est de faire parler de la transformation de Mellin.
Exercice 6 (loi de Laplace). — Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires r´eelles ind´epen- dantes de mˆeme loi, la loi de Laplace, c’est-`a-dire PXipdxq 12e|x|dx. Notons ϕ ϕXi la fonction caract´eristique de Xi. On d´efinit les variables al´eatoires Y1 et Y2 par
Y1
Y2
1 1
1 1
X1
X2
.
Montrer les faits suivants :
(i) on a ϕpθqp1 θ2q1 pour θPR;
(ii) les variables al´eatoires Y1 et Y2 ont mˆeme fonction caract´eristique, donc mˆeme loi ; elles sont non corr´el´ees et ne sont pas ind´ependantes.