1 Variance de la somme de variables al´eatoires ind´ependantes (15 points)

ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

c 2012, Steve Ambler Hiver 2012

Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse,il va de soique la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.

La documentation n’est pas permise. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc vous n’avez pas besoin de calculatrice).

En fait, je vous sugg`erefortementdene pas simplifierles r´eponses. Cela va me permettre de suivre beaucoup plus facilement votre raisonnement et je pourrai accorder des points partiels mˆeme si vous faites des erreurs mineures. Vous avez trois heures.

1 Variance de la somme de variables al´eatoires ind´ependantes (15 points)

SoitXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes. Par d´efinition, la variance de la somme de deux variables est donn´ee par

Var(X+Y) =

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =Xi , Y =Yj) (Xi+Yj −E(X+Y))². Puisque les deux variables sont par hypoth`ese ind´ependantes, nous pouvons

´ecrire

Var(X+Y) =

m

X

i=1 n

X

j=1

Pr(X =X_i)Pr(Y =Y_j) (X_i +Y_j −E(X+Y))². puisque

Pr(X =Xi , Y =Yj) =Pr(X =Xi)Pr(Y =Yj), ∀i, j.

A partir de la deuxi`eme ´egalit´e, montrez explicitement que` Var(X+Y) = Var(X) +Var(Y).

Indice : regroupez(X_i−E(X))et(Y_j−E(Y))du cˆot´e droit des sommations avant d’aller plus loin. Utiliser le fait que puisque Pr(X =X_i)et(X_i−E(X)) ne d´ependent pas dej, vous pouvez les sortir (´ecrire de l’autre cˆot´e) de la deuxi`eme sommation.

2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)

Vous jetez une pi`ece de monnaie non truqu´ee. SoitXla variable al´eatoire qui prend la valeur de0en cas de pile et1en cas de face. Si vous obtenez un0, vous jetez un d´e ordinaire non truqu´e (faces num´erot´ees de 1 `a 6). Si vous obtenez un 1, vous pigez une carte dans un chapeau qui contient des cartes num´erot´ees de 1

`a 4 (une carte de chaque valeur). Appelez la valeur obtenue dans ce deuxi`eme tour la variable al´eatoire Y.

1. Faites un tableau qui donne les distributions de probabilit´e jointes et marginales pour les deux variables al´eatoires.

2. ´Ecrivez une expression pour E(X).

3. ´Ecrivez une expression pour E(Y).

4. ´Ecrivez une expression pour E(Y|X = 1).

5. ´Ecrivez une expression pour E(X|Y = 2)

6. Est-ce que les deux variables al´eatoires sont ind´ependantes ? Expliquez.

3 Estimateur de l’esp´erance (20 points)

Vous avez deux ´echantillons de donn´ees de taillen= 300avec des observations i.i.d. sur les r´ealisations de deux variables al´eatoiresY₁ etY₂. Vous ne savez pas quelle est la loi qui g´en`ere les deux variables al´eatoires, mais par contre vous savez (pour une raison qui n’est pas importante) que

σ_Y² ≡Var(Y₁) = 1

2Var(Y₂) et

E(Y₁) =E(Y₂)≡µ_Y.

Par contre, vous ne connaissez niµ_Y niσ²_Y. Vous voulez estimerµ_Y de la mani`ere la plus pr´ecise possible.

1. Est-ce que votre estimateur va donner un poids ´egal aux observations provenant des deux ´echantillons ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas. Pas besoin d’alg`ebre pour cette sous-question — donnez une r´eponse intuitive.

2. Montrez que l’estimateur donn´e par Ye ≡ 1

2n

n

X

i=1

Y1i+ 1 2n

n

X

i=1

Y2i.

est non biais´e. Notez que cet estimateur donne un poids ´egal `a toutes les observations.

3. Calculez la variance ´echantillonnale de l’estimateurYe.

4. Calculez la variance ´echantillannale de l’estimateur donn´e par

˚Y ≡ m n

n

X

i=1

Y_1i+ (1−m) n

n

X

i=1

Y_2i, 0< m <1.

5. Montrez que la valeur demqui minimise la variance ´echantillonnale de˚Y estm= ²₃.

4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (45 points)

On a des donn´ees sur l’output, l’emploi et le stock de capital de 280 firmes. On veut estimer les param`etres d’une fonction de production Cobb-Douglas avec

rendements constants `a l’´echelle. On a

Y_i =e^β0K_i^1−β1L_i^β1e^ui

⇒ Y_i

K_i

=e^β0 L_i

K_i β1

e^ui

⇒ln Yi

K_i

=β₀+β₁ln Li

K_i

+u_i,

o`uY<sub>i</sub>est l’output de la firme,K<sub>i</sub> est son stock de capital,L<sub>i</sub> est son emploi, ete<sup>β0</sup> est le niveau du progr`es technique qu’on suppose constant `a travers les firmes.

Cette transformation montre que nous pouvons estimerβ₁, la part du travail, en estimant une r´egression lin´eaire simple avec le ratio output/capital (en logs) comme variable d´ependante et le ratio emploi/capital (aussi en logs) comme variable explicative. Supposons les r´esultats suivants pour notre estimation.

Coefficient Estim´e Ecart type´

β₀ 0.130 5.371

β1 0.690 0.023

On a aussi

n 280

SSR 451.78 ESS 236.49

o`unest le nombre d’observations,SSRest la somme des r´esidus au carr´e et ESS est la somme expliqu´ee des carr´es. SoitΦ(z)≡P r(Z ≤z)pour une variable al´eatoireZ qui suit une distribution normale centr´ee r´eduite.

1. Donnez une interpr´etation ´economique deβˆ₁. 2. Quelle est la somme totale des carr´es (T SS) ?

3. Montrez comment calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R²).

4. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.

5. Montrez comment calculer la statistiquetpour tester la significativit´e de βˆ₁. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H<sub>0</sub>) qui est test´ee ? Quelle est l’hypoth`ese alternative (H₁) dans ce cas ?

6. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la distribution (loi) de la statistique faites-vous ?

7. Sans chercher dans les tables, est-ce que vous pouvez dire que le coefficientβˆ₁est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.

8. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H<sub>0</sub> : β<sub>1</sub> = 0.66 contre l’hypoth`ese alternative

H₁ : β₁ >0.66.

9. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.

10. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le coefficientβ₁. Montrez votre travail. Vous n’ˆetes pas oblig´es de calculer une valeur num´erique pour cet intervalle de confiance. Vous pouvez utiliser Φ(−1.96) ≈0.025.

11. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 99% pour le coefficientβ₀. Montrez votre travail. Vous pouvez utiliser

Φ(−2.58) ≈0.005.

5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (20 points (bonus))

Soit le mod`ele lin´eaire suivant

Yi =β0+β1Xi+ui. o`u les observations sont ordonn´ees pour que

Xi > Xi−1,

et donc ordonn´ees en valeurs croissantes de la variable expicativeX_i. Consid´erez le mod`ele suivant

∆Yi =β1∆Xi+vi, avec

∆Y_i ≡Y_i−Yi−1, ∆X_i ≡X_i−Xi−1, v_i ≡u_i−ui−1.

1. Trouvez l’estimateur MCO deβ₁, c’est `a dire la valeur qui minimise la somme des r´esidus au carr´e,

min

β1

n

X

i=2

(∆Y_i−β₁∆X_i)².

Notez que la sommation commence aveci= 2— en calculant les

diff´erences entre nos observations, nous perdons une observation de notre

´echantillon.

2. Si on suppose que

E(vi|∆X_i) = 0,

montrez que cet estimateur (qu’on peut appelerβˆ₁) est non biais´e.

3. Consid´erez l’estimateur donn´e par β˜₁ =

1 n

Pn i=2∆Y_i

1 n

Pn

i=2∆X_i. Est-ce que cet estimateur est non biais´e ?

4. Entre les deux estimateurs, peut-on dire queβˆ₁est plus ou moins efficient queβ˜₁? Expliquez. Indice — utilisez un raisonnement g´en´eral : il n’est pas n´ecessaire de calculer les variances ´echantillonnales des deux estimateurs.

cr´e´e le : 19/02/2012