ECO 4272: Introduction `a l’ ´ Econom´etrie Examen Final
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec `a Montr´eal
c 2010, Steve Ambler Hiver 2010
Je vous demande d’´ecrire lisiblement si vous envoyez une copie ´ecrite `a la main. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
1 R´eponses courtes (20 points)
1. Voici un exemple d’hypoth`ese jointe pour un mod`ele de r´egression mul- tiple :
β2 = 1 , β3 =β4/β5.
Est-ce que cette hypoth`ese jointe peut ˆetre test´ee avec une statistique F ? Expliquez clairement pourquoi ou pourquoi pas.
2. Pour tester une hypoth`ese jointe, on peut construire une statistique t pour tester chaque hypoth`ese individuelle de l’hypoth`ese jointe, et on peut rejeter l’hypoth`ese jointe si au moins une des hypoth`eses individuelles est rejet´ee.
Est-ce que cet ´enonc´e est vrai, faux ou incertain ? Expliquez en d´etail.
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3. Lors de l’ajout d’une variable explicative suppl´ementaire `a un mod`ele de r´egression, la mesure de l’ajustementR2 peut augmenter ou diminuer. Est- ce que cet ´enonc´e est vrai, faux ou incertain ? Expliquez clairement.
4. L’omission d’une variable explicative significative d’un mod`ele de r´egre- ssion multiple a forc´ement pour r´esultat que les coefficients de toutes les autres variables explicatives sont biais´es. Vrai ou faux ? Expliquez en d´etail.
(Indice : de quels facteurs d´epend le biais dans le cas d’une variable omise ?)
2 Propri´et´es d’estimateurs (20 points)
Soit l’estimateurβ˜d’un vecteur de param`etresβ de dimensions(k+ 1)×1 d’un mod`ele de r´egression lin´eaire multiple.
1. Si l’estimateur β˜ est non biais´e, cela veut dire en notation math´ematique que . . . (compl´eter).
2. Expliquez en mots ce que veut dire la notation suivante : β˜−→p β.
3. Expliquez en mots la diff´erence entre β˜−→p β et
β˜−→d N
β,Σ˜β . o`uΣ˜β est la matrice variance-covariance deβ.˜ 4. Expliquez en mots pourquoi au lieu de montrer que
β˜−→d N β,Σ˜β il est plus habituel de montrer plutˆot que
√n
β˜−β d
−
→N
0, nΣ˜β ,
o`u n est le nombre d’observations dans l’´echantillon utilis´e pour calculer l’estimateurβ.˜
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5. D´ecrivez en mots ce que veut dire l’efficience de l’estimateur β˜ dans le contexte de la r´egression multiple.
6. Sous quelles conditions est-ce que l’estimateur MCO deβest efficient dans le mod`ele de r´egression multiple ? Est-ce que ces conditons font partie des hypoth`eses de base du mod`ele de r´egression multiple, au moins la version du mod`ele pr´esent´ee dans le chapitre 6 du manuel ?
3 Estimateur MCO (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+. . .+βkXki+ui
1. ´Ecrivez le mod`ele en notation matricielle. ´Ecrivez une expression pour chaque matrice et/ou vecteur qui montre explicitement quels sont ses
´el´ements.
2. ´Ecrivez, toujours en notation matricielle, le probl`eme de minimisation `a r´esoudre pour trouver l’estimateurβˆdes coefficients. Notez que je ne vous demande pas der´esoudrele probl`eme.
3. ´Ecrivez le probl`eme de minimisation `a r´esoudre en notation non matricielle.
Notez que je ne vous demande pas der´esoudrele probl`eme.
4. Quelles sont les variables de choix du probl`eme de minimisation ?
5. Pour des points suppl´ementaires, ´ecrivez les conditions du premier ordre (pour la version du probl`eme en notation non matricielle).
6. Sous quelles conditions est-ce qu’il y a une solution unique au probl`eme de minimisation ?
4 Tests d’hypoth`ese (20 points)
Vous venez d’estimer le mod`ele de r´egression suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X4i+β5X5i+ui
1. ´Ecrivez sous forme matricielle l’ensemble de restrictions (simultan´ees) sui- vantes :
β1 = 0;
3
β2+ 3β3 = 1;
β4 =β5.
2. Quels sont les degr´es de libert´e de la statistique F qu’on utiliserait pour tester cette ensemble de restrictions ? Expliquez clairement.
3. Quelle est la diff´erence entre les versions robuste et non robuste de ce test ? 4. ´Ecrivez une version transform´ee du mod`ele qui impose les trois restrictions simultan´ement. Montrez votre travail. Expliquez comment tester les trois restrictions `a partir de l’estimation des versions contrainte (version qui im- pose les restrictions) et non contrainte du mod`ele.
5. Pour que cette derni`ere fac¸on de tester les restrictions soit valide, quelle(s) hypoth`ese(s) faut-il faire concernant le terme d’erreurui?
5 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression non lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X1i2+β3X2i+β4X1iX2i+ui
Vous avez estim´e ce mod`ele et vous voulez pr´edire l’impact surYid’une augmen- tation deX1i.
1. Est-ce que ce mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres ? Expliquez clai- rement en donnant une r´eponse math´ematique ainsi qu’en mots.
2. D´erivez une expression alg´ebrique pour le changement pr´edit∆Yi ≡Y2−Y1 suite `a un changement de la valeur de la premi`ere variable explicative deX11
`aX12, pour une valeur constante de la deuxi`eme variable donn´ee par X21. Autrement dit,∆X1 =X12−X11. Notez queY2 se r´ef`ere `a la valeur deY apr`es le changement de la valeur deX1, etY1 se r´ef`ere `a sa valeur avant le changement.X11se r´ef`ere `a la valeur initiale deX1etX12`a sa valeur apr`es le changement. La valeur deX2 reste constante.
3. D´ecrivez en d´etail deux fac¸ons diff´erentes de calculer l’intervalle de con- fiance associ´e `a ce changement pr´edit. (Autrement dit, d´ecrivez comment calculer l’´ecart type du changement pr´edit.) Montrez votre travail.
document cr´e´e le : 21/04/2010
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