ECO 4272: ´ Economtrie Examen Intra
Steve Ambler
D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal
c 2008, Steve Ambler Hiver 2008
Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.
La documentation n’est pas permise. Seules les calculatrices simples (sans ´ecran graphique) sont permises. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc, en principe, vous n’avez pas vraiment besoin de calculatrice). Vous avez trois heures.
1 Variables al´eatoires standardis´ees (10 points)
Soit la variable alatoireY dont la moyenne est ´egaleµY et dont la variance est
´egaleσY2. D´efinissez une variable al´eatoire qui est une transformation lin´eaire de Y et qui a une moyenne nulle et une variance unitaire. Montrez explicitement (cela veut dire partir des d´efinitions de la moyenne et de la variance) que la moyenne de la variable transform´ee est nulle et que sa variance est unitaire.
2 Covariance entre deux variables al´eatoires (10 points)
Une d´efinition possible de la covariance´echantillonnaleest la suivante : sXY ≡ 1
n−1
n
X
i=1
Xi−X¯ Yi−Y¯,
o`u, comme d’habitude,X¯ etY¯ sont les moyennes ´echantillonnales deXetY. Montrez, utilisant la d´efinition d’une moyenne ´echantillonnale, que ceci est identique `a :
sXY ≡ 1 n−1
n
X
i=1
Xi Yi− n n−1
X¯ Y .¯
3 Distributions de probabilit´e jointes (20 points)
Voci la distribution de probabilit´e jointe de la citoyennet´e et le fait de recevoir un prix Nobel en ´economie versus une autre discipline. L’´echantillon va de 1969 `a 2001. Vous pouvez penser au tableau comme repr´esentant une population et non comme un ´echantillon d’une population plus grande. Les chiffres dans le tableau donne les probabilit´es des ´ev´enements joints.
Citoyennet´e am´ericaine Autre citoyennet´e total
(X=0) (X=1)
Prix en ´economie 0.118 0.049
(Y=0)
Prix en physique, chimie, 0.345 0.488
m´edicine, litt´erature, paix (Y=1)
total
1. Compl´etez le tableau avec les probabilit´es marginales.
2. CalculezE(Y)et interpr´etez ce que cela veut dire.
3. CalculezE(Y|X = 1)etE(Y|X = 0)et interpr´etez ce que ces chiffres veulent dire.
4. On s´electionne de fac¸on al´eatoire un(e) r´ecipiendaire du prix Nobel, qui
5. ´Etant donn´ees les probabilit´es marginales que vous avez calcul´ees dans la premi`ere sous-partie de la question, montrez `a quoi ressemblerait le tableau si les deux variables al´eatoires ´etaient ind´ependantes.
4 Estimateur de la moyenne d’une variable al´eatoire (20 points)
Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µY et avec une variance finie :
var(Y) =σY2.
Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :
Y˜ = 2 n
n/2
X
i=1
0.9Y2i−1+ 2 n
n/2
X
i=1
0.1Y2i.
Un mot d’explication sur les sommations. La premi`ere sommation est la sommation (Y1+Y3+. . .+Yn−1). La deuxi`eme sommation est la sommation (Y2 +Y4+. . .+Yn). Vous pouvez supposez que la taille de l’´echantillon est un nombre pair.
1. Est-ce que l’estimateurY˜ est non biais´e ? Justifiez votre r´eponse.
2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de l’´echantillon donn´e parn.
3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?
4. Est-ce que l’estimateurY˜ est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµY ? Ne donnez pas de preuve formelle, mais expliquez intuitivement votre r´eponse.
5. Est-ce que l’estimateurY˜ est l’estimateur lin´eaire le plus efficient possible ? Ne donnez pas de preuve formelle, mais donnez une explication intuitive.
5 R´egression simple : tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (25 points)
Consid´erez le mod`ele de r´egression suivant : Yi =β0+β1Xi. Vous avez obtenu les estim´es suivants :
Paramtre β0 β1
Valeur estim´ee 1.73 0.93 cart type 0.92 0.14 Somme totale des carr´es : 494.4 Somme des r´esidus carr´es : 35.7
SoitΦ(Z)≡P r(Y ≤Z)pour une variable al´eatoireY qui suit une distribution normale standardis´ee cumul´ee.
1. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH0 :β0 = 0contre l’hypoth`ese alternativeH1 :β0 6= 0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test (puisque vous n’avez pas acc`es `a une table de la distribution normale standardis´ee, vous ne pouvez pas trouver une valeur num´erique pour cette p-value, ni pour les autres qui vont suivre).
2. Qu’est-ce qui justifie l’utilisation de la fonctionΦ(Z)pour le calcul de la p-value du test ?
3. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH0 :β1 = 0contre l’hypoth`ese alternativeH1 :β1 6= 0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.
4. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH0 :β1 = ¯β1 contre l’hypoth`ese alternativeH1 :β1 6= ¯β1. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.
5. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH0 :β1 = 0contre l’hypoth`ese alternativeH1 :β1 >0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.
6. D´ecrivez en d´etail comment calculer l’intervalle de confiance de 95%
pour le param`etreβ1.
8. ´Ecrivez une expression qui donne la mesureR2 de l’ajustement statistique de l’´equation.
9. Si le nombre d’observationsnest ´egal `a 200, d´erivez une expression pour calculer l’´ecart type de la r´egression.
6 R´egression simple : estimateurs non biais´es (15 points)
Soit le mod`ele de r´egression suivant :
Yi =βXi+ui,
o`u lesXiet lesui satisfont les hypoth`eses du mod`ele de r´egression simple du chapitre 4. Vous remarquerez l’absence d’une constante de l’´equation. Soit l’estimateur deβsuivant :
β¯≡ Y¯ X¯,
o`uX¯ etY¯ sont les moyennes ´echantillonnales deXi etYi. 1. Montrez queβ¯est une fonction lin´eaire desYi. 2. Montrez queβ¯est un estimateur non biais´e deβ.
cr´ee le : 21/02/2008
