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(1)

Universit´e de Poitiers

D´epartement de Math´ematiques

1m02–Probabilit´es G´en´erales Ann´ee 2011–2012

FEUILLE N

O

1. — FONCTIONS CARACT ´ ERISTIQUES ET APPLICATIONS

Exercice 1 (fonctions caract´eristiques de lois classiques). — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi PX et soit ϕX la fonction caract´eristique de X,

ϕXpθqPpXpθqE

eiθX

, θ PR.

Calculer les fonctions caract´eristiques pour les lois classiques µ suivantes : (i) loi uniforme Up1, . . . , nq, µ n1

°n

k1δk sur t1, . . . , nu.

(ii) loi de Bernoulli Bp1, pqp1pqδ0 p δ1 de param`etre pPr0,1s. (iii) loi binomiale Bpn, pq

°n k0

n k

pkp1pqnkδk de param`etrespPr0,1s, nPN. (iv) loi de Poisson Ppλq, µ

°

8

n0eλ λnn! δn de param`etreλ ¡0.

(v) loi g´eom´etrique Gppq, µ°8k

1pp1pqk1δk de param`etre pPs0,1s. (vi) loi uniforme Upra, bsq, µpdxq b1

a1ra,bspxqdx sur ra, bs avec a b.

(vii) loi exponentielle Epλq, µpdxqλeλx1r0,8rpxqdx de param`etreλ ¡0.

(viii) loi de Cauchy Cpaqpdxq π1 x2aa2 dx de param`etrea ¡0.

(ix) loi normale Npm, σ2q, µpdxq σ?1 epxmq2{2dx de moyenne m et de variance σ2 ¡0.

(x) loi Gamma Γpa, pq, µpdxq Γpa

paq epxxa11tx¡0upxqdx de param`etresa ¡0 etp ¡0.

Correction. — (i) Soit n ¥ 1 un entier. La fonction caract´eristique de la loi uniforme sur

t1, . . . , nu est

θ PRÞÝÑ eipn 1qθ{2 n

sinp{2q

sinpθ{2q si θ 0, 1 siθ 0.

D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi uniforme sur t1, . . . , nu, on a pour θ 1

ϕXpθqE

eiXθ

n

¸

k1

eikθ1 n

1 n

eeipn 1qθ 1e

eipn{2 1qθ ne{2

einθ{2einθ{2 e{2e{2

eipn 1qθ{2 n

sinp{2q sinpθ{2q

et bien sˆur ϕXp0q1. l

(ii) Soit pPr0,1s. La fonction caract´eristique de la loi de Bernoulli de param`etre p est θ PRÞÝÑpe 1p.

D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre p, pour θ PR, on a ϕXpθqei0θPtX 0u ei1θPtX 1u1p1pq eppe 1p.

(iii) Soient n PN et pPr0,1s. La fonction caract´eristique de la loi binomiale de param`etres n et p est

θ PRÞÝÑppe 1pqn.

(2)

2 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications

D´emonstration.— SiX est une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etres netp, pour θ PR, on a

ϕXpθq

n

¸

k0

eikθPtX ku

n

¸

k0

eikθCnkpkp1pqnk

n

¸

k0

Cnkppeqkp1pqnk ppe 1pqn.

Une autre fa¸con de le voir est de consid´ererX1, . . . , Xndes variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi la loi de Bernoulli de param`etre p. Alors la loi de X X1 Xn est la loi binomiale de param`etres net p et on a

ϕXpθq ϕX1pθqϕXnpθqppe 1pqppe 1pqppe 1pqn. La fonction caract´eristique ne d´ependant que de la loi de la variable consid´er´ee, on a le r´esultat (mˆeme si une telle d´ecomposition de X n’est pas toujours possible).

(iv) Soit λ ¥0. La fonction caract´eristique de la loi de Poisson de param`etre λ est θPRÞÝÑexp λpe1q

.

D´emonstration. — C’est du calcul ´el´ementaire. SiX est une variable al´eatoire de loi la loi de Poisson de param`etreλ, on a

ϕXpθqE

eiθX

¸

n¥0

eiθneλλn

n! eλ

¸

n¥0

λe

n

n! eλexp λe

exp λpe1q

,

comme annonc´e. l

(v) Soit pPs0,1s. La fonction caract´eristique de la loi g´eom´etrique de param`etre p est θ PRÞÝÑ pe

1p1pqe.

D´emonstration. — Si X est une variable al´eatoire de loi g´eom´etrique de param`etre p, on a ϕXpθqE

eiθX

¸

n¥1

eiθnpp1pqn1 pe

¸

n¥1

ep1pq

n1

pe 1p1pqe comme simple s´erie g´eom´etrique dont la raison a pour module |p1pqe|1p 1.

(vi) Soit a  b. La fonction caract´eristique de la loi uniforme sur ra, bsa est θ PRÞÝÑeipb aqθ{2 sinppbaqθ{2q

pbaqθ{2 si θ 0, 1 siθ 0.

D´emonstration. — Commen¸cons par le cas a 0 et b1, et consid´erons U une variable de loi uniforme sur r0,1s. On a alors pour θ 0

ϕUpθq

»1

0

eiuθdu e1

e{2e{2e{2

e{2sinpθ{2q θ{2

et ϕUp0q1. Soient a  b, alors X pbaqU a est de loi uniforme sur ra, bset on a pour θ 0

ϕXpθqE

eiXθ

E

eippbaqU aqθ

eiaθE

eiUpbaqθ

eiaθϕUppbaqθq

eiaθeipbaqθ{2 sinppbaqθ{2q

pbaqθ{2 eipb aqθ{2 sinppbaqθ{2q

pbaqθ{2 et ´evidemment ϕXp0q1.

(3)

Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 3 (vii) Soit λ ¡0. La fonction caract´eristique de la loi exponentielle de param`etre λ est

θ PRÞÝÑ λ λiθ .

D´emonstration. — C’est un calcul imm´ediat. Pour θ PR, on a ϕpθq

»

8

0

eiθxλeλxdx λ eλ

epλqx

8

0

λ λiθ puisque |epλqx|eλx qui tend vers 0 en 8.

(viii) Soit a ¥0. La fonction caract´eristique de la loi de Cauchy de param`etre a est θ PRÞÝÑexp a|θ|

.

D´emonstration. — Prenons a 1 et soit θ PR. Nous allons calculer ϕpθq

»

R

eiθx 1 x2

dx

π lim

rÑ8

»r

r

eiθx 1 x2

dx

π lim

rÑ8Iprq

`a l’aide d’outils d’analyse complexe, en particulier le th´eor`eme des r´esidus. Nous avons fθpzq 1

π eiθz 1 z2

eiθz π

i{2 z i

i{2 zi

i eiθz

1 z i

1 zi qui est holomorphe sur Czti,iu, de pˆoles ti,iu et de r´esidus

Respfθ,iq i epiq

i eθ

2π , Respfθ,iq i ei

i eθ 2π . Pour r¡1, consid´erons

1m02td.1

$

'

'

'

&

'

'

'

%

I prq

»

C

fθpzqdz 2iπRespfθ,iqeθ, Iprq

»

C

fθpzqdz 2iπRespfθ,iqeθ. Par passage en coordonn´ees polaires, on a

eθ I prqIprq

»π

0

fθpreqrdα.

Ainsi,

eθIprq

¤

»π

0

fθpreq

rdα

»π

0

exppθrsinαq

|1 r2expp2iαq|rdα

»π

0

exppθrsinαq

|1{r rexpp2iαq|¤

»π

0

exppθrsinαq r1{r dα.

Comme pour α P r0, πs, sinα ¥ 0, et ainsi, si θ ¥ 0, exppθrsinαq ¤ 1. Pour θ ¥ 0, on a alors

eθ Iprq

¤

π

r1{r ÝÑ0 quand r Ñ8,

et ainsi ϕpθqeθ pour θ ¥0. Lorsque θ¤0, on peut consid´erer |eθIprq||Iprq Iprq|

et montrer comme pr´ec´edemment que ¸ca tend vers 0 quand r tend vers l’infini et qu’ainsi ϕpθq eθ pour θ ¤ 0, ou simplement remarquer que puisque la densit´e de la loi de Cauchy est paire, alors la fonction caract´eristique est elle aussi paire, et donc, de ϕpθq eθ pour θ ¥0, en d´eduire que ϕpθqe|θ| pour tout θ PR.

Pour une loi de Cauchy de param`etre a ¡ 0, nous savons que si X est de loi Cpaq, alors X{a est de loi Cp1q. Ainsi ϕapθqEreiθXsEreiaθpX{aqsϕpqea|θ|. l

(4)

4 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications

(ix) Soient m P R et σ ¡ 0. La fonction caract´eristique de la loi normale de moyenne m et d’´ecart-type σ est

θPRÞÝÑexp imθσ2θ2{2

.

D´emonstration. — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi Npm, σ2q. Nous savons alors que Z pXmq{σ est une variable al´eatoire r´eelle de loi Np0,1q. On a, pour toutθ PR,

ϕXpθqE

eiθX

E

epXmqeiθm

E

eiσθpXmq{σ eiθm

E

eiσθpXmq{σ

eiθmE

eiσθZ

eiθm ϕZpσθqeiθm. Il nous suffit donc de calculer la fonction caract´eristique ϕZ de la loi normale Np0,1q. Nous avons

ϕZpθq

»

8

8

eiθzez2{2 dz

?

2π .

D´emontrer que ϕZ est de classe C1 et que sa fonction d´eriv´ee s’obtient par d´erivation sous le signe somme est classique, nous nous en dispensons. Nous avons donc

ϕ1Zpθq d dθ

»

8

8

eiθzez2{2 dz

?

»

8

8 B

Bθ eiθzez2{2

dz

?

»

8

8 B

Bθ eiθz

ez2{2 dz

?

»

8

8

izeiθzez2{2 dz

?

2π . Puis nous int´egrons par parties en la variable z en notant quepez2{2q1 zez2{2

ϕ1Zpθq

»

8

8

i eiθz d

dzpez2{2q dz

?

i eiθzez2{2 1

?

8

8

»

8

8

i2θeiθzez2{2 dz

?

0θ

»

8

8

eiθzez2{2 dz

?

θϕZpθq. Ainsi la fonction ϕZ v´erifie l’´equation diff´erentielle ϕ1 fpθ, ϕq θ ϕ avec f continue, localement lipschitzienne en la deuxi`eme variable (elle est en faitC1 surRR) et la condition initiale ϕZp0q 1. D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy–Lipschitz, il y a unicit´e de la solution maximale associ´ee `a ce probl`eme de Cauchy. Comme la fonction θ ÞÑeθ2{2 v´erifie aussi ces conditions, par unicit´e, on a ϕZpθq eθ2{2 pour tout θ P R. La formule annonc´ee dans le lemme s’en d´eduit imm´ediatement : pour θ PR,

ϕXpθqE

eiθX

E

eimθepXmq

eimθE

epXmq

eimθE

eipσθqpXmq{σ

eimθE

eipσθqZ

eimθϕZpσθqexp imθσ2θ2{2

,

ce qui ´etait annonc´e. l

(x) Soienta etλ deux r´eels strictement positifs. La fonction caract´eristique de la loi Gamma de param`etres pa, λq est

θ PRÞÝÑexp

λ λ

a

. D´emonstration. — Soient a ¡0 etλ ¡0. Posons

ϕpθq

»

8

0

eiθx λa

Γpaqxa1eλxdx

»

8

0

C xa1epλqxdx.

Cette fonction est de classe C1 et on peut d´eriver sous le signe somme ϕ1pθq d

»

8

0

C xa1epλqxdx

»

8

0

C B

Bθ xa1epλqx

dx

»

8

0

iC xaepλqxdx

(5)

Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 5 Puis, en int´egrant par parties,

ϕ1pθq i iθλ

C xaepλqx

8

0

ia iθλ

»

8

0

iC xa1epλqx

dx0 ia

λiθ ϕpθq. Non rigoureusement,

ϕ1pθq

ϕpθq a i

λùñ ln ϕpθq

alnpλq Cte ùñ ϕpθqCtepλqa et puisque ϕp0q1Cteλa, Cte λa, et on a

ϕpθq

λ λ

a

.

Plus rigoureusement, ϕv´erifie une ´equation diff´erentielle du premier ordre ϕ1 fpθ, ϕq avec f continue, localement lipschitzienne en la deuxi`eme variable (elle est en fait C1 sur RR et on peut noter que le facteur ia{pλq est born´e dans C pour λ ¡ 0 fix´e et θ P R, elle est donc globalement lipschitzienne en la seconde variable) et la condition initialeϕZp0q1.

D’apr`es le th´eor`eme de Cauchy–Lipschitz, il y a unicit´e de la solution maximale associ´ee `a ce probl`eme de Cauchy. Consid´erons la d´etermination principale du logarithme Log :CzR ÑC et la fonction

φ:θ PRÞÝÑ

λ λ

a

exp

aLog

λ λ

PC

qui est bien d´efinie, d´erivable, v´erifiant l’´equation diff´erentielle qui nous occupe et satisfaisant φp0q1. Par unicit´e, on a donc ϕφ.

Remarque. — Le calcul se fait `a l’aide de simples int´egrations par parties lorsque a est un entier strictement positif. Pour a1, on est en pr´esence de la loi exponentielle de param`etre λ, et donc ϕ1pθqλ{pλq. Pour a¥2,

ϕapθq

»

8

0

λa

Γpaqxa1epλqxdx

»

8

0

λa

pa1q!xa1epλqxdx

λa

pλqpa1q!xa1epλqx

8

0

»

8

0

λapa1q

pλqpa1q!xa2epλqxdx

0 λ λ

»

8

0

λa1

pλqpa2q!xa2epλqxdx

λ

λϕa1pθq D’o`u on a ais´ement

ϕapθq

λ λ

a

.

On constate au passage que la somme deavariables al´eatoires de mˆeme loi la loi exponentielle de param`etre λ est de loi Gamma de param`etres pa, λq, et que la somme de deux variables al´eatoires ind´ependantes de respectivement de lois Gamma de param`etres pa, λq et pa1, λq a pour loi la loi Gamma de param`etres pa a1, λq.

Exercice 2 (vrai ou faux ?). — Il existe des variables al´eatoires X et Y ind´ependantes et de mˆeme loi, telles que PXY Upr1,1sq.

Correction.— Faux. — Supposons qu’il existe des variables al´eatoiresX etY ind´ependantes et de mˆeme loi, telles que PXY Upr1,1sq. Leur fonction caract´eristique commune ϕ v´erifie

ϕpθqϕpθqϕXpθqϕYpθqϕXYpθq sinpθq

θ pour θ0 et ϕp0q1.

(6)

6 Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications Or ϕpθq †ϕpθq, donc ce qui pr´ec`ede s’´ecrit

|ϕpθq|2 sinpθq

θ pour θ 0 et ϕp0q1,

ce qui est bien sˆur impossible puisque le sinus cardinal prend parfois des valeurs strictement n´egatives.

Exercice 3 (lois sym´etriques). — (i) Soit X une variable al´eatoire. Montrer que ϕX est `a valeur r´eelles si et seulement si X a une loi sym´etrique,i.e. PX PX.

(ii) Montrer que si X etY sont des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi, alors Z X Y a une loi sym´etrique.

Correction. — (i) Si X a une loi sym´etrique, on a

ϕXpθqϕXpθqϕXpθqϕ‡Xpθq,

et donc ϕX est `a valeurs r´eelles. La r´eciproque est imm´ediate en se servant de ce qui pr´ec`ede puisqu’alors ϕX ϕX, et ainsi X et X ont mˆeme loi.

(ii) Supposons X etY ind´ependantes et de mˆeme loi, alors

ϕXYpθqϕXpθqϕYpθqϕpθqϕpθqϕpθq†ϕpθq|ϕpθq|2

qui est r´eel (et mˆeme positif). D’apr`es la question pr´ec´edente, la loi deXY est sym´etrique.

Remarque. — Soit µ la loi commune de X et de Y. Puisque X et Y sont ind´ependantes, les vecteurs al´eatoires pX, Yq et pY, Xqont tous les deux pour loi µbµ. Par cons´equent, les images de leurs lois par l’application px, yqÞÑxy sont ´egales, ce qui signifie que XY et Y X ont mˆeme loi, la loi deX Y est donc bien sym´etrique.

Exercice 4 (loi triangulaire). — Soit X une variable al´eatoire r´eelle de densit´e fXpxq

p1|x|q1r1,1spxq. Montrer que ϕXpθq 2p1cosθq{θ2, θ 0. (Indication : soient U et V des variables al´eatoires ind´ependantes uniformes sur r1{2,1{2s; consid´erer U V.)

Correction. — Si U et V sont ind´ependantes toutes deux de loi uniforme sur r1{2,1{2s, alors X U V est de loi triangulaire de densit´e donn´ee par fXpxq p1|x|q1r1,1spxq. En effet, il suffit pour cela de calculer la fonction de r´epartition deX (se placer dans le carr´e

r1{2,1{2s2 muni de la mesure uniforme qui est la loi du couple pU, Vq, et d´eterminer les aires des domaines tpu, vqPr1{2,1{2s2:u v ¤xu) qui est

FXpxq

$

'

&

'

%

0 si x¤1

p1 xq2{2 si 1¤x¤0

p1 p1xq2q{2 si 0¤x¤1

1 si x¥1

constater que cette fonction est continue, d´erivable (par morceaux), et qu’elle est alors la primitive nulle en 8 de sa d´eriv´ee qui est continue (par morceaux)

fXpxq

$

'

&

'

%

0 si x ¤1 1 x si 1¤x ¤0 1x si 0¤x¤1 1 si x ¥1

p1|x|q1r1,1spxq. On a alors pour θ 0,

ϕXpθqϕUpθqϕVpθq

sinpθ{2q θ{2

2

2p1cosθq{θ2.

Notons que le r´esultat ne d´epend que de la loi deX et non de la possibilit´e ou non de l’´ecrire X U V comme pr´ec´edemment.

(7)

Feuille no 1. — Fonctions caract´eristiques et Applications 7 Remarque. — Le calcul direct est encore plus facile : pourθ 0, par deux arguments successifs de parit´e, on a

ϕXpθq

»1

1

eiθxp1|x|qdx

»1

1

cospθxqp1|x|qdx2

»1

0

cospθxqp1xqdx

2 sinpθxq

θ p1xq

1

0

»1

0

2 sinpθxq

θ dx0

2 cospθxq θ2

1

0

2p1cosθq{θ2. Mais ´evidemment, on voit moins de probabilit´es en cours de route.

Exercice 5 (transform´ee de Mellin). — Soit X une variable al´eatoire positive. Sa trans- form´ee de Mellin est la fonction

TXpθqE

Xθ

pour toutes les valeurs de θ pour lesquelles l’esp´erance deXθ existe.

(i) Montrer que TXpθqϕlnXpθ{iqquand les deux membres sont bien d´efinis.

(ii) Montrer que si X et Y sont ind´ependantes et positives, on a TXYpθqTXpθqTYpθq. (iii) Montrer queTbXapθqbθTXpqpour b¡0 et aθ dans le domaine de d´efinition de TX. (iv) Trouver la transform´ee de Mellin d’une variable al´eatoire log-normale X de param`etres

pm, σ2q. Utiliser le fait que TXpkq ErXks pour calculer le k-i`eme moment de X pour k 1, 2, . . .

Correction. — Attention aux 00?

(i) Remarquons que TXpθq ErXθs et ϕlnXpθ{iq EreθlnXs sont bien d´efinies dans R Y

t 8u puisque les variables al´eatoires qu’on int`egre sont positives. Comme eθlnX Xθ, l’´egalit´e est alors ´evidente.

(ii) Soient X et Y positives, ind´ependantes, et θ P R. Alors, Xθ et Yθ sont positives et ind´ependantes et le th´eor`eme de Fubini–Tonelli permet d’affirmer que E rpXYqθs E rXθ Yθs ErXθsErYθs, soit TXY TX TY.

(iii) On a TbXapθqE rpbXaqθsbθE rXsbθTXpq.

(iv) Une variable al´eatoire X est log-normale de param`etres pm, σ2q, si elle est presque sˆurement strictement positive et si lnpXq a pour loi Npm, σ2q. D’apr`es la question (i), TXpθqϕlnpXqpθ{iqexppmθ σ2θ2{2q. Les moments s’en d´eduisent imm´ediatement.

Remarque. — Cet exercice peut sembler creux. Son rˆole est de faire parler de la transformation de Mellin.

Exercice 6 (loi de Laplace). — Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires r´eelles ind´epen- dantes de mˆeme loi, la loi de Laplace, c’est-`a-dire PXipdxq 12e|x|dx. Notons ϕ ϕXi la fonction caract´eristique de Xi. On d´efinit les variables al´eatoires Y1 et Y2 par

Y1

Y2

1 1

1 1

X1

X2

.

Montrer les faits suivants :

(i) on a ϕpθqp1 θ2q1 pour θPR;

(ii) les variables al´eatoires Y1 et Y2 ont mˆeme fonction caract´eristique, donc mˆeme loi ; elles sont non corr´el´ees et ne sont pas ind´ependantes.

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