ECO 4272-50: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2018, Steve Ambler Hiver 2018
Consignes
1. Ecrivez lisiblement.´
2. Justifiez vos r´eponses. La majorit´e des points seront attribu´ees pour le raisonnement, et je ne pourrai accorder aucun point pour une mauvaise r´eponse sans justification.
3. La documentation n’est pas permise.
4. Ne simplifiez pas vos r´eponses. Cela va me permettre de suivre plus facilement votre raisonnement. Voir le point 2.
5. Les calculatrices ne sont pas permises. Voir le point 4.
6. Les t´el´ephones cellulaires ne sont pas permises.
7. Bon travail !
1 R´eponses courtes 20 points
Les questions portent sur le mod`ele de r´egression simple ´etudi´e en classe : Yi =β0+β1Xi+ui.
• Dans le mod`ele de r´egression estim´e, la relation suivante entreXietui tient :
E
Xi−X¯2
ui2
>0
o`uuiest le terme d’erreur dans le mod`ele. Autrement dit, il y a une relation positive entre la taille de l’erreur et la distance de la r´ealisation Xipar rapport `a sa moyenne. Est-ce que l’´ecart type deβˆ1 (non robuste) va sur-estimer ou sous-estimer la pr´ecision avec la quelle vous pouvez estimerβ1? Expliquez.
• Avec les hypoth`eses statistiques que nous faisons nous pouvons montrer l’efficience de l’estimateur MCO de{βˆ0,βˆ1}. Vrai ou faux ? Expliquez.
• Expliquez bri`evement pourquoi l’estimateur MCO est l’estimateur le plus fr´equemment utilis´e pour estimer les valeurs deβ0 et deβ1.
• Lorsqu’on utilise des ´ecarts types robustes, cela affect les valeurs estim´ees deβˆ0et deβˆ1. Vrai, faux ou incertain ? Justifiez.
2 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)
SoitXle nombre d’achats effectu´es par carte de cr´edit par semaine par un individu, et soitY le nombre de cartes de cr´edit que l’individu poss`ede. Voici le tableau des probabilit´es joints :
X
0 1 2 3
1 .08 .10 .10 .02 Y 2 .08 .05 .22 .05
3 .04 – .04 .18
1. Quelle est la valeur qui manque du tableau ?
2. Trouvez les probabilit´es marginales pour le nombre d’achats effectu´es.
3. Trouvez l’esp´erance non conditionnelle du nombre d’achats effectu´es.
4. Trouvez les probabilit´es marginales pour le nombre de cartes de cr´edit que l’individu poss`ede.
5. Trouvez l’esp´erance non conditionnelle du nombre de cartes de cr´edit.
6. Trouvez l’esp´erance conditionnelle du nombre de transactions si l’individu a 2 cartes de cr´edit.
7. Si l’individu effectue 2 achats, trouvez l’esp´erance conditionnelle du nombre de cartes de cr´edit.
8. Est-ce que les variables al´eatoiresX etY sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.
3 Estimateur de la moyenne d’une variable al´eatoire (20 points)
Soit le mod`ele suivant :
Yi =β0+ui.
C’est donc comme le mod`ele de r´egression simple mais avec uniquement une constante. L’erreuruipeut ˆetre consid´er´e comme une erreur de pr´evision. On an observations sur la variableY (c’est `a direi= 1,2,3, . . . , n).
1. ´Ecrivez le probl`eme de minimisation qui consiste en la minimisation de la somme des erreurs au carr´e.
2. ´Ecrivez la condition du premier ordre pour le choix deβ0. 3. Trouvez la solution pourβ0, que vous pouvez appelerβˆ0.
4. Quel serait l’estimateur conventionnel de la variance deY ? Vous pouvez appeler cet estimateurs2Y.
5. Sur la base des r´esultat que vous venez de trouver, ´ecrivez la statistiquet que vous pourriez utiliser pour tester l’hypoth`ese nulle queµY =µ0Y, o`u µY est la vraie moyenne de la variable al´eatoireY.
6. `A quelle loi (de probabilit´e) ob´eit votre statistique en ´echantillon fini ? Expliquez.
7. `A quelle loi (de probabilit´e) ob´eit cette statistique si le nombre d’observationsnest tr`es ´elev´e ?
8. Avez-vous utilis´e (au moins implicitement) un th´eor`eme pour r´epondre `a la sous-question pr´ec´edente ? Lequel ?
4 R´egression simple, tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (40 points)
Vous mod´elisez le rendement de l’investissement en ´education. Vous avez des donn´ees sur le salaire-horaireYid’individus ag´es de 29 ou 30 ans et des donn´ees
surXi le nombre d’ann´ees d’´etudes. Votre mod`ele de r´egression est Yi =β0+β1Xi+ui.
Vous estimez votre mod`ele avec un logiciel qui vous donne les r´esultats suivants : Coefficient Estim´e Ecart type´
β0 1.526748 0.0848651
β1 -3.582800 1.090062
On a aussi
n 2753 SER 9.2463 T SS 297,420.40
o`unest le nombre d’observations,SERest l’´ecart type de la r´egression, et TSS est la somme totale des carr´es.
SoitΦ (z)la fonction normale centr´ee r´eduite cumul´ee ´evalu´ee au point o`u la r´ealisation de la variable al´eatoire est ´egale `az.
1. Donnez une interpr´etation ´economique deβˆ1.
2. `A partir de la valeur pourSER, montrer comment calculer la somme des r´esidus carr´es (SSR).
3. Montrez comment calculer la mesure d’ajustement statistique de la r´egression (R2).
4. Montrez comment calculer la statistiquetpour tester la significativit´e de βˆ1. Quelle est l’hypoth`ese nulle (H0) qui est test´ee ? Quelle est
l’hypoth`ese alternative (H1) qui est test´ee ?
5. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus. Quelles hypoth`eses concernant la
distribution (loi de probabilit´e) de la statistique faites-vous ? 6. Expliquez en motes le concept d’´ecarts typesrobustes. 7. Sans chercher dans des tables, est-ce que vous pouvez dire que le
coefficientβˆ1 est significatif `a un niveau de 5% ? Expliquez.
8. Montrez comment tester l’hypoth`ese nulle suivante H0 : β1 =−1.0 contre l’hypoth`ese alternative
H1 : β1 <−1.0.
9. ´Ecrivez une expression pour la p-value de cette statistique en fonction de la fonctionΦd´efinie ci-dessus.
10. ´Ecrivez une expression pour l’intervalle de confiance `a 95% pourβ1? Expliquez en motes quelle est son interpr´etation.
11. L’intervalle de confiance `a 99% serait-il plus ´etroit ou plus large ? Expliquez en mots.
5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (20 points en bonus)
Soit le mod`ele lin´eaire suivant
Yi =β1Xi+ui.
Il s’agit d’une ligne droite qui (en l’absence du terme d’erreurui passe par l’origine). Soit l’estimateur deβ1donn´e par
β˜1 = 1 n
n
X
i=1
Yi Xi
.
1. Est-ce queβ˜1 est l’estimateur moindres carr´es ordinaires deβ1? Expliquez.
2. Montrez queβ˜est une fonction lin´eaire desYi, ´etant donn´ees les valeurs desXi.
3. Montrez queβ˜1est un estimateur non biais´e deβ1. Indice — utilisez la d´efinition de l’estimateur pour substituerYidans la d´efinition de
l’estimateur, simplifiez, et finalement appliquez l’op´erateur d’esp´erance `a l’expression simplifi´ee, utilisant aussi la loi des esp´erances it´er´ees.
4. Essayez de montrer que la variance deβ˜1 tend vers z´ero. Vous pouvez supposer que
Var ui
Xi
=Var(vi) =σv2,
ce qui d´ecoulerait d’une hypoth`ese selon laquelle les observations sont i.i.d.
5. ´Etant donn´ee la r´eponse `a la partie pr´ec´edente, est-ce queβ˜1 est un estimateur convergent deβ1? N’essayez pas de montrer la convergence rigoureusement, donnez plutˆot un argument intuitif.
6. Est-ce queβ˜1 est l’estimateur le plus efficient deβ1? Expliquez.
cr´e´e le : 19/02/2018
