Variables al´ eatoires

Variables al´ eatoires

TD26

Variables al´ eatoires

Exercice 1

Soit N ≥ 2. Un joueur jette N fois une pi` ece ´ equilibr´ ee. Soit X la variable al´ eatoire donnant le num´ ero du jet pour lequel on obtient pile pour la premi` ere fois.

Etudier la loi de X.

Exercice 2 Soit n ∈ N

.

Une urne contient n boules dont une seule boule blanche. On effectue des tirages successifs et sans remise jusqu’` a obtenir la boule blanche. On note X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de tirages effectu´ es.

Montrer que X suit une loi uniforme.

Exercice 3

n amis vont au cin´ ema et choisissent entre 3 films F

, F

et F

. Les choix sont ind´ ependants et

´

equilibr´ es entre les films.

Pour i ∈ {1, 2, 3}, on note X

le nombre de personnes choisissant le film F

. a) D´ eterminer la loi de X

, pour i ∈ {1, 2, 3}.

b) Soit Y le nombre de films ayant re¸ cu au moins un choix. D´ eterminer la loi de Y .

Couples de variables al´ eatoires - Ind´ ependance

Exercice 4

Soit un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires dont la loi conjointe est donn´ ee par

Y

\

a

a

a

b

0

b

α

,

avec a

6= a

et b

6= b

si i 6= j.

1. Que vaut α ? D´ eterminer les lois de X et de Y (lois “marginales”).

2. Calculer Cov(X, Y ). Que remarque-t-on si 2a

= a

+ a

? 3. Les variables al´ eatoires X et Y sont-elles ind´ ependantes ?

Exercice 5

n candidats passent un examen. La probabilit´ e de r´ eussite pour chaque candidat est p. En cas d’´ echec,

le candidat repasse un examen de rattrapage avec la mˆ eme probabilit´ e de r´ eussite p. Quelle est la loi

du nombre de candidats ayant r´ eussi ` a l’issue des deux ´ epreuves?

Exercice 6

On tire une carte au hasard d’un jeu de 32 cartes. On consid` ere les trois variables al´ eatoires suivantes:

X =

1 si on tire un roi

0 sinon. ; Y =

1 si on tire une dame

0 sinon. ; Z =

1 si on tire un coeur 0 sinon.

a) D´ eterminer les lois conjointes et les lois marginales des couples (X, Y ) et (X, Z).

b) Les variables X et Y sont-elles ind´ ependantes? Les variables X et Z sont-elles ind´ ependantes?

Exercice 7

Soient U et V deux variables al´ eatoires ind´ ependantes ` a valeurs dans {−1, 1} prenant toutes les deux la valeur 1 avec une probabilit´ e

.

Soient X et Y les variables al´ eatoires d´ efinies par:

X = U, Y =

V si U = 1

−V si U = −1.

a) D´ eterminer la loi du couple de variables al´ eatoires (X, Y ). Les variables al´ eatoires X et Y sont-elles ind´ ependantes?

b) Les variables al´ eatoires X

et Y

sont-elles ind´ ependantes?

Exercice 8

Soient p ∈]0, 1[, n et m ∈ N

. On se donne X

et X

deux variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant la loi B(n, p) et B(m, p) respectivement.

a) Montrer que pour k ∈ [|0, m + n|],

k

X

i=0

n i

m k − i

=

n + m k

. b) En d´ eduire que X

+ X

suit la loi B(n + m, p).

Exercice 9

Soient X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme sur [|0, n|]. D´ eterminer la loi de S = X + Y .

Exercice 10

N personnes choisissent un fournisseur d’acc` es ` a Internet, au hasard et de mani` ere ind´ ependante, parmi n fournisseurs not´ es de 1 ` a n, avec n ≥ 2. Soit X

le nombre de clients ayant opt´ e pour le fournisseur i.

a) D´ eterminer la loi de X

.

b) Les variables al´ eatoires (X

)

sont-elles ind´ ependantes?

Exercice 11

Soit N ≥ 2. Une urne contient N + 1 boules num´ erot´ ees de 0 ` a N. On tire avec remise une boule. On consid` ere les variables al´ eatoires suivantes : X

= 1, et pour i ≥ 2, X

= 1 si le num´ ero tir´ e au tirage i n’est pas sorti dans les tirages pr´ ec´ edents, X

= 0 sinon.

a) D´ eterminer la loi de X

.

b) Les variables al´ eatoires X

et X

sont-elles ind´ ependantes, pour i 6= j ?

Esp´ erance - Variance

Exercice 12

On lance 10 fois de suite un d´ e parfait.

a) On appelle X le nombre de fois qu’on a obtenu une face portant un num´ ero pair. Quelle est la loi de X? D´ eterminer son esp´ erance.

b) On appelle Y la somme de tous les points obtenus. Trouver l’esp´ erance de Y .

c) On appelle Z le nombre de faces diff´ erentes qui sont apparues. Calculer la moyenne de Z .

Dans le cas o` u on lance le d´ e 3 fois (au lieu de 10), ´ ecrire explicitement la loi de probabilit´ e de Z, et retrouver directement la valeur de E(Z).

Exercice 13

Soit n ∈ N , soit r tel que 0 ≤ r ≤ n. Un placard contient n paires de chaussures. On tire, au hasard, 2r chaussures du placard. On note X la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de paires compl` etes parmi les chaussures tir´ ees.

Les paires du placard sont num´ erot´ ees de 1 ` a n. Pour i ∈ [|1, n|], on note X

la variable al´ eatoire qui vaut 1 si la i

paire se trouve parmi les chaussures tir´ ees et 0 sinon.

a) Pour i ∈ [|1, n|], d´ eterminer la loi et l’esp´ erance de X

. b) D´ eterminer l’esp´ erance de X.

Exercice 14

Soit p ∈ [0, 1]. Une puce se d´ eplace al´ eatoirement sur une droite d’origine 0. A chaque instant elle fait un bond d’une unit´ e vers la droite avec une probabilit´ e p ou vers la gauche avec la probabilit´ e 1 − p.

A l’instant initial, la puce est ` a l’origine. Pour n ∈ N

, on note X

la position de la puce ` a l’instant n. D´ eterminer la loi de X

ainsi que son esp´ erance.

Exercice 15

Soient X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme sur [|1, n|]. D´ eterminer la loi et l’esp´ erance de U = max(X, Y ) et de V = min(X, Y ).

Exercice 16

Le jour 0, une action vaut 1. On suppose que, chaque jour, la valeur de l’action est multipli´ ee par α > 1 avec probabilit´ e p ∈]0, 1[, ou par β ∈]0, 1[ avec probabilit´ e q = 1 − p. On suppose que ces variations journali` eres sont ind´ ependantes.

Fixons n ∈ N

. On note S la variable al´ eatoire ´ egale ` a la valeur de l’action le jour n.

a) D´ eterminer l’esp´ erance et la variance de S.

b) On suppose β =

. Quelle doit ˆ etre la valeur de p pour que E (S) = 1 ?

c) On suppose β = 1 − h et α = 1 + h pour h ∈]0, 1[. Quelle doit ˆ etre la valeur de p pour que E (S) = 1

? Que vaut alors V (S) ?

Exercice 17

Une urne contient initialement r boules rouges et b boules blanches. On pose N = r + b. On effectue

des tirages successifs dans l’urne, et, ` a l’issue de chaque tirage, la boule pr´ elev´ ee est remise, avec c

boules de la mˆ eme couleur (c ∈ N

). Pour n ∈ N

, on note X

le nombre de boules rouges tir´ ees lors

des n premiers tirages et Y

la variable indicatrice de l’´ ev´ enement “Le n-i` eme tirage donne une boule

rouge”.

a) D´ eterminer la loi de Y

.

b) Montrer que pour n ∈ N

, E (Y

) =

.

c) Exprimer X

` a l’aide des variables Y

, . . . , Y

et en d´ eduire que toutes les variables Y

ont la mˆ eme loi.

d) D´ eterminer l’esp´ erance de X

.

Exercice 18

On consid` ere deux urnes A et B contenant en tout b boules (b ≥ 2). Lors de chaque ´ etape, une boule est s´ electionn´ ee au hasard et chang´ ee d’urne. On note X

la variable al´ eatoire correspondant au nombre de boules dans l’urne A ` a l’instant n.

a) Pour k ∈ N , d´ eterminer E (X

− X

) en fonction de E (X

).

b) En d´ eduire que pour k ∈ N , E (X

) =

1 − 2 b

E (X

) + 1.

c) D´ eterminer E(X

) en fonction de la composition initiale des deux urnes, puis sa limite quand k → +∞.

Exercice 19

On effectue une succesion infinie de lancers d’une pi` ece ´ equilibr´ ee. A chaque lancer, ` a partir du deuxi` eme, si le cˆ ot´ e obtenu est diff´ erent du cˆ ot´ e obtenu au lancer pr´ ec´ edent, on marque un point.

Pour n ≥ 2, soit X

la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de points obtenus ` a l’issu de n lancers.

a) D´ eterminer les lois , les esp´ erances et les variances de X

et X

.

b) Soit n ≥ 2, quel est l’ensemble des valeurs prises par X

? D´ eterminer P(X

= 0) et P (X

= n −1).

c) Soit n ≥ 2, soit k ∈ [|1, n|], montrer que:

P (X

= k) = 1

2 P (X

= k) + 1

2 P (X

= k − 1).

d) Soit n ≥ 2. On pose Q

:

R → R s 7→

n−1

X

k=0

P (X

= k)s

.

(i) Soit n ≥ 2. Calculer Q

(1) et montrer que Q

(1) = E(X

). Exprimer V (X

) ` a l’aide de la fonction Q

.

(ii) Montrer que, pour tout n ≥ 2, pour tout s ∈ R : Q

(s) = (1 + s)

2 Q

(s).

(iii) En d´ eduire une expression de Q

(s) en fonction de n et de s.

(iv) Calculer alors, pour tout n ≥ 2, l’esp´ erance et la variance de X

.

Exercice 20

Soit n ≥ 2. Un lecteur mp3 contient n pistes de lectures (num´ erot´ ees de 1 ` a n) et fonctionne en

mode al´ eatoire (` a la fin de chaque piste, une nouvelle, ´ eventuellement ´ egale ` a l’ancienne, est choisie

al´ eatoirement). Pour k ∈ N

, on note X

le nombre de pistes diff´ erentes qui ont ´ et´ e lues au moins une

fois au cours des k premi` eres lectures.

a) D´ eterminer, en fonction de n et de k, les valeurs prises par X

. b) Pour k ∈ N

, donner la probabilit´ e des ´ ev´ enements X

= 1 et X

= k.

c) Pour k ∈ N

, exprimer P (X

= i) en fonction de P (X

= i) et de P (X

= i − 1).

d) En d´ eduire que E (X

) = (n − 1)

n E (X

) + 1, puis d´ eterminer une expression de E (X

).

e) Pour n fix´ e, que vaut lim

k→+∞

E (X

). Ce r´ esultat est-il pr´ evisible ? f) Pour k fix´ e, que vaut lim

n→+∞

E (X

). Ce r´ esultat est-il pr´ evisible ? Exercice 21

Soit n ≥ 2. Une urne contient n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n, dans laquelle on tire deux boules sans remise. On note X (resp. Y ) la variable al´ eatoire ´ egale au plus petit (resp. au plus grand) des deux num´ eros obtenus.

a) D´ eterminer la loi de Y . b) Calculer E(Y ) et V (Y ).

c) D´ eterminer la loi de X.

d) Montrer que les variables al´ eatoires Y et n + 1 − X ont mˆ eme loi. En d´ eduire E(X) et V (X).

Exercice 22

Une machine A fabrique 100 pi` eces dont 5% sont d´ efectueuses. Une machine B, ind´ ependante de A, fabrique 400 pi` eces dont 10% sont d´ efectueuses. Soit X (resp. Y ) la variable al´ eatoire donnant le nombre de pi` eces d´ efectueuses pour A (resp. B).

a) D´ eterminer les lois de X et Y .

b) Soit Z = X + Y . D´ eterminer E(Z) et V (Z).

c) D´ eterminer une valeur c pour laquelle le risque que le nombre de pi` eces d´ efectueuses dans l’ensemble de la production soit sup´ erieur ` a c est inf´ erieur ` a 5%.

Exercice 23

On consid` ere le jeu de hasard suivant: un joueur parie k francs sur un num´ ero de 1 ` a 6. On lance ensuite 3 d´ es ´ equilibr´ es; si le num´ ero pari´ e ne sort pas, le joueur perd sa mise. Sinon, on lui rend sa mise augment´ ee de sa mise multipli´ ee par le nombre de fois que son num´ ero est apparu. Ce jeu est-il

´

equitable?

Exercice 24

Un urne contient des boules de couleurs diff´ erentes, dont une proportion (inconnue) p de blanches. On effectue n tirages avec remise et l’on note S la variable al´ eatoire ´ egale au nombre de boules blanches tir´ ees.

a) Quelles sont la loi, l’esp´ erance et la variance de S ?

b) On suppose que n = 1000 et que l’on a tir´ e 455 fois une boule blanche. D´ eterminer un intervalle

de confiance (` a 98 pour cent) pour p, en utilisant l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebichev.

Exercice 25

On sait qu’un parti politique recueille en g´ en´ eral un pourcentage p des voix compris entre 20 et 30 aux

´

elections l´ egislatives. Quel est le nombre n de personnes ` a interroger lors d’un sondage pour estimer

p avec un pr´ ecision sup´ erieure ` a 3% et une probabilit´ e d’erreur inf´ erieure ` a 10% ?