D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

c 2013, Steve Ambler Hiver 2013

Consignes

1. Ecrivez lisiblement.´

2. Justifiez vos r´eponses. La majorit´e des points seront attribu´ees pour le raisonnement, et je ne pourrai accorder aucun point pour une mauvaise r´eponse sans justification.

3. La documentation n’est pas permise.

4. Ne simplifiez pas vos r´eponses. Cela va me permettre de suivre plus facile- ment votre raisonnement. Voir le point 2.

5. Les calculatrices ne sont pas permises. Voir le point 4.

1 Variance d’une combinaison lin´eaire de variables al´eatoires (15 points)

SoitX et Y deux variables al´eatoires discr`etes. Soita<sub>0</sub>,a<sub>1</sub>, b<sub>0</sub> etb<sub>1</sub> des con- stantes quelconques. La d´efinition de la variance pour une combinaison lin´eaire de variables al´eatoires discr`etes est donn´ee par

Var((a₀+a₁X) + (b₀+b₁Y))≡

k

X

i=1 n

X

j=1

((a₀+a₁X_i) + (b₀+b₁Y_j)−E[(a₀+a₁X) + (b₀+b₁Y)])²h_ij o`u il y a k r´ealisations distinctes possibles pour la variable X et n r´ealisations distinctes possibles pour la variableY, et o`uh_i,j est la probabilit´e de l’´ev´enement (le r´esultat) joint. Montrezen d´etail `a partir de la d´efinitionque

Var((a₀+a₁X) + (b₀+b₁Y)) = a₁²Var(X) +b₁²Var(Y) + 2a₁b₁Cov(X, Y).

2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)

Soit deux variables al´eatoiresX et Y.X peut prendre les valeurs{2,3,4,5}

etY peut prendre les valeurs{5,6,7}. Les probabilit´es jointes sont comme suit.

Pr(X = 2, Y = 5): 1/8 Pr(X = 2, Y = 6): 1/16 Pr(X = 2, Y = 7): 1/16 Pr(X = 3, Y = 5): 1/4 Pr(X = 3, Y = 6): 1/8 Pr(X = 3, Y = 7): — Pr(X = 4, Y = 5): 1/16 Pr(X = 4, Y = 6): 1/32 Pr(X = 4, Y = 7): 1/32 Pr(X = 5, Y = 5): 1/16 Pr(X = 5, Y = 6): 1/32 Pr(X = 5, Y = 7): 1/32 R´epondez aux questions suivantes.

1. Trouvez la valeur qui manque et expliquez comment vous la trouvez.

2. Construisez un tableau (avec trois colonnes pour les valeurs possibles deY et quatre rang´ees pour les valeurs possibles deX) qui donne les probabilit´es jointes, et indiquez sur le mˆeme tableau les probabilit´es marginales pour chaque variable al´eatoire individuelle.

3. Calculez la probabilit´e conditionnelle suivante : Pr(X = 3|Y = 7)

4. Calculez la probabilit´e contionnelle suivante : Pr(Y = 5|X = 2) 5. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante :

E(X|Y = 5). 6. Calculez l’esp´erance conditionnelle suivante :

E(Y|X = 4). 7. Calculez l’esp´erance non conditionnelle deX.

8. Calculez l’´esp´erance non conditionnelle deY.

9. Est-ce que les variablesXetY sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.

3 Tests d’hypoth`ese (20 points)

Vous avez un estim´e non biais´es²_Y de la variance d’une variable al´eatoire Y, o`u σ²_Y d´enote cette variance (dans la population). Vous savez que la variance de cet estim´e (ajust´e pour la taille de l’´echantillon) est donn´ee par σ²_s2

Y. Vous voulez tester l’hypoth`ese nulle suivante :

H₀ :σ_Y² =σ²_Y0

contre l’hypoth`ese alternative

H₁ :σ_Y² 6=σ²_Y0

R´epondez aux questions suivantes.

1. ´Ecrivez une statistique normalis´ee qui permettrait de tester l’hypoth`ese nulle, si vous connaissez la valeur deσ_s²2

Y

.

2. Quelle est l’esp´erance de cette statistique normalis´ee ? Quelle est sa vari- ance ? Expliquez en d´etail.

3. Quelle est l’hypoth`ese que vous faites concernant la loi qui g´en`ere la statis- tique normalis´ee que vous utilisez ?

4. SoitΦ(z)la fonction qui donne la la normale centr´ee r´eduite cumul´ee ´evalu´ee au pointz. ´Ecrivez une expression qui donne lap-value du test.

5. Maintenant, supposez que vous ne connaissez pas la valeur deσ_s²2 Y

. Qu’est- ce que vous pouvez faire ?

6. En r´ef´erence `a votre r´eponse `a la sous-question pr´ec´edente, maintenant quelle est l’esp´erance et quelle est la variance de votre statistique calcul´ee ?

4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (45 points)

Voici l’output d’un mod`ele de r´egression simple.

Coefficient Estim´e Ecart type´

β₀ 15.13 10.38

β1 0.33 0.18

On a aussi

n 310

SSR 543.4 T SS 789.1

o`u n est le nombre d’observations, SSR est la somme des r´esidus au carr´e et T SS est la somme totale des carr´es. Soit Φ(z) ≡ P r(Z ≤ z)pour une variable al´eatoireZqui suit une distribution normale centr´ee r´eduite.

1. Quelle est la somme expliqu´ee des carr´es (ESS) ?

2. Montrez deux fac¸ons de calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R²).

3. Montrez comment calculer le coefficient de corr´elation entre la variable d´ependante du mod`ele de r´egression et la variable explicative.

4. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.

5. Montrez comment calculer la statistique t pour tester la significativit´e de βˆ₁. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H<sub>0</sub>) qui est test´ee ? Quelle est l’hypoth`ese alternative (H₁) dans ce cas ?

6. ´Ecrivez une expression pour lap-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la distribution (loi) de la statistique faites-vous ?

7. Sans chercher dans les tables, est-ce que vous pouvez dire si le coefficient βˆ₁ est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.

8. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H<sub>0</sub> : β<sub>1</sub> = 0.5 contre l’hypoth`ese alternative

H₁ : β₁ <0.5.

9. ´Ecrivez une expression pour lap-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.

10. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 95% pour le coef- ficient β₀. Montrez votre travail. Vous n’ˆetes pas oblig´es de calculer une valeur num´erique pour cet intervalle de confiance. Vous pouvez utiliser Φ(−1.96) ≈0.025.

11. Montrez comment calculer un intervalle de confiance de 99% pour le coef- ficientβ₁. Montrez votre travail. Vous pouvez utiliserΦ(−2.58)≈0.005.

5 Efficience (20 points en bonus)

Soit le mod`ele lin´eaire suivant sans constante : Y_i =βX_i+u_i. Vous pouvez supposer que

E(ui|X1. . . Xn) = 0, que

Var(u_i|X₁. . . X_n) =σ_u²,

et que les erreurs ne sont pas corr´el´ees. Soit un estimateur lin´eaire quelconque (lin´eaire dans lesY_i) pourβ d´efini par

β˜≡

n

X

i=1

a_iY_i.

R´epondez aux questions suivantes. Justifiez vos r´eponses dans tous les cas. Notez qu’il y a quelques sous-questions qui sont relativement faciles.

1. Trouvez une restriction sur(Pn

i=1a_iX_i)pour assurer queβ˜soit un estima- teur non biais´e. Indice – substituez (βX_i+u_i) pour Y_i dans la d´efinition de l’estimateur et calculez l’esp´erance conditionnelle. La restriction devrait ˆetre ´evidente.

2. Calculez la variance conditionnelle deβ˜comme une fonction desa_i. 3. Soit les deux estimateurs diff´erents pourβ:

β¯≡ Pn

i=1Yi

Pn i=1X_i. βˆ≡

Pn i=1X_iY_i Pn

i=1X_i²

Montrez que les 2 estimateurs sont des estimateurs lin´eaires (dans lesY_i).

4. Utilisant ce que vous avez trouvez en r´eponse `a la sous-question 1, montrez que les deux estimateurs sont nont biais´es.

5. Utilisant ce que vous avez trouvez en r´eponse `a la sous-question 2, calculez lequel des deux estimateurs est plus efficient. Expliquez ce que vous trou- vez. Vous pouvez prendre pour acquis que¹

n

n

X

i=1

X_i² ≥

n

X

i=1

X_i

!2

.

cr´e´e le : 20/02/2013

1. Ceci doit ˆetre le cas puisque nPn i=1Xi2

≥ (Pn

i=1Xi)² ⇔ (n −1)Pn

i=1Xi2

≥ 2P

i<jXiXj ⇔P

i<j(Xi−2XiXj−Xj)² ≥0,ce qui doit ˆetre le cas puisqu’il s’agit d’une somme de carr´es.